《人教版高中数学必修二教学案-空间中直线、平面之间的位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修二教学案-空间中直线、平面之间的位置关系.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 1 页 共 16 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：梁春晓 课 题 空间中直线、平面之间的位置关系复习 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 空间中直线、平面之间的位置关系复习【要点梳理】知识点一、空间两直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系：(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点诠释：（1）异面直线具有既不
2、相交也不平行的特点 （2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线 a，直线b，ab，不能由 a、b 不同在平面内就误认为 a 与 b 异面，实际上，由 ab 可知a 与 b 共面，它们不是异面直线 （3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面它们可以是平行
3、直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示 （4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也 第 2 页 共 16 页 不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示 3.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内 4.平行直线：公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：/ab，/bcac.公理 4 说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角：直线 a、b 是异面直线，经过空间中一点 O，分别引直线/aa，/bb，相交直线 a、b
4、所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a、b 形成的角，如右图所示当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.要点诠释：异面直线所成角的取值范围是090；求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.知识点二、直线和平面的位置关系 1直线和平面的位置关系（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.如果直线 a 和平面平行，记作/a.（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交.如果直线 a 和平面相交于点A，记作aA.（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在
5、这个平面内，记作a.2直线与平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类 直线与平面相交有且只有一个公共点直线在平面内有无数个公共点直线与平面平行无公共点（2）按直线是否在平面内分类 第 3 页 共 16 页 直线在平面内直线与平面相交直线不在平面内（直线在平面外）直线与平面平行 3直线与平面位置关系的图形表示和符号表示 位置关系 直线 a 在平面内 直线 a 与平面相交（直线不在平面内）直线 a 与平面平行（直线不在平面内）符号表示 a aA/a 图形表示 知识点三、两个平面的位置关系 1两个平面的位置关系（1）两个平面平行没有公共点（2）两个平面相交有一条公共直线（或至少有一个公共点）2两个平
6、面位置关系的图形表示和符号表示 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 两平面平行 /无公共点 两平面相交 斜交 a 有一条公共直线 垂直 且a 有一条公共直线 3两个平面平行的画法 画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的 4两个相交平面的画法（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3）第 4 页 共 16 页 （4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线
7、，可以用虚线，也可以不画，如图上（4）知识点四、反正法 所谓反证法就是证明原命题的结论的反面错误，得出结论正确，从而间接地证明原命题正确 反证法证题的一般步骤：假设结论的反面成立，据此推出矛盾，从而断定原结论正确 如果结论的反面情况只有一种，则只需将此否定驳倒，即可达到反证的目的，这种比较单纯的反证法称为归谬法；如果结论的反面情况不止一种，则必须将其逐一驳倒，才能推出命题结论的正确 【典型例题】类型一、空间两条直线的位置关系 例 1过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线 【解析】证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即不同在任何一个平面内，一个平面一个平面地寻找是
8、不可能实现的因此，必须找到一个间接方法来证明，反证法即为一种行之有效的好方法 如右图，已知a，A，B，Ba 求证：直线 AB 和 a 是异面直线 证明：假设直线AB 和a 不是异面直线，则AB 与a 一定共面，设为，则a，B Ba，由公理 2 的推论 1，即经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面，可知直线 a 与点 B 可确定一个平面，即为，则与重合 A，这与已知A矛盾AB 与 a 是异面直线 【总结升华】（1）本例的结论是一个重要的定理，即异面直线的判定定理由此可知，判定两条直线为异面直线的常用方法有：定义法：不同在任一平面内的两条直线 定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经
9、过该点的直线为异面直线 推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线 反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即原命题的结论成立（2）运用异面直线的判定定理来判定异面直线的方法可概括为“两点一线一面”但应注意：“两点”均在“线”外；“线”在“面”内，“两点”中“一点”在“面”内，“另一点”在“面”外 举一反三：第 5 页 共 16 页 【变式 1】已知三条直线 a、b、c，a 与 b 异面，b 与
10、 c 异面，那么 a 与 c 有什么样的位置关系？试画图说明【答案】直线 a 与 c 的位置关系有三种情况：可能平行，如下图（1）；可能相交，如下图（2）；可能异面，如下图（3）【变式 2】如下图，已知：a，b，ab=A，且c，ca，求证：b、c 为异面直线 【证明】假设 b、c 不是异面直线，即 b、c 为共面直线，则 b、c 为相交直线或平行直线（1）若 bc=P，已知b，c，又a，则Pb，且Pc，从而，交点 P 一定在平面、的交线上，即 Pa，于是 ac=P，这与已知条件 ac 矛盾，因此 b、c 相交不能成立（2）若 bc，已知 ac，则 ab（公理 4），这与已知条件 ab=A 矛盾
11、，因此 b、c 平行也不能成立 综合（1）（2）可知，b、c 为异面直线【总结升华】反证法在立体几何证明题中应用很普遍，我们应该弄清两个问题：一是什么样的题型适合用反证法；二是反证法实际上是证明命题的等价命题要注意若原命题的结论反面的情况不止一种时，必须将其逐一否定，才能推出命题结论的正确性 类型二、平行公理与等角定理的应用 例 2如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱 AB、AD、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）11/EF E F；（2）EA1F=E1CF1 证明：（1）连接 BD，B1D1，在ABD 中，因为 E、F 分别为 AB、AD 的中点，所以
12、1/2EFBD同理，11111/2E FB D 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，BB1/DD1，所以四边形 BB1D1D 为平行四边形，因此，BD/B1D1，又1/2EFBD，11111/2E FB D，所以 EF/E1F1（2）取 A1B1的中点 M，连接 F1M，BM，则 MF1/B1C1，又 B1C1/BC，所以 MF1/BC 所以四边形 BMF1C为平行四边形，因此，BMCF1 第 6 页 共 16 页 因为11112AMAB，12BEAB，且 A1B1/AB，所以 A1M/BE，所以四边形 BMA1E 为平行四边形，则BMA1E因此 CF1A1E，同理可证 A1FCE1 因为
13、EA1F 与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以EA1F=E1CF1（在证明EA1F=E1CF1时，还可以通过证明A1EFCF1E1来实现，由于 EF=E1F1，所以只需要证明A1F=CE1，A1E=CF1，这些只需要在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明）【总结升华】求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理 4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两直线无公共点，求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似 举一反三：【变式 1】已知 E、E1分别是正方体 A
14、BCD-A1B1C1D1的棱 AD、A1D1的中点 求证：BEC=B1E1C1 证明：如右图，连接 EE1，E1、E 分别为 A1D1、AD 的中点，A1E1/AE，四边形 A1E1EA 为平行四边形，A1A/E1E 又A1A/B1B，E1E/B1B，四边形 E1EBB1为平行四边形，E1B1EB同理 E1C1EC 又C1E1B1与CEB 方向相同，C1E1B1=CEB 类型三、异面直线所成的角 例 3由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体，如下图 1，在正四面体 ABCD 中，E，F 分别是棱 BC，AD 的中点，CF 与 DE 是一对异面直线，在图形中适当得选取一点，作出异面直
15、线 CF，DE 的平行线，并作出异面直线 CF 与 DE 所成的角 【解析】解法 1：选取平面 ACD，该平面有以下两个特点：该平面包含直线 CF；该平面与 DE 相交于点 D伸展平面 ACD，在该平面中，过点 D 作 DMCF 交 AC 的延长线于 M，连接 EM 可以看出：DE 与 DM所成的角，即为异面直线 DE 与 CF 所成的角如上图 2 解法 2：选取平面 BCF，该平面有以下两个特点：该平面包含直线 CF；该平面与 DE 相交于点 E在平面 BCF 中，过点 E 作 CF 的平行线交 BF 于点 N，连接 ND，可以看出：EN 与 ED 所成的角，即为异面直线 FC 第 7 页
16、共 16 页 与 ED 所成的角如下图 3 解法 3：选取平面 ADE，该平面有如下两个特点：该平面包含直线 DE；该平面与 CF 相交于点 F。在平面 ADE 中，过点 F 作 FGDE 与 AE 相交于点 G，连接 CG，可以看出：FG 与 FC 所成的角，即为异面直线 CF 与 DE 所成的角如上图 4 解法 4：选取平面 BCD，该平面有如下特点：该平面包含直线 DE；该平面与 CF 相交于点 C伸展平面 BCD，在该平面内过点 C 作 CKDE 与 BD 的延长线交于点 K，连接 FK，则CF 与 CK 所成的角，即为异面直线 CF 与 DE 所成的角如图 5 【总结升华】（1）两条
17、异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的。这里我们要注意：两条异面直线所成的角的范围是 090，当=90时，这两条异面直线互相垂直求两条异面直线所成的角的关键是作出与这两条异面直线分别平行的相交直线所成的角作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条直线平移到某个位置，使其与另一条直线相交或将两条异面直线同时平移到某个位置，使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当的位置一般提倡像解法 2、解法 3 那样作角，因为此角在几何体内部，易求（2）本例多方位、多角度思考问题，思路开阔
18、，运用知识灵活如我们异面直线所成的角的问题大有裨益，所以，同学们要认真理解 举一反三：【变式 1】如右图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，（1）AC 和 DD1所成的角大小为_；（2）AC 和 D1C1所成的角大小为_；（3）AC 和 A1B 所成的角大小为_ 【答案】（1）90（2）45（3）60 例 4 在空间四边形 ABCD 中，2ADBCa，E、F 分别是 AB，CD 的中点，3EFa，求 AD、BC所成的角 【解析】要求异面直线 AD，BC 所成的角，可通过在空间中找一些特殊的点此题已知 E，F 分别为两边中 第 8 页 共 16 页 点，故可寻找某一边中点作角，如 BD 的
19、中点 M，则EMF（或其补角）即为所求角 如右图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM由题意可知 EM 为BAD 的中位线，1/2EMAD 同理1/2MFBC，EM=a，MF=a，且EMF（或其补角）为所求角。在等腰MEF 中，取 EF 的中点 N，连接 MN，则 MNEF 已知3EFa，32ENa故有3sin2ENEMNEM EMN=60，从而EMF=12090 AD，BC 所成的角为EMF 的补角 故 AD 和 BC 所成的角为 60 【总结升华】求异面直线所成的角主要是用定义法求解，其步骤：（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择处于特殊位置的
20、点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点 （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角 （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，（4）取舍：因为异面直线所成的角的取值范围是 090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 举一反三：【变式 1】过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A 作直线l，使l与棱 AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【答案】D 类型四、直线与平面的位置关系 例 5下列命题中正确命题的个数为（）如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；如果
21、一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面 A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】对于，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共 第 9 页 共 16 页 点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面如下图（1）中正方体 ABCD-A1B1C1D1，A1B1平面 ABCD，A1B1与 BC 的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线 A1B1与 BC 所成的角为 90，因此命题是错误的 对于，如上图（1），A1B1AB，A1
22、D1AD 且 AD，AB平面 ABCD，A1D1，A1B1平面 ABCD，A1B1平面 ABCD，A1D1平面 ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条可以想象，经过平面 A1B1C1D1内一点 A1的任一条直线，与平面 ABCD 的位置关系都是平行的，命题也是错误的 对于，我们可以继续借助正方体 ABCD-A1B1C1D1来举反例，如上图（2），分别取 AD，BC 的中点 E，F，A1D1，B1C1的中点 G，H，顺次连接 E、F、H、G，E，F，H，G 分别为 AD，BC，B1C1，A1D1的中点，可以证明四边形 EFHG 为平行四边形，且该截面恰好把正方
23、体一分为二，A，D 两个点到该截面的距离相等，直线AD平面 EFHG=E，命题也是错误的 对于，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直 正确的命题只有一个，应选 B 【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形 正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们
24、的真假的 举一反三：【变式 1】下列命题中正确的个数是（）如果 a、b 是两条直线，ab，那么 a 平行于过 b 的任何一个平面；如果直线 a 满足 a，那么 a 与平面内的任何一条直线平行；如果直线 a、b 满足 a，b，则 ab；如果直线 a、b 和平面满足 ab，a，b，那么 b；如果 a 与平面内的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面 第 10 页 共 16 页 A0 B2 C1 D3 【答案】C 类型五、平面与平面的位置关系 例 6在以下四个命题中，正确的命题是（）平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；平面内ABC 的三个顶点到
25、平面的距离相等，则与平行；平面内的两条相交直线和平面内的两条相交直线分别平行，则与平行 A B C D 【答案】D 【解析】如右图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，对于，平面 A1D1DA 中，AD平面A1B1C1D1，分别取 AA1、DD1的中点 E，F，连接 EF，则知 EF平面 A1B1C1D1但平面AA1D1D 与平面 A1B1C1D1是相交的，交线为 A1D1，故命题错 对于，在正方体 ABCDA1B1C1D1的面 AA1D1D 中，与 AD 平行的直线有无数条，但平面 AA1D1D 与平面 A1B1C1D1不平行，而是相交于直线 A1D1，故是错的 对于，在正方体 ABCD-A
26、1B1C1D1中，分别取 AA1，DD1，BB1，CC1的中点 E，F，G，H，A1，B，C 到平面 EFHG 的距离相等，而A1BC 与平面 EFHG 相交，故是错的 命题是正确的，故选 D 【总结升华】构造相关图形，利用空间图形的形象、直观来说明两个平面的位置关系，说服力强，令人信服，需要注意的是在作图时必须把问题涉及的各种情况都考虑清楚，而无遗漏利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，因此我们要灵活地运用这个“百宝箱”来判定两个平面的位置关系另外，像判定直线与直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面的位置关系的有效方法，特别是在刚
27、刚接触它之时 举一反三：【变式 1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（）A平行 B异面 C相交 D平行或异面【答案】D【解析】本题主要考查两平面平行的特点当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面【总结升华】两个平面平行的主要特点就是它们没有公共点，这一重要特点是解题时常用的结论 例 7（1）将一个三棱锥的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？第 11 页 共 16 页 （2）将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？（3）将一个正方体的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？【答案
28、】（1）15；（2）21；（3）27 【解析】（1）如下图（1），将三棱锥的各面延展成平面后，三棱锥的内部是一个空间；由于平面 ABD，平面 ABC，平面 ACD 的延展，由这三个平面在几何体的外部，即平面 BCD 的下方会分割出一个空间，即平面BCD 对应一个空间，同理，平面 ABD，平面 ABC，平面 ACD 也各对应几何体外部的一个空间，这样的空间有4 个；同样，将上述三个平面延展后，在顶点 A 的上方，也分割出一个空间，像这样，顶点 B、C、D 各对应类似的一个空间，这一类共有 4 个空间；将这四个面所在平面延展后，几何体的外部，即棱 AB 将对应一个空间，同理其余的 5 条棱各对应类
29、似的 5 个空间，这一类共有 6 个空间因此三棱锥的各面延展后，可将空间分成1+4+4+6=15 部分 （2）如上图（2），将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成 7 部分，然后，将两底面延展成平面，那么每一个平面将这 7 部分一分为二，故共分成 37=21 部分 （3）可取玩具魔方作为实物图，可以设想正方体是魔方正中间的正方体块，空间就是魔方形状，把正方体各面延展成平面后，分割空间的块数恰好是 27，即魔方被分割的块数 【总结升华】这一类题关键是合理想象，本题从三种不同的角度解决问题，（2）中的方法是一种简单有效的方法，（1）（3）问均可用此法解决 第 12 页 共 16 页 课 后
30、作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】1给出以下命题：垂直于同一直线的两条直线平行；若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等；平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变；和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 上述命题正确的个数是（）A1 B2 C3 D4 2如右图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）AEF 与 BB1垂直 BEF 与 BD 垂直 CEF 与 CD 异面 DEF 与 A1C1异面
31、3四面体 ABCD 中，AD=BC，且 ADBC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，则 EF 与 BC 所成的角为（）A30 B45 C60 D90 4下列四个结论：（1）若两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这平面平行 其中正确的个数为（）A0 B1 C2 D3 5已知平面平面，l，点,AAl，直线/ABl，直线ACl，直线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）第 13 页 共 16 页 A/ABm BACm
32、 C/AB DAC 6设、是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A若l，则l B若/l，/，则l C若l，/，则l D若/l，则l 7一条直线l上有相异三个点ABC、到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()A./l B.l C.l与相交但不垂直 D./l或l 8.已知正四棱锥SABCD侧棱长为2，底面边长为3，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 .9右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：BM 与 ED 平行；CN 与 BE 是异面直线；CN 与 BM 成 60角；DM 与 BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号依次是 ；10不在同一条
33、直线上的三点 A、B、C 到平面的距离相等，且A，给出以下 3 个命题：ABC 中至少有一条边平行于；ABC 中至多有两条边平行于；ABC 中只可能有一条边与相交 其中正确的命题是_（把所有正确命题的序号都填上）11如右图，等腰直角三角形 ABC 中，A=90，2BC，DAAC，DAAB，若DA=1，且 E 为 DA 的中点求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 12 设异面直线 a 与 b 所成的角为 50，O 为空间一定点，试讨论，过点 O 与 a、b 所成的角都是(090)的直线l有且仅有几条?13一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明理由 1
34、4在长方体ABCDA B C D的面A C上有一点 P（如下图），其中 P 点不在对角线B D上 （1）过 P 点在空间作一直线l，使l直线 BD，应该如何作图？并说明理由 （2）过 P 点在平面A C内作一直线 l，使 l与直线 BD 成角，这样的直线有几条？应该如何作图？第 14 页 共 16 页【答案与解析】1【答案】A 【解析】错，如教室的墙角，可知垂直于同一直线的两直线可能相交；错，方向相反时两角互补；错，有无数条；只有正确 2【答案】D 【解析】EF 是ACB1的中位线，因此，EFACA1C1，故选 D 3【答案】B 【解析】如下图，取 BD 的中点 G，连接 EG，FG，则EFG
35、 为异面直线 EF 与 BC 所成的角 EG=12AD，GF=12BC，AD=BC，EG=GF ADBC，EGAD，GFBC，EGGF EGG 为等腰直角三角形，EFG=45故选 B 4【答案】A 【解析】（1）若两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线三种位置关系都有可能；（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；（4）若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和平面三种位置关系都有可能故选 A 5【答案】D 【解析】A，ABl，则 AB，ACl，C 点未必在内，由右图知选 D 6【答案】C 【解析】
36、对于选项 A、B、D 均可能出现l，而选项 C 是正确的 7.【答案】D 8.【答案】60 【解析】取底面ABCD的对角线AC的中点O，因为/OESC，所以BE与OE所成的角就是BE与SC所成的角，连接OB，解三角形OBE求得060BEO，即BE与SC所成的角为060 9.【答案】10【答案】【解析】对于，如下图（1），可有三条边与平面都平行；对于，如下图（2），显然错误 第 15 页 共 16 页 11【解析】根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引 BE 与 DC 的平行线，换句话说，平移 BE（或 CD）设想平移 CD，沿着 DA 的方向，使 D 移向 E，则 C 移向 A
37、C 的中点 F，这样 BE 与 CD 所成的角即为BEF 或其补角，解EFB 即可获解 取 AC 的中点 F，连接 BF、EF，在ACD 中，E、F 分别是 AD、AC 的中点，EFCD，BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角（或其补角）在 RtEAB 中，AB=1，1122AEAD，52BE 在 RtAEF 中，1122AFAC，12AE，22BF 在 RtABF 中，AB=1，12AF，52BF 在等腰EBF 中，121024cos1052EFFEBBE，异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为1010 12【解析】过点 O 作 a1a，b1b，则相交直线 a1、b1确定一
38、平面.a1与 b1夹角为 50或 130，设直线OA 与 a1、b1所成的角均为角，故当25时，直线l不存在；当=25时，直线l有且仅有 1 条；当 2565时，直线l有且仅有 2 条；当=65时，直线l有且仅有 3 条；当 6590时，直线l有且仅有 4 条；当=90时，直线l有且仅有 1 条.13【解析】如右图，设 Al，A，B，Bl 因为 Al，A，即直线l与平面有公共点，所以直线l与平面不平行 第 16 页 共 16 页 假设直线l与平面不相交，则l 又 Bl，而l，所以 B，这与题设B矛盾，所以l 根据直线与平面的位置关系知，满足题设条件的直线与平面相交 14【解析】（1）连接B D，在平面A C内过 P 点作直线l，使/lB D，则l即为所求作的直线/B DBD，/lB D，lBD（2）在平面A C内作 l，使 l与B D相交成角，/BDB D，l与 BD 也成角，即 l为所求作的直线 若 l与 BD 是异面直线，则 l与 BD 所成的角0,2，当2时，这样的 l有且只有一条；当2时，这样的 l有两条 若 l与 BD 共面，则 l与 BD 平行，这样的直线只有一条