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1、专题一专题一数列数列【知识框架】定义项，通项数列基础知识数列表示法数列分类数列等差数列等比数列特殊数列定义通项公式前n项和公式性质其他特殊数列求和【知识要点 1】一、数列的概念1.数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3an,简记an.2.数列an的第 n 项 an与项数 n 的关系若用一个公式 an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3.如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项 an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 an=f（an-1）或 an=f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列an的递推公式.4.数列可以看做定义域
2、为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。二、数列的表示方法：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。三、数列的分类1.按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2.按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3.从函数角度考虑分：（考点）递增数列：对于任何 n N+，均有 an+1 an递减数列：对于任何 n N+，均有 an+1 an摆动数列：例如:1，-1，1，-1，1，-常数数列：例如:6，6，6，6，6，6有界数列：存在正数 M，使 an M四、an与 Sn的关系：（考点）1.Sn=a1+a
3、2+a3+an=i1nai2.an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n2)【例题 1】已知数列an是递增数列,其通项公式为 an=n2+n（n=1，2，3）,则实数 的取值范围。解析：1数列an的通项公式为 an=n+n（n=1，2，3）数列是递增数列an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+1+0恒成立2n+1+的最小值是 3+3+0-3 实数 的取值范围是（-3，+）【例题 2】数列an的通项公式为 an=3n2-28n,则数列各项中最小项是（B）A第项B第项C第项D第项2解析 1：an=f(n)=3n2-28n，f(n)是一元二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是28
4、6由于 n N+，故取 n=4 和 n=5 代入，得到 a4=-64，a5=-65，故选择 B解析 2：anan-13n2-28n3(n-1)2-28(n-1)设 an为数列的最小项，则有代入化简得到anan+13n2-28n3(n+1)2-28(n+1)2531解得：故 n=5 n 66【练习 1】在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x 的值为（）A10B11 C12 D13【练习 2】数列an的前 n 项和 Sn=n2-4n+1，则 anan=-2(n=1)2n-5(n2)【知识要点 2 等差数列】1.定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
5、么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d（nN+，且 n2），或者 an+1-an=d（nN+）2.通项公式：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(公式的变形)an=an+b其中 a=d，b=a1-d3.前 n 项和公式：Snn(a1 an)n(n-1)ddd(公式的变形)Sn=An2+Bn其中 A=B=a1Sn na122224.性质：（1）公式变形a+b,那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项.2（3）若an为等差数列，且有 k+l=m+n,则ak+al=am+an（2）如果 A=（4）若an,bn为等差数列则pan+qbn是等差数列，其中 p,q
6、 均为常数（5）若an为等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,.（k,mN）组成公差为 md 的等差数列.*（6）若Sm,S2m,S3m分别为an的前 n 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列.（7）若an设等差数列，则Sn1是等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的n2（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为 2n,则 S偶-S奇=nd，S偶Sann若项数为 2n-1,则 S偶=(n-1)an，S奇=nan，偶S奇n-1S奇an15.判断：定义法：an+1-an=d（nN+）中项法：2an+1=an+an+2通项公式法：an=an+b
7、（a,b 为常数）前 n 项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B 为常数）an为等差数列。【例题 1】已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8 4S4，则a10（B）（A）1719（B）（C）10（D）12222n(n-1)dd=1S8=8a1+28S4=4a1+6219S8=4 S4 a1=0.5an=a1+(n-1)da10=2【例题 2】在等差数列an中，若a3a4a5a6a7 25，则a2 a8=10.解析：Sn na1解析：因为an是等差数列，所以a3a7 a4a6 a2a8 2a5，a3a4a5a6a7 5a5 25即a5 5，所以a2a8 2a510，故应填
8、入10【知识要点 3 等比数列】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，及2.通项公式：如果等比数列an的公比为 q，那么它的通项公式为an3.前 n 项和公式：设等比数列an的公比为 q，其前 n 项和Sn=4.性质：（1）等比数列an满足满足或或an+1=q(nN*)an=a1qn 1.na1(q=1)a1(1 qn)a1 anq或(q1)1 q1 q时，an是递增数列；时，an是递减数列.当 q=1 时，an为常数数列；当 q0 时，an为摆动数列，且所有奇数项与a1同号，
9、所有偶数项与a1异号.（2）对于正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则在等比数列an中，am,an,ap,aq的关系为:aman=apaq（3）若an,bn为等比数列（项数相同），则an(0),1a2,an,anbn,n仍是等比数列.anbn（4）如果 a,G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G=ab。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项。n【例题 1】已知数列an是递增的等比数列，a1a4 9,a2a38，则数列an的前n项和等于2 1.a1(1qn)12n 2n1解析：由题意解得：a1=1，a4=8，q=2，那么Sn1q
10、12【例题 2】数列an中a1 2,an1 2an,Sn为an的前 n 项和，若Sn126，则n 6.解析：an+1=2an数列an是等比数列，q=2a1(1 qn)Sn=126其中 a1=2n=61 q【知识要点 4】（大题）一、考点 1：求 an：1.归纳法（由特殊到一般即找规律）由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见，较少出现在大题中。2.利用Sn与an的关系求通项公式由Sn求an时，要分n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表3示.3.由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换
11、法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法】1.累加法：若已知a1且anan 1=f(n)(n2)则(anan 1)+(an 1an 2)+.+(a3+a2)+(a2+a1)=an+a1=f(n)+f(n 1)+.+f(3)+f(2)，即an=a1+f(2)+f(3)+.+f(n 1)+f(n).2.累乘法：若已知a1且anaaa a=f(n)(n2),则nn 1.32=f(n)f(n 1).f(3)f(2),即an 1an 1an 2a2a1an=a1a2f(2)f(3).f(n 1)f(n)b可用待定系数法求出.p 13
12、.换元法：若已知a1且an=pan 1+b(n2,且 pp0,p 1）则令bn=an+,可得bn（其中bn=pbn 1）为等比数列，其中=，a11，求数列an的通项公式。【例题 1】已知数列an满足an1 an2n1（累加法）解：由an1 an 2n1得an1an 2n1则an(anan1)(an1an2)2(n1)12(n2)1(a3a2)(a2a1)a1(221)(211)1 2(n1)(n2)21(n1)1(n1)n 2(n1)12(n1)(n1)1 n22所以数列an的通项公式为an n。n【例题 2】已知数列an满足an1 2(n1)5 an，a1 3，求数列an的通项公式。（累乘法
13、）n解：因为an1 2(n1)5 an，a1 3，所以an 0，则an1 2(n1)5n，故anananan1an1an2a3a2a1a2a12(2 1)522(11)513212(n11)5n12(n21)5n2 2n1n(n1)32n1325(n1)(n2)n!n135n(n1)2所以数列an的通项公式为an 325n(n1)2n!.二、考点 2：求 Sn：1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解2.倒序相加法：在数列an中，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加法求此数列的前 n 项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前n 项和公式推导）
14、3.错位相减法：在数列anbn中，an是等差数列，bn是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n 项和.4.裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.5.分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。46.并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an用两项合并求解.=(1)nf(n)类型，可采【例题 1】设数列an满足a1 2,an1 an 3 22n1，（1）求数列an的通项公式；（2）令bn
15、nan，求数列的前 n 项和Sn。（错位相减法）解析：（1）由已知，当 n1 时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a1 3(22n1 22n3 2)2 22(n1)1。而a11 2,所以数列an的通项公式为an 22n。（2）由bn nan n22n1知Sn12 223325 n22n1从而22Sn 1 23252 3 72 nn22-得(122)Sn 2232522n1n22n1即S 1n(3n1)22n192【例题 2】求数列112,12 3,1n n 1,的前 n 项和。（裂项相消法）解析：设a1nn n 1n 1n则S1n1212 31n n 1(2 1)(3 2)(n 1 n)n115（裂项）（裂项求和）