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1、 1 专题一 数列【知识框架】数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n 项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列【知识要点 1】一、数列的概念 1.数列是按一定顺序排列的一列数，记作 a1,a2,a3an,简记an.2.数列an的第 n 项 an与项数 n 的关系若用一个公式 an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3.如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项 an与它的前一项 an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 an=f（an-1）或 an=f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列an的递推公式.4.数列可以看做
2、定义域为 N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。二、数列的表示方法：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。三、数列的分类 1.按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2.按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3.从函数角度考虑分：（考点）递增数列：对于任何 n N+，均有 an+1 an 递减数列：对于任何 n N+，均有 an+1 an 摆动数列：例如:1，-1，1，-1，1，-常数数列：例如:6，6，6，6，6，6 有界数列：存在正数 M，使 an M 四、an与 Sn的关系：（考点）
3、1.Sn=a1+a2+a3+an=n1iia 2.an=【例题 1】已知数列an是递增数列,其通项公式为 an=n2+n（n=1，2，3）,则实数 的取值范围 。解析：S1 (n=1)Sn-Sn-1 (n2)2 数列an的通项公式为 an=n2+n（n=1，2，3）数列是递增数列 an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n =2n+1+0 恒成立 2n+1+的最小值是 3+3+0 -3 实数 的取值范围是（-3，+）【例题 2】数列an的通项公式为 an=3n2-28n,则数列各项中最小项是（B ）A第项 B第项 C第项 D第项 解析 1：an=f(n)=3n2-28n，f(n)是一元
4、二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是628 由于 n N+，故取 n=4 和 n=5 代入，得到 a4=-64，a5=-65，故选择 B 解析 2：设 an为数列的最小项，则有 代入化简得到 解得：631n625 故 n=5【练习 1】在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中，x 的值为（）A10 B11 C12 D13 【练习 2】数列an的前 n 项和 Sn=n2-4n+1，则 an an=【知识要点 2等差数列】1.定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即 an-an-1=d（nN+，
5、且 n2），或者 an+1-an=d（nN+）2.通项公式：an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d (公式的变形)an=an+b 其中 a=d，b=a1-d 3.前 n 项和公式：2)an(aSn1n d21)-n(nnaS1n (公式的变形)Sn=An2+Bn 其中 A=2d B=2da1 4.性质：（1）公式变形（2）如果 A=a+b2,那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项.（3）若an为等差数列，且有 k+l=m+n,则ak+al=am+an（4）若an,bn为等差数列则pan+qbn是等差数列，其中 p,q 均为常数（5）若an为等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,.
6、（k,mN*）组成公差为 md 的等差数列.（6）若Sm,S2m,S3m分别为an的前 n 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.（7）若an设等差数列，则Snn是等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的12（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为 2n,则 S偶-S奇=nd，1nnaaSS奇偶 若项数为 2n-1,则 S偶=(n-1)an，S奇=nan，1-nnSS奇偶 5.判断：定义法：an+1-an=d（nN+）中项法：2an+1=an+an+2 an为等差数列。通项公式法：an=an+b（a,b 为常数）前 n 项和公式法：
7、Sn=An2+Bn（A,B 为常数）【例题 1】已知na是公差为 1 的等差数列，nS为na的前n项和，若844SS，则10a（B ）（A）172 （B）192 （C）10 （D）12 anan-1 anan+1 3n2-28n3(n-1)2-28(n-1)3n2-28n3(n+1)2-28(n+1)-2 (n=1)2n-5 (n2)3 解析：d21)-n(nnaS1n d=1 S8=8a1+28 S4=4a1+6 S8=4 S4 a1=0.5 an=a1+(n-1)d a10=192【例题 2】在等差数列 na中，若2576543aaaaa，则82aa=10 .解析：因为 na是等差数列，所
8、以37462852aaaaaaa，345675525aaaaaa即55a，所以285210aaa，故应填入10 【知识要点 3等比数列】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，及an+1an=q(n N*)2.通项公式：如果等比数列an的公比为 q，那么它的通项公式为an=a1qn-1.3.前 n 项和公式：设等比数列an的公比为 q，其前 n 项和Sn=4.性质：（1）等比数列an满足或时，an是递增数列；满足或时，an是递减数列.当 q=1 时，an为常数数列；当 q0 时
9、，an为摆动数列，且所有奇数项与a1同号，所有偶数项与a1异号.（2）对于正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则在等比数列an中，am,an,ap,aq的关系为:am an=ap aq（3）若an,bn为等比数列（项数相同），则lan(l0),1an,a2n,an bn,anbn仍是等比数列.（4）如果 a,G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G=ab。不是任何两数都有等比中项，只 有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项。【例题 1】已知数列 na是递增的等比数列，14239,8aaa a，则数列 na的前n项和等于 21n .解析：由题意解得：a1=1
10、，a4=8，q=2，那么1(1)1 22111 2nnnnaqSq 【例题 2】数列 na中112,2,nnnaaaS为 na的前 n 项和，若126nS，则n 6 .解析：an+1=2an 数列 na是等比数列，q=2 Sn=q1)q(1an1=126 其中 a1=2 n=6 【知识要点 4】（大题）一、考点 1：求 an：1.归纳法（由特殊到一般即找规律）由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见，较少出现在大题中。2.利用Sn与an的关系求通项公式 由Sn求an时，要分 n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表na1 (q=1)q1)q(1a
11、n1 或 q1qaan1 (q1)4 示.3.由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法】1.累加法：若已知a1且an-an-1=f(n)(n2)则(an-an-1)+(an-1-an-2)+.+(a3+a2)+(a2+a1)=an+a1=f(n)+f(n-1)+.+f(3)+f(2)，即an=a1+f(2)+f(3)+.+f(n-1)+f(n).2.累乘法：若已知a1且anan-1=f(n)(n 2),则anan-1an-
12、1an-2.a3a2a2a1=f(n)f(n-1).f(3)f(2),即an=a1a2f(2)f(3).f(n-1)f(n)3.换元法：若已知a1且an=pan-1+b(n2,且 pp0,p1）则令bn=an+l,可得bn（其中bn=pbn-1）为等比数列，其中l=bp-1可用待定系数法求出.【例题 1】已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。（累加法）解：由121nnaan得121nnaan则 112322112()()()()2(1)1 2(2)1(2 2 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaan
13、nnnnnnnnnn 所以数列na的通项公式为2nan。【例题 2】已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。（累乘法）解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1)5 2(1 1)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan 二、考点 2：求 Sn：1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解 2.倒序相加法：在数列an中
14、，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加法求此数列的前 n 项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前 n 项和公式推导）3.错位相减法：在数列anbn中，an是等差数列，bn是等比数列，可用错位相减法求此数列的前 n 项和.4.裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.5.分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。5 6.并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之
15、为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.【例题 1】设数列 na满足12nn1n123aa2,a，（1）求数列 na的通项公式；（2）令nnbna，求数列的前 n 项和nS。（错位相减法）解析：（1）由已知，当 n1 时，111211()()()nnnnnaaaaaaaa 21233(222)2nn 2(1)12n。而 12,a 所以数列na的通项公式为212nna。（2）由212nnnbnan知 35211 22 23 22nnSn 从而 2357221 22 23 22nnSn -得2352121(12)22222nnnSn 即 211(31)229nnSn 【例题 2】求数列 ,11,321,211nn的前 n 项和。（裂项相消法）解析：设nnnnan111 （裂项）则 11321211 nnSn （裂项求和）)1()23()12(nn 11n