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1、1.等差数列的定义及等差中项等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第如果一个数列从第2项起项起,每一项与前一项的每一项与前一项的差差都等于同一都等于同一个常数个常数,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数这个常数叫等差数列的列的公差公差,通常用字母通常用字母d表示表示.定义的表达式为定义的表达式为an+1-an=d(nN*). (2)对于正整数对于正整数m、n、p、q,若若m+n=p+q,则等差数列中则等差数列中am、an、ap、aq的关系为的关系为am+an=ap+aq;如果如果a,A,b成等差数列成等差数列,那么那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差
2、中项,其中其中 .2Aab2.等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n项和公式项和公式 等差数列的通项公式为等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d;前前n项和公式为项和公式为Sn= 或或 1()2nn aa(1).2n nd3.等差数列的性质等差数列的性质 (1)等差数列的通项是关于自然数等差数列的通项是关于自然数n的的一次一次函数函数(d0).(n,an)是是直线上的一群孤立的点直线上的一群孤立的点,an=an+b(a、b是常数是常数)是是an成等成等差数列的差数列的充要充要条件条件. (2)等差数列等差数列an的首项是的首项是a1,公差为公差为d.若其前若其前n项之和可以写项之
3、和可以写成成Sn=An2+Bn,则则 当当d0时它表示时它表示二二次次函数函数,数列数列an的前的前n项和项和Sn=An2+Bn是是an成等差数列成等差数列的的充要充要条件条件. 1,22ddABa (3)等差数列的增减性等差数列的增减性,d0时为时为递增递增数列数列,且当且当a10时前时前n项项和和Sn有最有最小小值值.d0时前时前n项和项和Sn有有最最大大值值. 4.与等差数列有关的结论与等差数列有关的结论 (1)若数列若数列an和和bn是等差数列是等差数列,则则man+kbn仍为等差数列仍为等差数列,其中其中m,k为常数为常数. (2)等差数列中依次等差数列中依次k项和成等差数列项和成等
4、差数列,即即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列成等差数列,且公差为且公差为k2d(d是原数列公差是原数列公差). (3)项数为偶数项数为偶数2n的等差数列的等差数列an,有有 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an与与an+1为中间的两项为中间的两项); S偶偶-S奇奇=nd; 1.nnSaSa奇偶 (4)项数为奇数项数为奇数2n-1的等差数列的等差数列an,有有 S2n-1=(2n-1)an(an为中间项为中间项);S奇奇-S偶偶=an; S奇奇 S偶偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和. .1SnSn奇偶5.与等
5、差数列有关的规律与等差数列有关的规律 (1)等差数列等差数列an中中,若若an=m,am=n(mn),则则am+n=0. (2)等差数列等差数列an中中,若若Sn=m,Sm=n(mn),则则Sm+n=-(m+n). (3)等差数列等差数列an中中,若若Sn=Sm(mn),则则Sm+n=0. (4)若若an与与bn均为等差数列均为等差数列,且前且前n项和分别为项和分别为Sn与与Sn,则则 2121.mmmmaSbS6.等差数列的判定方法等差数列的判定方法 (1)定义法定义法:an+1-an=d(常数常数)an是等差数列是等差数列. (2)中项公式法中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*)
6、an是等差数列是等差数列. (3)通项公式法通项公式法:an=pn+q(p,q为常数为常数)an是等差数列是等差数列. (4)前前n项和公式法项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数为常数)an是等差数是等差数列列. 考点陪练考点陪练 1.设设an是等差数列是等差数列,若若a2=3,a7=13,则数列则数列an前前8项的和为项的和为( ) A.128 B.80 C.64 D.56 11118:a1,d3,613,8 72,S864.2aadadd解析 由解得答案答案:C 2.(2010山东烟台高三诊断山东烟台高三诊断)在等差数列在等差数列an中中,若前若前5项和项和S5=20,则则a3等于
7、等于( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.a3=4. 答案答案:A 3.(2010辽宁大连高三一模辽宁大连高三一模)在等差数列在等差数列an中中,若若a4+a6+a8+a10+a12=120,则则a9- a11的值为的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 134681012889111118:aaaaa120.5a120.a24.aaa8da1011223333da7da16.解析答案答案:C 4.在数列在数列an中中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则则a1000等于等于( ) A.5 B
8、.-5 C.1 D.-1 解析解析:解法一解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得该数列为可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4, 由此可得由此可得a1000=-1. 解法二解法二:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(nN*),两式相加可得两式相加可得an+3=-an,an+6=an, a1000=a1666+4=a4=-a1=-1. 答案答案:D *npqp q1365.apqN ,aaa,1,93734.9aa(9.4.)9ABCD已知数列对于任意 、有若则 pqp qn1n 1n 1n1n361,9:aaaaaa,aa11135
9、4,999aa,aC.解析 由得即故数列是公差为 的等差数列故选答案答案:C 类型一类型一 等差数列的判断与证明等差数列的判断与证明 解题准备解题准备:证明一个数列证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明利用等差数列的定义证明,即证明即证明an+1-an=d(nN*); (2)利用等差中项证明利用等差中项证明,即证明即证明an+2+an=2an+1(nN*). 注意注意:在选择方法时在选择方法时,要根据题目的特点要根据题目的特点,如果能够求出数列的如果能够求出数列的通项公式通项公式,则可以利用定义法则可以利用定义法,否则否则,可以利用
10、等差中项法可以利用等差中项法. 【典例典例1】已知数列已知数列an的通项公式的通项公式an=pn2+qn(p、qR,且且p、q为常数为常数). (1)当当p和和q满足什么条件时满足什么条件时,数列数列an是等差数列是等差数列; (2)求证求证:对任意实数对任意实数p和和q,数列数列an+1-an是等差数列是等差数列. 解解(1)an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使要使an是等差数列是等差数列,则则2pn+p+q应是一个与应是一个与n无关的常数无关的常数,所以所以只有只有2p=0,即即p=0. 故当故当p=0时时,数列数列an是等差数列是等差数列.
11、 (2)证明证明:an+1-an=2pn+p+q, an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, 而而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数为一个常数. an+1-an是等差数列是等差数列. 类型二类型二 等差数列的基本量运算等差数列的基本量运算 解题准备解题准备:等差数列等差数列an中中,a1和和d是两个基本量是两个基本量,用它们可以用它们可以表示数列中的任何一项表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前利用等差数列的通项公式与前n项项和公式和公式,列方程组解列方程组解a1和和d,是解决等差数列问题的常用方法是解决等差数列问题的常用方法; 由由a1,d,n,an,S
12、n这五个量中的三个量可求出其余两个量这五个量中的三个量可求出其余两个量,需需选用恰当的公式选用恰当的公式,利用方程组观点求解利用方程组观点求解. 【典例典例2】已知等差数列已知等差数列an中中,a2=8,前前10项和项和S10=185. (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式an; (2)若从数列若从数列an中依次取出第中依次取出第2,4,8,2n,项项,按原来的顺序按原来的顺序排成一个新的数列排成一个新的数列,试求新数列的前试求新数列的前n项和项和An. 11n210n1 1ad,a8,S1858,10 910185,25,3.a3n2.adadad解设数列的公差为 由得(2)An=a2
13、+a4+a8+a2n =(32+2)+(34+2)+(38+2)+(32n+2) =3(2+4+8+2n)+2n =3 +2n=32n+1+2n-6. 反思感悟反思感悟先求出数列的通项公式先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新然后用通项公式表示出新数列中的各项数列中的各项,再求和再求和. 2(12 )12n类型三类型三 等差数列的性质及应用等差数列的性质及应用 解题准备解题准备:若若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则则am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的是公差为构成的是公差为k2d的的等差数列等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与从中我们可
14、以体会运用性质解决问题的方便与简捷简捷,应注意运用应注意运用. 【典例典例3】在等差数列中在等差数列中,Sn表示表示an的前的前n项和项和, (1)a3+a17=10,求求S19的值的值; (2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求项数求项数n; (3)S4=1,S8=4,求求a17+a18+a19+a20的值的值. 191234nn 1n 2n 31n119312n 13n 24n 3171n1nn 1 S 2 aaaaaaaaaa() 19() 1910 1995.22aaaaaa4 aa280aa70.S2102n6.()2naaa
15、aaa n解而 (3)S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列成等差数列,又又S4=1,S8-S4=3. 新的数列前新的数列前5项分别为项分别为1,3,5,7,9. S20-S16=a17+a18+a19+a20=9. 类型四类型四 等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题 解题准备解题准备:求等差数列前求等差数列前n项和项和Sn的最值问题的最值问题,主要有以下方主要有以下方法法:二次函数法二次函数法:将将Sn看作关于看作关于n的二次函数的二次函数,运用配方法运用配方法,借助函数的单调性及数形结合借助函数的单调性及数形结合,使问题得解使问题得解; 通项
16、公式法通项公式法:求使求使an0(或或an0)成立的最大成立的最大n值即可得值即可得Sn的的最大最大(或最小或最小)值值; 不等式法不等式法:借助借助Sn最大时最大时,有有 解此不解此不 等式组确定等式组确定n的范围的范围,进而确定进而确定n的值和对应的值和对应Sn的值的值(即即Sn的最的最值值). 11,nnnnSSSS【典例典例4】已知数列已知数列an满足满足2an+1=an+an+2(nN*),它的前它的前n项和为项和为Sn,且且a3=10,S6=72. 若若bn= an-30,求数列求数列bn的前的前n项和的最小值项和的最小值. 分析分析先判断先判断an是等差数列是等差数列,求求an,
17、再求再求bn,由由bn的通项研究的通项研究数列数列bn的前的前n项和的最值项和的最值. 12 解解2an+1=an+an+2, an是等差数列是等差数列, 设设an的首项为的首项为a1,公差为公差为d, 由由a3=10,S6=72,得得 11210,61572adad1na4n2,42.adnn*n15115ba302n31.,nN ,n15.b15,S12231 02931.2(1)31 02215( 292 1531)15 ( 6030)22,b29,d25.22,Snnn 则解得 前项为负值最小 可知 反思感悟反思感悟除上面方法外除上面方法外,还可将还可将an的前的前n项和的最值问题项和
18、的最值问题看作看作Sn关于关于n的二次函数问题的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方利用二次函数的图象或配方法求解法求解. 错源一错源一 忽略数列项数忽略数列项数 【典例典例1】已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=10n-n2(nN+),求数列求数列|an|的前的前n项和项和Tn. 错解错解当当n=1时时,a1=S1=9; 当当n2时时,an=Sn-Sn-1=11-2n. 由于由于n=1时时,a1=9也满足也满足an=11-2n, 因此因此an=11-2n. 由由11-2n0,得得 11.2n 即从第即从第6项开始数列各项为负项开始数列各项为负,那么那么 Tn=|a1|+|a2|+|
19、an| =-(a1+a2+an)+2(a1+a2+a5) =-Sn+2S5=n2-10n+2(105-52) =n2-10n+50. 剖析剖析错解中忽视了错解中忽视了“项数项数”,默认了默认了n5,事实上事实上,n完全可以完全可以小于或等于小于或等于5.显然显然,当当n5时时,结论就是错的结论就是错的. 正解正解对对n进行分类进行分类: (1)由上述可知由上述可知an=11-2n. 当当n5时时,同上述错解同上述错解,得得Tn=n2-10n+50; (2)当当n5时时, Tn=|a1|+|a2|+|an| =a1+a2+an=10n-n2. n2210(5),1050 (12T5).nnnnn
20、n综合得错源二错源二 忽略为零的项忽略为零的项 【典例典例2】在等差数列在等差数列an中中,已知已知a1=10,前前n项和为项和为Sn,且且S10=S15,求求n取何值时取何值时,Sn有最大值有最大值,并求出最大值并求出最大值. 1011151n110 915 1415.22d,SS ,10aa10,5.daan1 d10n165.6dad错解 设公差为 由得将代入 得那么nn121a0,10n1,n13.n12,S,50612 1112 11512 1065.226S12ad由即得因此当时有最大值 其值为 剖析剖析这是一个首项为正的递减的等差数列这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数列
21、的零是这个数列的项吗项吗?由于由于a1=10,d= ,得得10+(13-1) 也也就是说零是这个数列的第就是说零是这个数列的第13项项,于是答案就出错了于是答案就出错了. 5650,6 正解正解由于由于a1=100,d= 即数列即数列an是一个首项为正的是一个首项为正的递减的等差数列递减的等差数列,又由于又由于a13=0,由上述解法可知由上述解法可知,该数列的该数列的前前12或或13项的和最大项的和最大,其值为其值为65. 50,6错源三错源三 对数列的有关概念理解有误对数列的有关概念理解有误 【典例典例3】已知数列已知数列an是递增数列是递增数列,且对于任意的且对于任意的nN+,an=n2+
22、n恒成立恒成立,则实数则实数的取值范围是的取值范围是_. 错解错解因为因为an=n2+n是关于是关于n的二次函数的二次函数,且且n1,所以所以 1,解解得得-2. 剖析剖析数列是以正整数数列是以正整数N+(或它的有限子集或它的有限子集1,2,)为定义域为定义域的函数的函数,因此它的图象只是一些孤立的点因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此数满足条件的此数列的点分布如图列的点分布如图. 2 正解正解解法一解法一:由图分析得由图分析得, ,所以所以-3. 解法二解法二:由由an是递增数列是递增数列,得得anan+1对对nN+恒成立恒成立, 即即n2+n-(2n+1). 而而-(2n+1)-3,
23、所以所以-3. 答案答案(-3,+) 322技法一技法一 活用变式活用变式,出奇制胜出奇制胜 【典例典例1】已知等差数列已知等差数列an中中,ap=q,aq=p(qp),求求ap+q. 解题切入点解题切入点由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得变式可得变式:an=am+(n-m)d或或 (nm),利用此变式可利用此变式可快速求解快速求解. nmaadnm 解解解法一解法一:由变式得由变式得:q=p+(p-q)d, 所以所以d=-1. 所以所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0. 解法二解法二:由变式得由变式得: 所以所以 所以所以ap+q=0.
24、,pqp qpaaaadpqpqp,p qaqqpdpqq解法三解法三:因为因为an=a1+(n-1)d,所以点所以点(n,an)在一条直线上在一条直线上. 不妨设不妨设pq时时,同理可得同理可得ap+q=0. 1.pqkqp 方法与技巧方法与技巧在解题时在解题时,巧妙地利用等差数列的变式巧妙地利用等差数列的变式,常常能常常能出奇制胜出奇制胜,达到简捷明快的目的达到简捷明快的目的. 技法二技法二 设而不求设而不求,化繁为简化繁为简 【典例典例2】在等差数列在等差数列an中中,Sm=Sn(mn),求求Sm+n. 11n11m n1(1)(1),22()()(1)0.2 ad,mamn,mn0,a(1)0.2(Smn)(1)0.2am mn ndnaddmn amn mnmndmn mnd解 设的公差为 由题意得因为所以所以所以方法与技巧方法与技巧在解有关等差数列习题时在解有关等差数列习题时,设出其基本量设出其基本量a1,d,利用设而不求利用设而不求,整体代入能使题目避繁就简整体代入能使题目避繁就简.