人教版高中数学必修二教学案-直线、平面平行的判定.pdf

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1、 第 1 页 共 13 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 直线、平面平行的判定复习 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 直线、平面平行的判定复习 【要点梳理】知识点一、直线和平面平行的判定 文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a、b，/ab/a.要点诠释：（1）用该定理判断直线 a 与平面平行时，必须具备三个条件：直线 a 在平面外，即a；直线 b 在平面内，即b

2、；直线 a，b 平行，即 ab 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立（2）定理的作用 将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可 知识点二、两平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.图形语言：第 2 页 共 13 页 符号语言：若a、b，abA，且/a、/b，则/.要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行 知识点三、判定平面与平面平

3、行的常用方法 1利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法 2利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行 3平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定 例 1已知 AB，BC，CD 是不在同一平面内的三条线段，E，F，G 分别是 AB，BC，CD 的中点，求证：AC/平面 EFG，BD/平面 EFG【解析】欲证明 AC平面 EFG，根据直线和平面平行的判定

4、定理，只需证明 AC 平行于平面 EFG 内的一条直线，如右图可知，只需证明 ACEF 证明：如右图，连接 AC，BD，EF，GF，EG 在ABC 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，ACEF，又 AC平面 EFG，EF平面 EFG，于是 AC平面 EFG 同理可证 BD平面 EFG【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论 例 2已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一个平面内，P、Q 分别为对角线 AE、BD 上的点，且 AP=DQ，如右图求证：PQ平面 C

5、BE 证明：作 PMAB 交 BE 于点 M，QNAB 交 BC 于点 N，则 PMQN PMEPABEA，QNBQDCBD AP=DQ，EP=BQ 又AB=CD，EA=BD，PM/QN 四边形 PMNQ 是平行四边形 PQMN 第 3 页 共 13 页 综上，PQ平面 CBE，MN平面 CBE，又PQMN，PQ平面 CBE【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键 举一反三：【变式 1】如右图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F 分别是 PB，PC 的中点（1）证明：EF平面 PAD；（2）求

6、三棱锥 EABC 的体积 V【解析】（1）在PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点，EFBC 又 BCAD，EFAD 又AD平面 PAD，EF平面 PAD，EF平面 PAD（2）连接 AE，AC，EC，过 E 作 EGPA 交 AB 于点 G，如下图，则 EG平面 ABCD，且12EGPA 在PAB 中，AP=AB，PAB=90，BP=2，2APAB，22EG 1122222ABCSAB BC，112123323EABCABCVSEG【变式2】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC.【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形

7、，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.【证明】设 PC 的中点为 G，连接 EG、FG F 为 PD 中点，GFCD 且 GF=12CD ABCD，AB=CD，E 为 AB 中点，GFAE，GF=AE，四边形 AEGF 为平行四边形 EGAF，又AF平面 PEC，EG平面 PEC，AF平面 PEC【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用 第 4 页 共 13 页【变式 3】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，90ACB，EAABCD 平面，/,/,/,2EFAB FGBC EG

8、AC ABEF 若M是线段AD的中点，求证：/GM平面ABFE。【证明】因为/,/,/,90EFAB FGBC EGACACB，所以90,EGFABCEFG，由于2ABEF，因此，2BCFG，连接AF，由于/FGBC，12FGBC 在ABCD中，M是线段AD的中点，则/AMBC，且12AMBC，因此/FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此/GMFA 又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE，所以/GM平面ABFE 例 3如果平面外的一条直线 a 和平面内任何一条直线都没有公共点，则这条直线和平面平行【证明】假设 a 不平行于，a，a 与相交 设 a=A，过 A 在内作直线 b

9、，则b，ab=A这与已知矛盾，a【总结升华】判定（或证明）直线与平面平行的常用方法：（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，若直接证明有点困难，则借助反证法来完成证明（2）判定定理法：在平面内找到一条直线与它平行，这是最常用的方法（3）面面法：利用面面平行的性质（以后学习）来完成证明 举一反三：【变式 1】如右图所示，四面体 ABCD 中，E，F，G 分别是棱 BC，CD，DA 的中点，则在四面体的棱中，与平面 EFG 平行的有几条？分别是哪几条？【解析】因为 E，F 分别是 BC，CD 的中点，所以 EFBD，又 BD平面 EFG，EF平面 EFG，所以 BD平面 EFG；同理，AC平面 E

10、FG；取 AB 的中点 H，连接 EH，HG，则 HEACFG，HGBDEF，所以四边形 EFGH 为平行四边形，所以 E，F，G，H 四点共面，所以 AH平面 EFG=H，AB 与平面 EFG 不平行；另外易知，AD，CD，BC 与平面 EFG 不平行 第 5 页 共 13 页 所以，四面体的 6 条棱中，与平面 EFG 平行的棱有 2 条，即 BD，AC 类型二、平面与平面平行的判定 例 4已知正方体 ABC DA1B1C1D1，求证：平面 AB1D1平面 BDC1【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线【证明】如图，AB/A1

11、B1，C1D1/A1B1，AB/C1D1，四边形 ABC1D1为平行四边形，AD1BC1 又 AD1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1 同理，BD平面 AB1D1，又 BDBC1=B，平面 AB1D1平面 BDC1【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论 例 5如右图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F 分别是棱 A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点 求证：平面 AMN平面 EFDB【证明】连接 MF，M

12、、F 分别是 A1B1、C1D1的中点，且四边形 A1B1C1D1为正方形，MF/A1D1 又 A1D1/AD，MF/AD，四边形 AMFD 是平行四边形，AMDFDF平面 EFDB，AM平面 EFDB，AM平面 EFDB 同理，AN平面 EFDB 又 AM、AN平面 AMN，且 AMAN=A，平面 AMN平面 EFDB【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行 举一反三：【变式 1】点 P 是ABC 所在平面外一点，123,G G G分别是PBC，APC，ABP 的重心，求证：面123/G G G面 ABC.第 6 页 共 13

13、页 证明：连32,PG PG，并延长分别交 AB，AC 于 M，Q，连 MQ.因为32,G G为重心，所以 M，Q 分别为所在边的中点.又直线 PMPQ=P，所以直线 PM，PQ 确定平面 PMQ,在PMQ 中，因为32,G G为重心，所以323221PGPGG MG Q，所以23/G GMQ.因为23G G 面 ABC，MQ 面 ABC，23/G GMQ，所以23/G G面 ABC 同理13/GG面 ABC，因为13GG 面123GG G，23G G 面123GG G，13233GGG GG，23/G G面 ABC，13/GG面 ABC，所以面123/G G G面 ABC.【变式 2】如右图

14、所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，E 分别是 BC 与 B1C1的中点 求证：平面 A1EB平面 ADC1【证明】由棱柱的性质知，B1C1/BC，又 D，E 分别为 BC，B1C1的中点，所以C1E/DB，则四边形 C1DBE 为平行四边形，因此 EBC1D，又 C1D平面 ADC1，EB平面 ADC1，所以 EB平面 ADC1 连接 DE，同理，EB1/BD，所以四边形 EDBB1为平行四边形，则 ED/B1B 因为 B1B/A1A（棱柱的性质），所以 ED/A1A，则四边形 EDAA1为平行四边形，所以 A1EAD，又 A1E平面 ADC1，AD平面 ADC1，所以 A1E平面

15、 ADC1 由 A1E平面 ADC1，EB平面 ADC1，A1E平面 A1EB，EB平面 A1EB，且 A1EEB=E，所以平面 A1EB平面 ADC1 类型三、平行平面间距离的求法 例 6如右图所示，已知正三棱柱 A1B1C1ABC，E、E1分别是 AC、A1C1的中点（1）求证：平面 AB1E1平面 BEC1；（2）当该棱柱各棱长都为 a 时，求（1）中两个平行平面间的距离【解析】两平行平面间的距离可转化为线面距离，最终可转化为点面距离（1）由于 AE/E1C1，因此四边形 AE1C1E 是平行四边形，则 AE1EC1，则 AE1平面 BEC1同理，B1E1平面 BEC1由两平面平行的判定

16、定理得，平面 AB1E1平面 BEC1 第 7 页 共 13 页（2）设平行平面 AB1E1与平面 BEC1间的距离等于 d，则点 A 到平面 BEC1的距离等于 d，由等积法得11111133BECA BECCABEABESdVVSC C，即11ABEBECSdCCS 易知AEB=90，BEC1=90 则2113322 228ABEaaaSAE BE，12111351522228BECaaaSBE C E，则55ad 故（1）中两个平行平面间的距离等于55a【总结升华】证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行，即线线平行 线面平行判定定理线面平行 面面平行判定定理

17、面面平行，在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，使问题顺利得到解决熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视 若两个平面平行，则一个平面内任一点到另一个平面的距离即为这两个平行平面间的距离类似地，若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离因此，面面距离、线面距离最终转化为点到平面的距离，而求点到平面的距离多用等体积方法（如本例中利用 VABEC1=VC1ABE）求距离 举一反三：【变式 1】直四棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD 为正方形，边长为 2，侧棱13AA，M、N 分别

18、为11A B、11AD的中点，E、F 分别是11BC、11C D的中点(1)求证：平面 AMN平面 EFDB；(2)求平面 AMN 与平面 EFDB 的距离【解析】(1)证明：连接11AC，分别交 MN、EF 于 P、Q连接 AC 交 BD 于 O，连接 AP、OQ 由已知可得 MNEF，MN平面 EFDB 由已知可得，PQAO 且 PQ=AO APOQAPEFDB 平面，APMNP，平面 AMN平面 EFDB(2)过 A1作平面 AMN 与平面 EFDB 的垂线，垂足为 H、H，易得1112AHAPHHPQ，第 8 页 共 13 页 由2222112 238342APA AAP，根据11AA

19、MNA A MNVV 则1382111 1233232AH 解得13 1919AH 所以，平面 AMN 与平面 EFDB 的距离为6 1919.课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】1下列命题（其中 a、b 表示直线，表示平面）中，正确的个数是（）若 ab，b，则 a；若 a，b，则 ab；若 ab，b，则 a；若 a，b，则 ab A0 B1 C2 D3 第 9 页 共 13 页 2下列命题中，正确的个数是（）若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；垂直于同一直线的两个平面平行

20、；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行 A1 B2 C3 D4 3已知平面，和直线,a b c，给出下列条件：/,/ac bc；/,/,/ab；,/ab。其中可以使结论/ab成立的条件有（）A.B.C.D.4下列命题中正确的是（）A平行于同一平面的两条直线平行 B同时与两条异面直线平行的平面有无数多个 C如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 D直线l不在平面内，则/l 5已知 m，n 是两条直线，、是两个平面有以下命题：m，n 相交且都在平面、外，m，m，n，n，则；若 m，m，则；若 m，n，mn，则其中正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3

21、6在长方体1111ABCDABC D，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A到截面11AB D的距离为()A 83 B 38 C43 D 34 7过已知直线外一点与已知直线平行的直线有 条；过平面外一点与已知平面平行的直线有 条，与已知平面平行的平面有 个。8当/,/，则与的关系是 。9AB、BC、CD 是不在同一平面内的三条线段，经过它们中点的平面和 AC 的位置关系是_，和 BD 的位置关系是_。10在正四棱柱1111ABCDABC D中，,E F G H分别为棱1111,CC C D D D DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件 时，有/MN平面1

22、1B BDD。第 10 页 共 13 页 三、解答题 11如右图，P 为梯形 ABCD 所在平面外一点，CD/2AB，E 为 PC 的中点。求证：BE平面 PAD。12两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，MAC，NFB，且 AM=FN，过 M 作 MHAB 于 H.求证：MN平面 BCE 13在正方体1111ABCDABC D中，P为11AC上任意一点。（1）求证：/DP平面1ABC；（2）求证：平面11AB D/平面1C BD.14 如下图，左边是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右边是它的正视图和侧视图（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求

23、画出该多面体的俯视图。（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连接 BC，证明：BC平面 EFG。15 直四棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD 为正方形，边长为 2，侧棱13AA，M、N 分别为11A B、11AD的中点，E、F 分别是11BC、11C D的中点(1)求证：平面 AMN平面 EFDB；(2)求平面 AMN 与平面 EFDB 的距离 【答案与解析】第 11 页 共 13 页 1【答案】A 【解析】直线 a 有可能在平面内；两直线可能平行、相交或异面；a 有可能在平面内；a 与 b 有可能异面。2【答案】C 【解析】正确。3【答案】D 【解析】平行

24、于同一条直线的两条直线平行。4【答案】B 【解析】在两直线外任取一点 P，作两异面直线的平行线所确定的平面都与它们平行。5【答案】B 【解析】设 mn=P，则直线 m，n 可确定一个平面，设为，由面面平行的判定定理知，/，/，因此，/，即命题正确；在长方体 ABCDA1B1C1D1中，C1D1平面 ABCD，C1D1平面 ABB1A1，但平面ABCD平面 ABB1A1=AB，即满足命题的条件，但平面 ABCD 与平面 ADD1A1不平行，因此命题不正确；同样可知，命题也不正确。故选 B。6【答案】C 【解析】利用三棱锥111AAB D的体积变换：1111 11AAB DA A B DVV，则1

25、12 4633h 7【答案】1，无数，1 8【答案】/9【答案】平行 平行 【解析】在空间四边形 ABCD 中，E、F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点，则 ACEF，AC平面 EFG。同理 BDFG，BD平面 EFG。10【答案】点M在线段FH上 11【解析】如右图，取 PD 中点 F，连接 EF，FA。E 为 PC 中点，在PDC 中，1/2EFDC，EF/AB，四边形 ABEF 为平行四边形，BEAF。AF平面 PAD 且 BE平面 PAD，BE平面 PAD。12【解析】(1)正方形 ABCD 中，MHAB，则 MHBC，连结 NH，由 BF=AC，FN=AM，得FNAHBFAB，N

26、HAFBE 由 MHBC，NHBE，平面 MNH平面 BCE(2)MN平面 MNH，平面 MNH平面 BCE，MN平面 BCE 第 12 页 共 13 页 13【解析】(1)正方体1111ABCDABC D,11/,ADBC 1/AD平面1ABC.同理，1/C D平面1ABC 11ADC DD 平面11AC D/平面1ABC DP 平面11AC D，DP/平面1ABC。（2）与（1）中平面11AC D/平面1ABC的证明类似。14【解析】（1）如下图（1）所示。（2）所求多面体的体积3112844 6 4(2 2)2(cm)323VVV 长方体三棱锥。（3）将原多面体还原为长方体，如上图（2）

27、，连接 AD，因为/D CDC，/DC AB，所以/D CAB，所以四边形ABC D为平行四边形，所以/ADBC。因为 E，G 分别是AA，A D的中点，所以在AA D中，EGAD，因此 EGBC。又BC 平面 EFG，EG平面 EFG，所以/BC平面 EFG。15【解析】(1)证明：连接11AC，分别交 MN、EF 于 P、Q连接 AC 交 BD 于 O，连接 AP、OQ 由已知可得 MNEF，MN平面 EFDB 由已知可得，PQAO 且 PQ=AO APOQAPEFDB 平面，APMNP，平面 AMN平面 EFDB(2)解：过 A1作平面 AMN 与平面 EFDB 的垂线，垂足为 H、H，易得1112AHAPHHPQ，由2222112 238342APA AAP，第 13 页 共 13 页