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1、习题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.（1）掷一颗骰子，出现奇数点.（2）掷二颗骰子，A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个 1 点.”B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现 1点.”（3）将一枚硬币抛两次，A=“第一次出现正面.”B=“至少有一次出现正面.”C=“两次出现同一面.”【解】112 3 4 5 6135A（），；(2)(,)|,1,2,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(2 2),(2 4),(2 6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4)
2、,(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i ji jABAB，正 反正 正反 正反 反正 正正 反正 正正 反反,),(,),(,),C 正正 正反 反 A，B，C为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C 都不发生；（2）A与 B 发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有 2个发生；（8）A，B，C至少有 2个发生.【解】（1）ABC（2）AB（3）ABC（4）ABC=ABCBABCBCACABABC=ABC
3、(5)ABC=ABC (6)ABC(7)BCACABABCABCBABC=ABC=(8)ABBCCA=ABACBCABC 3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:(1)AB=(AB)B；(2)B=AB；(3)BAC=ABC；(4)(AB)(AB)=；(5)若 AB，则 A=AB；(6)若 AB=，且 CA，则 BC=；(7)若 AB，则；(8)若 BA,则 AB=A.【解】(1)不成立.特例：若B=，则BB=B.所以，事件发生，事件 B必不发生，即B发生，BB 不发生.故不成立.(2)不成立.若事件发生，则不发生，B发生，所以 B不发生，从而不成立.(3)不成立.BA，AB画文氏图如下:所以
4、,若-B发生,则AB发生,AB不发生,故不成立.B 与AB为互斥事件.发生,则事件 B发生,所以B 发生.若事件B发生,则事件发生,事件 B发生.故成立.(6)成立.若事件 C 发生,则事件发生,所以事件 B 不发生,故 BC=.(7)不成立.画文氏图,可知BA.(8)成立.若事件发生,由()AAB,则事件B 发生.若事件B 发生,则事件,事件 B 发生.若事件发生,则成立.若事件 B 发生,由BA,则事件发生.A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1P(A)P(AB)=1 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)
5、=0.7,求：（1）在什么条件下 P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下 P（AB）取到最小值？【解】（1）当 AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2）当 AB=时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设 A，B，C为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求 A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=34 7.从 52张扑克牌中任意取出 13张，问有 5 张黑桃，3张红心，3 张方块，2张梅花的概率是多
6、少？【解】p=5332131313131352C C C C/C 8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故 P（A1）=517=（17）5 （亦可用独立性求解，下同）（2）设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故 P（A2）=5567=(67)5(3)设 A3=五个人的生日不都在星期日 P（A3）=1P(A1)=1(17)5 9.从一批由 45 件正品，5 件次品组成的产品中任
7、取 3 件，求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从 50 个产品中取 3 个,有种取法.因只有一件次品,所以从 45 个正品中取 2 个,共种取法;从 5 个次品中取 1 个,共种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为种,所以所求概率为21455350C CPC.N件，其中 Mn 件（n30.如图阴影部分所示.22301604P 22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为 x,y，则 0 x,y1.（1）x+y65.11 4 4172 5 510.68125p (2)xy=14.1111244111
8、ddln242xpxy 题 22 图 23.设 P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求 P（BA）【解】()()()()()()()()P ABP AP ABP B ABP ABP AP BP AB 0.70.510.70.60.54 24.在一个盒中装有 15个乒乓球，其中有 9 个新球，在第一次比赛中任意取出 3 个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出 3 个球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率.【解】设 Ai=第一次取出的 3个球中有 i个新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的 3 球均为新球 由全概率公式，有 30()()()iiiP BP B A P
9、 A 33123213336996896796333333331515151515151515CCC CCC CCCCCCCCCCCC0.089 25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则=被调查学生是不努力学习的.由题意知 P（A）=0.8，P（）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故
10、由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.2 0.110.027020.8 0.90.2 0.137 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%(2)()()()()()()()()()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.8 0.140.30770.8 0.10.2 0.913 即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%.26.将两信息分别编码为 A和 B 传递出来，接收站收到时，A被误收作 B 的概率为 0.02，而 B被误收作
11、AA与 B 传递的频繁程度为 2A，试问原发信息是 A的概率是多少？【解】设 A=原发信息是 A，则=原发信息是 B C=收到信息是 A，则=收到信息是 B 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C AP A CP A P C AP A P C A 2/3 0.980.994922/3 0.98 1/3 0.01 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（颜色只有黑、白两种，箱中原有什么颜色的球是等可能的）【解】设 Ai=箱中原有 i 个白球（i=0,1,2），由题设条件知 P（Ai）=13,iB=抽出一球为白球.由
12、贝叶斯公式知 111120()()()()()()()iiiP B A P AP ABP A BP BP B A P A 2/3 1/311/3 1/32/3 1/3 1 1/33 28.某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设 A=产品确为合格品，B=产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.96 0.980.9980.96 0.98
13、0.04 0.05 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15和 0.30；如果“谨慎的”被保险人占 20%，“一般的”占50%，“冒失的”占 30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设 A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般的”，C=该客户是“冒失的”，D=该客户在一年内出了事故 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P ADP A P D AP A DP DP A P D AP B P D BP C P D C 0.2
14、 0.050.0570.2 0.050.5 0.150.3 0.3 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设 Ai=第 i道工序出次品（i=1,2,3,4）.412341()1()iiPAP A A A A 12341()()()()P A P A P A P A 1 0.980.970.950.970.124 31.设每次射击的命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9?【解】设必须进行 n 次独立射击.则1(0.8
15、)0.9n 即为 (0.8)0.1n故 n1lg8=11.07，至少必须进行 11次独立射击.32.证明：若 P（AB）=P(A)，则 A，B 相互独立.【证】(|)(|)P A BP A B即()()()()P ABP ABP BP B 亦()()()()P AB P BP AB P B，即()1()()()()P ABP BP AP AB P B 因此 ()()()P ABP A P B,故 A与 B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为151314，求将此密码破译出的概率.【解】设 Ai=第 i人能破译（i=1,2,3），则 31231231()1()1()()
16、()iiPAP A A AP A P A P A 42310.6534 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 A=飞机被击落，Bi=恰有 i人击中飞机，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 30()(|)()iiiP AP A B P B0.7)+0.7)1。35.已知某种疾病患者的痊愈率为 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10个病人服用，且规定若 10个病人中至少有四人治好则认为这种药
17、有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.解(1)3101100C(0.35)(0.65)0.5138kkkkp；(2)10102104C(0.25)(0.75)0.2241kkkkp 36.一架升降机开始时有 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离
18、开，故所有可能结果为 106种.（1）2466C 9()10P A，也可由 6重贝努里模型：224619()C()()1010P A （2）6 个人在十层中任意六层离开，故6106P()10P B （3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有 3个人在同一层离开，另一人在其余 8 层中任一层离开，共有131948C C C种可能结果；4 人同时离开，有种可能结果；4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故1213114610694899()C C(C
19、 C CCP)/10P C （4）D=.故6106P()1()110P DP B 37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果 n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】（1）111pn(2)23!(3)!,3(1)!npnn(3)12(1)!13!(2)!;,3!nnppnnnn 38.将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为 x,y,axy.则基本事件集为由 0 xa,0ya,0axy正正（甲乙）=（甲正乙正）=（n+1甲反n乙反）=（甲反
20、1+乙反）=（甲反乙反）由对称性知 P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此 P(甲正乙正)=12 46.证明“确定的原则”（Surething）：若 P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，则 P（A）P(B).【证】由 P（A|C）P(B|C),得()(),()()P ACP BCP CP C 即有()()P ACP BC同理由 (|)(|),P A CP B C 得()(),P ACP BC故()()()()()()P AP ACP ACP BCP BCP B n 节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设 Ai=第 i节车厢是空的
21、，（i=1,n）,则 121(1)1()(1)2()(1)1()(1)nkkikkijkiiinP AnnP A AnnP A AAn 其中 i1,i2,in1是 1，2，n 中的任 n1个.显然 n 节车厢全空的概率是零，于是 2112111122111111123111()(1)C(1)2()C(1)1()C(1)0()(1)nnnkkinikijnij nnkniiiniiinnnniniSP AnnnSP A AnnSP A AAnSPASSSS 121121C(1)C(1)(1)C(1)kknnknnnnnnn 故所求概率为121121()1 C(1)C(1)nkiinniPAnn
22、111(1)C(1)nnknnn 48.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为0.试证明：不论0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为 1.【证】在前 n次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()nn m只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 A=投掷硬币 r次都得到国徽B=这只硬币为正品 由题知(),()mnP BP Bmnmn 1(|),(|)12rP A BP A B 则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P ABP B
23、P A BP B AP AP B P A BP B P A B 121212rrrmmmnmnmnmnmn 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 Nr 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r根的概率又有多少？【解】以 B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P BP B.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr次，设 n次取自 B1盒（已空），nr次取自 B2盒，第 2nr+1次拿起 B1，发现已空。把取 2nr次火柴视作 2nr重贝努里试验，则所求概率为 12211112C()()C2222nn
24、n rnn rn rr rp 式中 2 反映 B1与 B2盒的对称性（即也可以是 B2盒先取空）.（2）前 2nr1次取火柴，有 n1次取自 B1盒，nr 次取自 B2盒，第 2nr次取自 B1盒，故概率为 111212212111112C()()C()2222nnn rnn rn rn rp 51.求 n 重伯努利试验中 A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中 A出现的概率为 p.则由 00112220()CCCC1nnnnnnnnnnqpp qpqp qp q 0011222n0()CCC(1)Cnnnnnnnnnnqpp qpqp qp q 以上两式相减得所求概率为 113331CCn
25、nnnppqp q 11()2nqp11(12)2np 若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得 211(12)2npp.A，B 是任意两个随机事件，求 P（+B）（A+B）（+）（A+）的值.【解】因为（AB）（）=AB（B）（A）=ABAB 所求()()()()ABABABAB()()ABABABAB 故所求值为 0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和 C 满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)1/2，且 P（ABC）=9/16，求 P（A）.【解】由()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP AB
26、C 293()3()16P AP A 故1()4P A 或34,按题设 P（A）12,故 P（A）=14.A和 B 都不发生的概率为 1/9，A发生 B不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，求 P（A）.【解】1()()1()9P ABP ABP AB()()P ABP AB 故 ()()()()P AP ABP BP AB故()()P AP B 由 A,B的独立性，及、式有 11()()()()9P AP BP A P B 212()()P AP A 21()P A 故11()3P A 故 2()3P A 或4()3P A（舍去）即 P（A）=23.55.随机地向半圆 0y0,P(
27、A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小.(2006研考)【解】因为()()()()P ABP AP BP AB()()()()P ABP BP A BP B 所以 ()()()()()P ABP AP BP BP A.59.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),求此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率.【解】这是伯努利概型.第 4 次射击恰好第 2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为12223(1)3(1)PC PPPPP.60.在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于12的概率.【解】设两个数分别为 x、y，则 0 x1,0y1,x-y12，画出图形，由几何概型可得，所求概率为1111 2322214P.