人教版高中数学必修二教学案-直线、平面平行的性质.pdf

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1、 第 1 页 共 12 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 直线、平面平行的性质复习 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 直线、平面平行的性质复习 【要点梳理】知识点一、直线和平面平行的性质 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若/a，a，b，则/ab.图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”可以用符号表示：若 a，b，则 ab这个性质定理可以看作直线与

2、直线平行的判定定理，用该定理判断直线 a 与 b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线 a 和平面平行，即 a；（2）平面和相交，即b；（3）直线 a 在平面内，即a三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误 知识点二、平面和平面平行的性质 文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若/，a，b，则/ab.图形语言：第 2 页 共 12 页 要点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一

3、定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）要点三、平行关系的综合转化 空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行这三种关系不是孤立的，而是互相联系的它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理 有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面 线线平行同方向，等角定理进空间 判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线 要证面和面平行，面中找出两交线 线面平行若成立，面面平行不用看 已知面与面平行，线面平行是必然 若与三面都相交，

4、则得两条平行线【典型例题】类型一：直线与平面平行的性质 例 1四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH求证：APGH【解析】如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO，四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点，APOM 根据直线和平面平行的判定定理，则有 PA平面 BMD 平面 PAHG平面 BDM=GH，第 3 页 共 12 页 根据直线和平面平行的性质定理，PAGH【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一

5、条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论 举一反三：【变式 1】已知直线a平面，直线a平面，平面平面=b，求证/ab 证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，a平面，,ac，a平面，,ad ac，ad，cd，又d平面，c平面，c平面，又c平面，平面平面=b，cb，又ac，ab【总结升华】证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一 例 2如图所示，已知异面直线 AB、CD 都平行于平面，且 AB、CD 在的两侧，若 AC、BD 与分别交于 M、

6、N 两点，求证：AMBNMCND【解析】如图所示，连接 AD 交平面于 Q，连接 MQ、NQMQ、NQ 分别是平面ACD、平面 ABD 与的交线 CD，AB，CDMQ，ABNQ 于是AMAQMCDQ，DQDNAQNB，AMBNMCND【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题 在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接 AD 作出平面 ACD 与平面 ABD，得到交线 MQ 和 NQ 举一反三：【变式 1】如图所示，在三

7、棱锥 PABC 中，PA=4，BC=6，与 PA、BC 都平行的截面四边形 EFGH 的周长为l，试确定l的取值范围【解析】与 PA、BC 平行的截面四边形 EFGH 应有二边平行于 PA，另二边平行于 BC，故它是一个平行四边形，EFAFBCAC，BC AFEFAC，同理，GFCFPAAC，dcba 第 4 页 共 12 页 PA CFGFAC，四边形 EFGH 的周长=2（EF+FG）=BC AFAC+PA CFAC=128AFCFAC=8+4AFAC 因为 0PF/PB1,截面四边形 EFGH 的周长 l 应大于小于 12，8l12.类型二：平面与平面平行的性质 例 3 如图所示，平面平

8、面，A，C，B,D，点 E，F 分别在线段 AB，CD 上，且AECFEBFD 求证：EF【解析】（1）当 AB，CD 共面时，且平面 ABDC=AC，平面 ACDB=BD，ACBD，四边形 ABDC 是梯形或平行四边形 由AECFEBFD，得 EFBD，又BD，EF，EF（2）当 AB，CD 异面时，作 AHCD 交于 H，且平面 AHDC 与平面，的交线分别为 AC，HD，ACHD四边形 AHDC 为平行四边形 作 FGDH 交 AH 于 G，连接 EG，于是CFAGFDGH AECFEBFD，AEAGEBGH从而 EGBH，而 BH，EG，EG 又 FGDH，DH，FG，FG EGFG=

9、G，平面 EFG 又 EF平面 EFG，EF【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题如在本例的第二种情况：面面平行线线平行平行四边形线面平行面面平行线面平行（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面 EFG得出 EF，便是这一性质的灵活运用 第 5 页 共 12 页 举一反三：【变式 1】已知面平面，点 A，C，点 B，D，直线 AB

10、，CD 交于点 S，且 SA=8，SB=9，CD=34 （1）若点 S 在平面，之间，则 SC=_；（2）若点 S 不在平面，之间，则 SC=_【答案】（1）16 （2）272【变式 2】四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，点 E 在 PD 上，且 PEED=21，问在棱 PC 上能否找到一点 F，使 BF平面 AEC？试说明你的看法【解析】如图，当 F 是 PC 的中点时，BF平面 AEC 理由：取 PE 的中点 M，连接 FM，则 FMCE 所以12EMPEED，所以 E 是 MD 的中点 连接 BM、BD，设 BDAC=O，则 O 为 BD 的中点，所以 BMOE 又 BMF

11、M=M，OECE=E，BM平面 BFM，FM平面 BFM，OE平面 AEC，CE平面 AEC，所以平面 BFM平面 AEC 又 BF平面 BFM，所以 BF平面 AEC 类型三：线面平行的判定与性质的综合应用 例 4如图所示，已知平面平面，AB 与 CD 是两条异面直线，且 AB，CD如果 E，F，G 分别是 AC，CB，BD 的中点，求证：平面 EFG【解析】由已知条件可知 EFAB，FGCD EF，FG 与 CD 可确定一个平面，设 BM=平面 CDGF，由于/，故有 CDBMFGBMFG 如果 E，F，G 三点共线，则有 G平面 ABCBG平面 ABCD平面ABC，即 A，B，C，D 共

12、面，与 AB，CD 是异面直线矛盾故 E，F，G 三点不共线，即 EF 与 FG 是平面 EFG内的两条相交直线平面 EFG，而/，故平面 EFG【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面 例 5.如图，已知正方体1111ABCDABC D中，面对角线1AB、1BC上分别有两 第 6 页 共 12 页 点 E、F，且11B EC F，求证：EF平面 ABCD 证明：证法一：过 E、

13、F 分别作 AB、BC 的垂线 EM、FN 分别交 AB、BC 于 M、N，连接 MN 1BB平面 ABCD，1BBAB，1BBBC，EM1BB，FN1BB，EMFN，1AB=1BC，1B E=1C F，AE=BF，又1BAB=1C BC=45，RtAMERtBNF，EM=FN 四边形 MNFE 是平行四边形，EFMN 又 MN平面 ABCD，EF平面 ABCD 证法二：过 E 作 EGAB 交1BB于 G，连接 GF，1111B EBGB AB B，11B EC F，11B AC B，1111C FBGC BB B，FG11BCBC 又EGFG=G，ABBC=B，平面 EFG平面 ABCD

14、又 EF平面 EFG，EF平面 ABCD 总结升华：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质 举一反三：【变式 1】如图所示，已知点 P 是ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC 的中点，平面 PBC平面 APD=l（1）求证：lBC；（2）MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论【解析】方法一：（1）因为 BCAD，BC平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BC平面 PAD

15、 又因为平面 PBC平面 PAD=l，所以 BCl（2）平行如下图（1），取 PD 的中点 E，连接 AE，NE，可以证得 NEAM 且 NE=AM所以四边形AMNE 是平行四边形 所以 MNAE所以 MN平面 PAD 第 7 页 共 12 页 方法二：（1）因为 ADBC，AD平面 PBC，BC平面 PBC，所以 AD平面 PBC 又因为平面 PBC平面 PAD=l，所以lAD因为 ADBC，所以lBC（2）平行如下图（2），设 Q 是 CD 的中点，连接 NQ，MQ，则 MQAD，NQPD，而 MQNQ=Q，所以平面 MNQ平面 PAD 又因为 MN平面 MNQ，所以 MN平面 PAD 例

16、 6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内 已知：直线 a平面，B，Bb，ba，求证：b【证明】证法一：如图，假设b，过直线 a 和点 B 作平面，b a，/ba 这样过点 B 就有两条直线 b 和 b同时平行于直线 a，与平行公理矛盾，故b 必在内 证法二：过直线 a 及点 B 作平面，设b a，/ba 这样，b与 b 都是过点 B 平行于 a 的直线，而过一点与一直线平行的直线有且仅有一条，b 与 b重合，b，b【总结升华】“反证法”也是证明“唯一性”问题的重要方法 第 8 页 共 12 页 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时

17、间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】1有以下三个命题：一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行；如果直线l平面，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内。其中正确的命题的个数为（）A0 B1 C2 D3 2设 a，b 是两条直线，、是两个平面，若/a，a，b，则内与 b 相交的直线与 a 的位置关系是（）A平行 B相交 C异面 D平行或异面 3下列说法正确的个数为（）若点 A 不在平面内，则过点 A 只能作一条直线与平行；若直线 a 与平面平行，则 a 与内的直线

18、的位置关系有平行和异面两种；若直线 a 与平面平行，且 a 与直线 b 平行，则 b 也一定平行于；若直线 a与平面平行，且 a 与直线 b 垂直，则 b 不可能与平行。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4已知平面平面，直线 a，直线 b，则ab；a，b 为异面直线；a，b 一定不相交；ab 或 a，b 异面。其中正确的是（）A B C D 5下列说法正确的个数是（）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；夹在两个平行平面间的等长线段平行；如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；平行于同一条直线的两个平面平行。A1 B2 C3 D4 6若平面平面，直线 a，点 B，过

19、点 B 的所有直线中（）A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 第 9 页 共 12 页 C存在无数条与 a 平行的直线 D有且只有一条与 a 平行的直线 7如图，若是长方体 ABCDA1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点，F 为线段 BB1上异于 B1的点，且 EHA1D1，则下列结论中不正确的是（）AEHFG B四边形 EFGH 是矩形 C是棱柱 D是棱台 8设/，A，B，C 是 AB 的中点，当 A、B 分别在平面、内运动时，那么，所有的动点 C（）A不共面 B当且仅当 A、B 分别在

20、两条直线上移动时才共面 C当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D不论 A、B 如何移动，都共面 9在长方体1111ABCDABC D中，过点P的两条直线,AC BD分别交于11,AA CC相交于,E F两点，则四边形1EBFD的形状为 。9已知直线 m、n 及平面、有下列关系：m、n；n；/m；mn，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题_。10已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，点 P 是的面11AA D D的中心，点 Q 是面1111ABC D的对角线11B D上一点，且 PQ平面11AA B B，则线段 PQ 的长为 11如图，a，A

21、 是的另一侧的点，B、C、Da，线段 AB、AC、AD 分别交于E、F、G。若 BD=4，CF=4，AF=5，则 EG=_。13如图，直线PQ分别和平行平面,交于,A B两点，,PD QF分别和平面,交于,C D E F,若9,12,16,72,AFCPAABQBS求BDES.第 10 页 共 12 页 14如右图，直线 AB 和 CD 是异面直线，AB，CD，AC=M，BD=N，求证：AMBNMCND 15如图，ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面 ACFD 垂直，点 O 在线段 AD 上，OA=1，OD=2，OAB，OAC，ODE，ODF 都是正三角形。（1）证明直线 BCEF；

22、（2）求棱锥 FOBED 的体积。【答案与解析】1【答案】C 【解析】由直线与平面平行的性质定理易知、正确。过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，故错。2【答案】C 【解析】因为/a，则 a 与内的直线没有公共点，所以 a 与内的直线的位置关系是异面或平行，又 ab，所以内与 b 平行的直线与 a 平行，内与 b 相交的直线与 a 异面。3【答案】A 【解析】错，过点 A 可以作无数条直线平行于；对，a 与平行，所以，a 与内的所有直线没有公共点；错，b 与的位置关系有平行和 b 在平面内两种；错，b 可以与相交，可以在内，也可以与平行。4【答

23、案】C 【解析】若两个平面平行，则两个平面没有公共点，ab 或 a，b 异面，即 a，b 一定不相交。5【答案】A 【解析】只有正确。中的两线段还可能相交或异面；中的直线还可能在另一个平面内；中的两个平面还可能相交。6【答案】D 【解析】由直线 a 和点 B 可以确定一个平面，b，则 b 就是唯一的一条满足条件的直线。7【答案】D 【解析】根据棱台的定义（侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥）。因此，几何体不是棱台，第 11 页 共 12 页 应选 D。8【答案】D 【解析】所有的动点 C 都在同一平面内且这个平面与、平行。如右图。A、B两点在、内运动后的两点为 A、B，此时 AB

24、的中点 C 变成A B的中点 C，连接A B，取A B的中点 E，连接 CE、C E、CC，则 CEAA，CE。/C EBB，/C E。又/，/C E。C ECEE，平面/CC E。/CC，不论 A、B 如何移动，所有的动点 C 都在过 C 点且与、平行的平面上。9【答案】平行四边形 10【答案】【解析】联想线面平行的性质定理。11【答案】22.12【答案】209 【解析】a，平面平面 ABD=EG，aEG，即 BDEG，EFFGAFEFFGEGAFBDCDACBCCDBDAFFC，5 420549AF BDEGAFFC。13【解析】如图，/，平面PBDAC，平面PBDBD，93/,217AC

25、PAACBDBDPB。同理，287/,164AFQAAFBEBEQB。/,/,ACBD AFBE且FACEBD 方向相同，FACEBD。1sin372,174sin2AFCBDEAFACFACSACAFSBDBEBEBDEBD 由72,AFCS得96BDES。14证明：如图，连结 AD 交平面于点 Q，连结 MQ、QN 第 12 页 共 12 页/ABAQBNABABDABQNQDNDABDQN平面平面平面=，/CDAQAMCDACDCDQMQDMCACDQM平面平面平面=；AMBNMCND.15【解析】（1）如图，设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点。由于OAB 与ODE 都是正三角

26、形，所以1/2OBDE，OG=OD=2。同理，设 G是线段 DA 与 FC 延长线的交点，有2OGOD。又由于 G 和 G都在线段 AD 的延长线上，所以 G 与 G重点。在GED 和GFD 中，由1/2OBDE和1/2OCDF，可知 B 和 C分别是 GE 和 GF 的中点，所以 BC 是GEF 的中位线，故 BCEF。（2）由 OB=1，OE=2，EOB=60，知32EOBS。而OED 是边长为 2 的正三角形，故3OEDS。所以3 32EOBOEDOBEDSSS四边形。过点F作FQDG，交DG于点Q，如图，由平面ABED 平面ACFD知FQ就是四棱锥FOBED的高，且3FQ，所以1332F OBEDOBEDVFQ S四边形。