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1、1.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)11111()(1)012;82842E X (2)2222211115()(1)012;82844E X (3)1(23)2()32342EXE X 2.已知 100 个产品中有 10个次品，求任意取出的 5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5905100C0.583C 1410905100C C0.340C 2310905100C C0.070C 3210
2、905100C C0.007C 4110905100C C0C 5105100C0C 故()0.58300.340 10.07020.00730 40 5E X 0.501,520()()iiiD XxE XP 222(00.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)00.432.3.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 P p1p2p3 且已知 E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求 P1，P2，P3.【解】因1231PPP,又12331()(1)010.1E XPPPPP,222212313()(1)010.9E XPPPPP 由联立解得1230.4,0.1,0
3、.5.PPP 4.袋中有 N只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白球的概率是多少？【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则 0()|NkP AP A XkP Xk全概率公式 0011().NNkkkP XkkP XkNNnE XNN 5.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）=.,0,21,2,10,其他xxxx 求 E（X），D（X）.【解】12201()()dd(2)dE Xxf xxxxxxx 213320111.33xxx 122232017()()dd(2)d6E Xx f xxxxxxx 故221()()().6D XE XE X 6.
4、设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ 4X.【解】(1)(231)2()3()1E UEXYE XE Y 2 53 11 144.(2)44()E VE YZXE YZE X,()()4()Y ZE YE ZE X因独立 11 84 568.7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求 E（3X 2Y），D（2X 3Y）.【解】(1)(32)3()2()3 32 33.EXYE XE Y (2)22(23)2()(3)4 129 1
5、6192.DXYD XDY 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,0,10,其他xyxk 试确定常数 k，并求 E（XY）.【解】因1001(,)d ddd1,2xf x yx yxk yk 故 k=2 100()(,)d dd2 d0.25xE XYxyf x yx yx xy y.9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）=;,0,10,2其他xxfY（y）=(5)e,5,0,.yy其他 求 E（XY）.【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值 102()2 d,3E Xxx x 5(5)500()ed5e de d5 1 6.zyyzzE Yy
6、yzzz 令 由 X 与 Y 的独立性，得 2()()()64.3E XYE XE Y X与 Y 独立，故联合密度为(5)2 e,01,5,(,)()()0,yXYxxyf x yfxfy其他 于是 11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yyE XYxyxx yxxyy X，Y 的概率密度分别为 fX（x）=;0,0,0,22xxxefY（y）=.0,0,0,44yyye 求（1）E（X+Y）;（2）E（2X 3Y2）.【解】22-2000()()d2edeedxxxXXxfxxxxxx 201ed.2xx 401()()d4edy.4yYE Yyfyyy 2224202
7、1()()d4ed.48yYE Yy fyyyy 从而(1)113()()().244E XYE XE Y(2)22115(23)2()3()23288EXYE XE Y X 的概率密度为 f（x）=.0,0,0,22xxcxxke 求（1）系数 c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由2220()ded12k xcf xxcxxk得22ck.(2)2220()()d()2edk xE Xxf xxxk xx 222202ed.2k xkxxk(3)222222201()()d()2e.k xE Xx f xxxk xk 故 2222214()()().24D XE XE Xkkk
8、12.袋中有 12个零件，其中 9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）.【解】设随机变量 X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X的可能取值为 0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 900.750,12P X 3910.204,1211P X 32920.041,1211 10P X 321930.005.1211 109P X 于是，得到 X 的概率分布表如下：X 0 1 2 3 P 由此可得()0 0.7501 0.2042 0.0413 0.0050.30
9、1.E X 22222222()0750 10.20420.04130.0050.413()()()0.413(0.301)0.322.E XD XE XE X X（以年计）服从指数分布，概率密度为 f（x）=.0,0,0,414xxxe 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和 200 元/41/4111001ede4xP YP Xx 1/420011e.P YP X 故1/41/41/4()100e(200)(
10、1e)300e20033.64E Y (元).X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有 E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，记 niiSXnX12,1，S2=niiXXn12)(11.（1）验证)(XE=，)(XD=n2；（2）验证 S2=)(11122niiXnXn；（3）验证 E（S2）=2.【证】(1)1111111()()().nnniiiiiiE XEXEXE Xnuunnnn 22111111()()nnniiiiiiiD XDXDXXDXnnn之间相互独立 2221.nnn(2)因 222221111()(2)2nnnniiiiiiiiiXXXXXXXnXXX 222
11、2112nniiiiXnXX nXXnX 故22211()1niiSXnXn.(3)因2(),()iiE Xu D X,故2222()()().iiiE XD XEXu 同理因2(),()E Xu D Xn,故222()E Xun.从而 222221111()()()()11nniiiiE sEXnXEXnE Xnn 221222221()()11().1niiE XnE Xnnununn X和 Y，已知 D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,计算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()XYXYD XX YD Y 3 2 1
12、0(1)8 328 (因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=221,1,0,.xy其他 试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X和 Y 不是相互独立的.【解】设22(,)|1Dx yxy.2211()(,)d dd dxyE Xxf x yx yx x y 2 1001=cosd d0.rr r 同理 E(Y)=0.而 Cov(,)()()(,)d dX YxE xyE Yf x yx y 222 1200111d dsincosd d0 xyxy x yrr r,由此得0XY,故 X与 Y 不
13、相关.下面讨论独立性，当|x|1 时，22121112()d1.xXxfxyx 当|y|1 时，22121112()d1yYyfyxy.显然()()(,).XYfxfyf x y 故 X 和 Y 不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证 X和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的分布律，其分布律如下表X Y X 1 0 1 P 38 28 38 Y 1 0 1 P 38 28 38
14、XY 1 0 1 P 28 48 28 由期望定义易得 E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而 E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知 XY=0,即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的.又331111,1888P XP YP XY 从而 X与 Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如图，SD=12，故（X，Y）的概率密度为 题 18 图 2,(,),(,)0,x yDf x y其他.()(,)d dDE Xxf x yx y11001d2d3x
15、xxy 22()(,)d dDE Xx f x yx y112001d2d6xxxy 从而222111()()().6318D XE XE X 同理11(),().318E YD Y 而 11001()(,)d d2d dd2d.12xDDE XYxyf x yx yxy x yxxy y 所以 1111Cov(,)()()()123336X YE XYE XE Y.从而 1Cov(,)1362()()111818XYX YD XD Y 19.设（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=1sin(),0,0,2220.xyxy,其他 求协方差 Cov（X，Y）和相关系数 XY.【解】/2/2001
16、()(,)d ddsin()d.24E Xxf x yx yxxxyy 22222001()dsin()d2.282E Xxxxyy 从而 222()()()2.162D XE XE X 同理 2(),()2.4162E YD Y 又 /2/200()dsin()d d1,2E XYxxyxyx y 故 24Cov(,)()()()1.2444X YE XYE XE Y 2222224Cov(,)(4)8164.832832()()2162XYX YD XD Y 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为4111，试求 Z1=X 2Y 和 Z2=2X Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)
17、=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而 12()(2)()4()4Cov(,)14 44 113,()(2)4()()4Cov(,)4 144 14,D ZD XYD XD YX YD ZDXYD XD YX Y 12Cov(,)Cov(2,2)Z ZXYXY 2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()2 1 5 12 45.X XY XX YY YD XX YD Y 故 121212Cov(,)5513.26()()134Z ZZ ZD ZD Z 21.对于两个随机变量 V，W，若 E（V2），E（W2）存在，证明：E（VW）2E（V2）E（W2
18、）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy Schwarz）不等式.【证】令2(),.g tE VtWtR 显然 22220()()2g tE VtWE VtVWt W 2222,.E Vt E VWtE WtR 可见此关于 t的二次式非负，故其判别式 0，即22202()4()()E VWE WE V 2224()()().E VWE VE W 故222()()().E VWE VE W X 服从参数 Y 的分布函数 F（y）.【解】设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间 XE(),E(X)=1=5.依题意 Y=min(X,2).对于 y0,f(y)=PY
19、y=0.对于 y2,F(y)=P(Xy)=1.对于 0y2,当 x0 时，在(0,x)内无故障的概率分布为 PXx=1 e x,所以 F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1 e y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3件合格品.从甲箱中任取 3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数 Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1）Z 的可能取值为 0，1，2，3，Z的概率分布为 33336C CCkkP Zk,0,1,2,3.k Z=k 0 1 2 3 Pk 120 920 920 120 因此，19
20、913()0123.202020202E Z (2)设 A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 30()|kP AP ZkP A Zk 191921310.202062062064 X（毫米）服从正态分布 N（,1），内径小于 10 或大于 12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 T（单位：元）与销售零件的内径 X 有如下关系 T=.12,5,1210,20,10,1XXX若若若 问：平均直径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】()1020 10125 12E TP XPXP X 1020 1012 5 12(10
21、)20(12)(10)51(12)25(12)21(10)5.P XuuPuXuuP Xuuuuuuuu 故 2/2d()125(12)(1)21(10)(1)0()e),d2xE Tuuxu 令 这里 得 22(12)/2(10)/225e21euu 两边取对数有 2211ln25(12)ln21(10).22uu 解得 125111ln11ln1.1910.91282212u(毫米)由此可得，当 u=时，平均利润最大.X 的概率密度为 f(x)=.,0,0,2cos21其他xx 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于/3 的次数，求 Y2的数学期望.（2002 研考）【解】
22、令 1,3(1,2,3,4)0,3iXYiX.则41(4,)iiYYBp.因为 133pP XP X 及/3011cosd3222xP Xx,所以111(),(),()42,242iiE YD YE Y 2211()41()()22D YE YEY,从而222()()()125.E YD YE Y 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间 Ti(iT=T1+T2的概率密度 fT(t)，数学期望 E（T）及方差 D（T）.【解】由题意知：55e,0,()0,0titf tt.因 T1,T2独立，所以 fT(t)=f1(t)*f2(t).当 t0 时，fT(t)=0;当 t0 时，利用卷积
23、公式得 55()5120()()()d5e5ed25 etxt xtTftf xf txxxt 故得 525 e,0,()0,0.tTttftt 由于 TiE(5),故知 E(Ti)=15,D(Ti)=125(i=1,2)因此，有 E(T)=E(T1+T2)=25.又因 T1,T2独立，所以 D（T）=D（T1+T2）=225.X，Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1/2 的正态分布，求随机变量|X Y|的方差.【解】设 Z=X Y，由于22110,0,22XNYN 且 X 和 Y 相互独立，故 ZN（0，1）.因 22()()(|)(|)D XYD ZE ZE Z 22()(),E
24、ZE Z 而 22/21()()1,(|)|ed2zE ZD ZEZzz 2/2022ed2zzz，所以 2(|)1DXY.p(01=P=0,PX=1,Y=1=PU 1,U1 11d1 1144xPU 21d11,11,1144xP XYP UUP U.故得 X与 Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)1110424X Y.(2)因22()()()D XYE XYE XY,而 X+Y 及（X+Y）2的概率分布相应为 202111424XY,204()1122XY.从而11()(2)20,44E XY 211()042,22E XY 所以22()()()2.D XYE
25、 XYE XY X 的概率密度为 f(x)=xe21，（x+）(1)求 E（X）及 D（X）；（2）求 Cov(X,|X|),并问 X与|X|是否不相关？（3）问 X 与|X|是否相互独立，为什么？【解】(1)|1()ed0.2xE Xxx 2|201()(0)ed0e d2.2xxD Xxxxx(2)Cov(,|)(|)()(|)(|)XXE XXE XEXE XX|1|ed0,2xx xx 所以 X与|X|互不相关.(3)为判断|X|与 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 x+中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有 0000|.xXxXxXx 所以000|
26、1.PXxP Xx 故由 00000,|P XxXxPXxPXxP Xx 得出X与|X|不相互独立.X和 Y 分别服从正态分布 N（1，32）和 N（0，42），且 X与 Y 的相关系数 XY=1/2，设 Z=23YX.（1）求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z）；（2）求 X与 Z的相关系数 XZ；（3）问 X与 Z是否相互独立，为什么？【解】(1)1().323XYE ZE()2Cov,3232XYX YD ZDD 11119162Cov(,),9432X Y 而 1Cov(,)()()3 462XYX YD XD Y 所以 1()1463.3D Z (2)因11Cov(,)Cov,
27、Cov,Cov,3232XYX ZXX XX Y 119()(6)3=0,323D X-所以 Cov(,)0.()()XZX ZD XD Z(3)由0XZ，得 X 与 Z1,3,(1,9)3ZNXN，所以 X与 Z也相互独立.n 次，以 X和 YX和 Y 的相关系数XY.【解】由条件知 X+Y=n，则有 D（X+Y）=D（n）=0.再由 XB(n,p),YB(n,q)，且 p=q=12,从而有 ()()4nD XnpqD Y 所以 0()()()2()()XYD XYD XD YD XD Y 2,24XYnn 故XY=1.X和 Y 的联合概率分布为 1 0 1 0 1 试求 X和 Y 的相关系
28、数.【解】由已知知 E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而 XY 的概率分布为 YX 1 0 1 P 所以 E（XY）=0.08+0.2=0.12 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y 0.60.2=0 从而 XY=0 A和 B，0P(A)1，0P(B)1,则称=)()()()()()(BPAPBPAPBPAPABP为事件A和 B 的相关系数.试证：（1）事件 A和 B独立的充分必要条件是=0；（2）|1.【证】（1）由 的定义知，=0 当且仅当 P(AB)P(A)P(B)=0.而这恰好是两事件 A、B独立的定义，即=0是 A和 B 独立的充分必要条件.(2)引入随机变量 X与 Y 为
29、1,0,AXA若 发生若 发生;1,0,BYB若 发生若 发生.由条件知，X和 Y 都服从 0 1 分布，即 011()()XP AP A011()()YP BP B 从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(),D(Y)=P(B)P(),Cov(X,Y)=P(AB)P(A)P(B)所以，事件 A 和 B的相关系数就是随机变量 X和 Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.36.设随机变量 X的概率密度为 fX(x)=.,0,20,41,01,21其他xx 令 Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1)Y 的概率密度
30、fY(y)；(2)Cov(X,Y);(3)1(,4)2F.解：(1)Y的分布函数为 2()YFyP YyP Xy.当 y0时，()0YFy，()0Yfy；当 0y1 时，3()004YFyPyXyPyXPXyy，3()8Yfyy；当 1y4时，11()10024YFyPXPXyy 1()8Yfyy；Y X 当 y4时，()1YFy，()0Yfy.故 Y 的概率密度为 3,01,81()0,14,80,.Yyyfyyy 其他(2)0210111()()ddd244+XE X=xfx xx xx x-,02222210115()()()ddd)246+XE Y=E X=x fx xxxxx-,02233310117()()()ddd248+XE XY=E Y=x fx xxxxx-,故 Cov(X,Y)=2()()()3E XYE XE Y=-.(3)2111(,4),4,4222FP XYP XX 11,22 222P XXPX 11 124PX .37.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布,求 PX=E(X2).解：因为其分布律为 Px=k=1!ek,k=0,1,2,