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1、概率论与数理统计复习笔记 Revised as of 23 November 2020概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念一一.基本概念基本概念随机试验 E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间 S:E的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间 S的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件.不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.二二.事件间的关系和运算事件间的关系和
2、运算(事件 B包含事件 A)事件 A发生必然导致事件 B发生.B(和事件)事件 A与 B至少有一个发生.3.AB=AB(积事件)事件 A与 B同时发生.4.A-B(差事件)事件 A发生而 B不发生.5.AB=(A与 B互不相容或互斥)事件 A与 B不能同时发生.6.AB=且 AB=S(A与 B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中 A与 B必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B.运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律A A B B A A B BA A B B A A B B三三.概率的定义与性质概率的定义与性质1.定义 对于 E的每一事件 A赋予一个实数,记为 P(A),称为事件 A的概率
3、.(1)非负性 P(A)0;(2)归一性或规范性 P(S)=1;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件 A1,A2,(A iAj=,ij,i,j=1,2,),P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+2.性质(1)P()=0,注意:A为不可能事件 P(A)=0.(2)有限可加性对于 n 个两两互不相容的事件 A1,A2,A n,P(A1A2A n)=P(A1)+P(A2)+P(A n)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若 AB,则 P(A)P(B),P(B-A)=P(B)-P(A).(4)对于任一事件 A,P(A)1,P(A)=1-P(A).(5)广义加法定理 对于任意二事件 A,B
4、,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).对于任意 n个事件 A1,A2,A n+(-1)n-1P(A1A2A n)四四.等可能等可能(古典古典)概型概型1.定义 如果试验 E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即 S=e1,e2,en;(2)每一个基本事件的概率相等,即 P(e1)=P(e2)=P(e n).则称试验 E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k/n 其中 k 是 A中包含的基本事件数,n是 S中包含的基本事件总数.五五.条件概率条件概率1.定义 事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率 P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)0).2.乘法
5、定理 P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)0);P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)0).P(A1A2A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A n|A1A2A n-1)(n2,P(A1A2A n-1)0)3.B1,B2,B n是样本空间 S的一个划分(BiBj=,ij,i,j=1,2,n,B1B2B n=S),则当 P(B i)0时,有全概率公式 P(A)=P P B Bi i P P A AB Bi i i i 1 1n n当 P(A)0,P(B i)0时,有贝叶斯公式 PP P B Bi i P P A AB Bi i P P ABABi i(Bi|A)=
6、.n nP P A A P P B Bi i P P A AB Bi i i i 1 1六六.事件的独立性事件的独立性1.两个事件 A,B,满足 P(AB)=P(A)P(B)时,称 A,B为相互独立的事件.(1)两个事件 A,B相互独立 P(B)=P(B|A).(2)若 A与 B,A与B B,A A与 B,A A与B B中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件 A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称 A,B,C三事件两两相互独立.若再满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称 A,B,C三事件相互独立.个
7、事件 A1,A2,A n,如果对任意 k(1kn),任意 1i1i2i kn.有P P A Ai iA Ai iA Ai i P P A Ai iP P A Ai iP P A Ai i,则称这 n 个事件 A1,A2,A n相1 12 2k k1 12 2k k 互独立.第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一一.随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数1.在随机试验 E的样本空间 S=e上定义的单值实值函数 X=X(e)称为随机变量.2.随机变量 X的分布函数 F(x)=PXx,x是任意实数.其性质为:(1)0F(x)1,F(-)=0,F()=1.(2)F(x)单调不减,即
8、若 x1x2,则F(x1)F(x 2).(3)F(x)右连续,即 F(x+0)=F(x).(4)Px1Xx2=F(x2)-F(x1).二二.离散型随机变量离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 PX=x k=p k(k=1,2,)也可以列表表示.其性质为:(1)非负性 0Pk1 ;(2)归一性 p pk k 1 1 .k k 1 1 2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=P Pk k为阶梯函数,它在 x=x kX Xk k x x(k=1,2,)处具有跳跃点,其跳跃值为 p k=PX=x k.3.三种重要的离
9、散型随机变量的分布(1)X(0-1)分布 PX=1=p,PX=0=1 p (0p1).(2)Xb(n,p)参数为 n,p的二项分布 n n k kn n k k PX=k=(k=0,1,2,n)(0p0)k k!三三.连续型随机变量连续型随机变量1.定义 如果随机变量 X的分布函数 F(x)可以表示成某一非负函数 f(x)的积分 F(x)=f f t t dt dt,-x,则称 X为连续型随机变量,其中 f(x)称x x为 X的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)0;(2)归一性 f f(x x)dxdx=1;(3)Px 10).若若x x 0 0 0 0(3)XN(,)
10、参数为,的正态分布f f(x x)21 12 2 (x x )2 2 2 22 2 e e-x0.特别,=0,2=1时,称 X服从标准正态分布,记为 XN(0,1),其概率密度(x x)(x).1 12 2 x x2 2 e e2 2,标准正态分布函数(x x)1 12 2 t t2 2 x x e e2 2dt dt,(-x)=1-若 XN(,2),则 Z=(X X N(0,1),Px1z=PZz/2=,则点 z,-z,z/2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点.注意：(z)=1-,z 1-=-z.四四.随机变量随机变量 X X 的函数的函数 Y=g(X)Y=g(X)的分布的分布1.离散
11、型随机变量的函数 Xx 1 x2 x kp kp 1 p2 p kY=g(X)g(x1)g(x2)g(x k)若 g(x k)(k=1,2,)的值全不相等,则由上表立得 Y=g(X)的分布律.若 g(x k)(k=1,2,)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若 X的概率密度为 fX(x),则求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)常用两种方法：(1)分布函数法 先求 Y的分布函数 FY(y)=PYy=Pg(X)y=y y f fX X x x dxdxk kk k其中k(y)是与 g(X)y对应的 X的可能值 x 所在的区间(可能
12、不只一个),然后对 y求导即得 fY(y)=FY/(y).(2)公式法 若 g(x)处处可导,且恒有 g/(x)0(或 g/(x)0),则 Y=g(X)是 f fX X h h y y h h y y y y 连续型随机变量,其概率密度为f fY Y y y 其它其它0 0 其中 h(y)是 g(x)的反函数,=min(g(-),g()=max(g(-),g().如果 f(x)在有限区间a,b以外等于零,则=min(g(a),g(b)=max(g(a),g(b).第三章第三章 二维随机变量及其概率分布二维随机变量及其概率分布一一.二维随机变量与联合分布函数二维随机变量与联合分布函数1.定义 若
13、 X和 Y是定义在样本空间 S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数 x,y,二元函数 F(x,y)=PXx,Yy称为(X,Y)的(X 和 Y的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于 x和 y单调不减.(2)0F(x,y)1,F(x,-)=0,F(-,y)=0,F(-,-)=0,F(,)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数 x 1x 2,y 1y 2Px 1Xx 2,y 1Yy 2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(
14、x1,y2)+F(x1,y1)二二.二维离散型随机变量及其联合分布律二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j)(i,j=1,2,)称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称 PX=x i,Y=y j=p i j为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质i ij j(2)归一性(1)非负性 0p i j1.p pij ij 1 1.3.(X,Y)的(X和 Y 的联合)分布函数 F(x,y)=三三.二维连续型随机变量及其联合概率密度二维连续型随机变量及其联合概率密度x xi i x x y yj j y y p pij ij1.定
15、义 如果存在非负的函数 f(x,y),使对任意的 x和 y,有F(x,y)=f f(u u,v v)dudvdudv则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称 f(x,y)为(X,Y)的(X和 Y的联合)概率密度.2.性质(1)非负性 f(x,y)0.(2)归一性 f f(x x,y y)dxdydxdy 1 1.y yx x 2 2F F(x x,y y)(3)若 f(x,y)在点(x,y)连续,则f f(x x,y y)x x y y(4)若 G为 xoy平面上一个区域,则P P(x x,y y)G G f f(x x,y y)dxdydxdy.G G四四.边缘分布边缘分布1.(X,Y)关于
16、X的边缘分布函数 FX(x)=PXx,Y=F(x,).(X,Y)关于 Y的边缘分布函数 FY(y)=PX0,则称PX xi,Y yjpi j,PX=x i|Y=yjPY yjp j为在 Y=yj条件下随机变量 X的条件分布律.同样,对于固定的 i,若 PX=xi0,则称PY=yj|X=xiPX xi,Y yjpi j,PX xipi为在 X=xi条件下随机变量 Y 的条件分布律.第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量 X离散型随机变量连续型随机变量分布律 PX=x i=pi(i=1,2,)概率密度 f(x)数学期望(均值)E(X)x xi ip pi
17、 i(级数绝对收敛)xfxf(x x)dxdx(积分绝对i i 1 1收敛)方差 D(X)=EX-E(X)x xi i E E(X X)p pi i2 2 2i i 1 1 2 2 x x E E(X X)f f(x x)dxdx=E(X2)-E(X)2 (级数绝对收敛)(积分绝对收敛)函数数学期望 E(Y)=Eg(X)g g(x xi i)p pi i(级数绝对收敛)i i 1 1 g g(x x)f f(x x)dxdx(积分绝对收敛)标准差(X)=D(X).二二.数学期望与方差的性质数学期望与方差的性质1.c为为任意常数时,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=
18、c 2D(X).,Y为任意随机变量时,E(XY)=E(X)E(Y).3.X与 Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y),D(XY)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0 PX=C=1,C为常数.三三.六种重要分布的数学期望和方差六种重要分布的数学期望和方差 E(X)D(X)(0-1)分布 PX=1=p(0p1)p p(1-p)b(n,p)(0p1)n p()U(a,b)(a+b)/2 (b-a)2/12服从参数为的指数分布2 N(,2)2四四.矩的概念矩的概念随机变量 X的 k 阶(原点)矩 E(X k)k=1,2,随机变量 X的 k 阶中心矩 EX-E(X)k随机变量 X和 Y的 k+l
19、阶混合矩 E(X kY l)l=1,2,随机变量 X和 Y的 k+l 阶混合中心矩 EX-E(X)kY-E(Y)l第六章第六章 样本和抽样分布样本和抽样分布一一.基本概念基本概念总体 X即随机变量 X;样本 X1,X2,X n是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值 x1,x2,x n为实数;n是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：2 21 1n n1 1n n2 2样本均值X X X Xi i样本方差S S X Xi i X X样本标准差 Sn n 1 1i i 1 1n ni i 1 1 n p(1-p)1 1n nk k样本 k 阶矩A Ak k X Xi i(k
20、=1,2,)样本 k 阶中心矩n ni i 1 11 1n nB Bk k (X Xi i X X)k k(k=1,2,)n ni i 1 1二二.抽样分布抽样分布 即统计量的分布即统计量的分布1.X X的分布 不论总体 X服从什么分布,E(X X)=E(X),D(X X)=D(X)/n.特别,若 X N(,2),则X X N(,2/n).2.分布 (1)定义 若 XN(0,1),则 Y=X Xi i2 22(n)自由度为 n 的2分布.2n ni i 1 1(2)性质 若 Y2(n),则 E(Y)=n,D(Y)=2n.若 Y12(n1)Y22(n2),则 Y1+Y22(n1+n2).若 X
21、N(,2),则(n n 1 1)S S2 2 2 22(n-1),且X X与 S2相互独立.(3)分位点 若 Y2(n),0 1,则满足2 22 22 22 22的点 (n n),),1 1(n n),),(n n)和和 /2 21 1 /2 2(n n)分别称为 分布的上、下、双侧分位点.3.t 分布(1)定义 若 XN(0,1),Y2(n),且 X,Y相互独立,则 t=度为 n 的 t 分布.(2)性质n时,t分布的极限为标准正态分布.X Xt(n)自由Y Y n nX X XN(,)时,t(n-1).S Sn n2两个正态总体差相互独立的样本 样本均值 样本方X N(1,12)且12=2
22、2=2 X1,X2,X n1X XS12Y N(2,22)Y1,Y2,Y n2Y YS222 22 2(X X Y Y)(1 1 2 2)(n n 1 1)S S (n n 1 1)S S2 21 12 22 2则 t(n1+n2-2),其中S Sw w 1 1n n1 1 n n2 2 2 21 11 1S Sw w n n1 1n n2 2(3)分位点 若 t t(n),0 1,则满足的点t t(n n),),t t(n n),),t t/2 2(n n)分别称 t 分布的上、下、双侧分位点.注意:t1-(n)=-t(n).U U n n1 1分布 (1)定义 若 U(n1),V(n2),
23、且 U,V 相互独立,则 F=F(n1,n 2)V V n n2 222自由度为(n1,n2)的 F分布.(2)性质(条件同 3.(2)2 22 2S S1 1S S2 22 2 1 12 2 2 2F(n1-1,n2-1)(3)分位点 若 F F(n1,n2),0 1,则满足的点F F(n n1 1,n n2 2),),F F1 1 (n n1 1,n n2 2),),F F/2 2(n n1 1,n n2 2)和和F F1 1 /2 2(n n1 1,n n2 2)分别称为 F分1 1.布的上、下、双侧分位点.注意:F F1 1 (n n1 1,n n2 2)F F(n n2 2.n n1
24、 1)第七章第七章 参数估计参数估计一一.点估计点估计 总体 X的分布中有 k 个待估参数1,2,k.X1,X2,X n是 X的一个样本,x1,x2,x n是样本值.1.矩估计法 1 1 1 1(1 1,2 2,k k)先求总体矩 2 2 2 2(1 1,2 2,k k)解此方程组,得到 (,)k kk k1 12 2k k 1 1 1 1(1 1,2 2,k k)2 2 2 2(1 1,2 2,k k),(,)k kk k1 12 2k k以样本矩 Al取代总体矩 l(l=1,2,k)得到矩估计量 1 1 1 1(A A1 1,A A2 2,A Ak k)2 2 2 2(A A1 1,A A
25、2 2,A Ak k),k k k k(A A1 1,A A2 2,A Ak k)若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为 p(x,1,2,k),称样本X1,X2,X n的联合分布L L(1 1,2 2,k k)p p(x xi i,1 1,2 2,k k)为似然函i i 1 1n n数.取使似然函数达到最大值的 1 1,2 2,k k,称为参数1,2,k的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若 L(1,2,k)关于1,2,k可微,则一般可由 L L lnlnL L 0 0 0 0(i=1,2,k)求出最大似然方程组或 对数似然方程组 i
26、 i i i似然估计.3.估计量的标准(1)无偏性 若 E()=,则估计量 称为参数的无偏估计量.不论总体 X服从什么分布,E(X X)=E(X),E(S2)=D(X),E(Ak)=k=E(Xk),即样本均值X X,样本方差 S2,样本 k阶矩 Ak分别是总体均值 E(X),方差D(X),总体 k 阶矩k的无偏估计,(2)有效性 若 E(1)=E(2)=,而 D(1)D(2),则称估计量 1比 2有效.(3)一致性(相合性)若 n时,则称估计量 是参数的相合估计量.二二.区间估计区间估计1.求参数的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数 W=W(X1,X2,X n,),其中只有
27、一个待估参数未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧分位点找出 W的区间(a,b),使 PaW b=1-.(3)由不等式 aWb解出 则区间(,)为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W及其分布置信区间 P P X X z z/2 2)已知N(0,1)(X X n n n n22未知2S SX X t t/2 2(n n 1 1)t(n-1)(X X n nS Sn n未知(n n 1 1)S S2 2 2 22 2(n n 1 1)S S2(n-1)(,2 2)2 2 /2 2(n n 1 1)1 1 /2 2(n n 1 1)(n n 1 1)S S2 23.两个正态总体(1)均值差
28、1-2其它参数 W及其分布置信区间2 22 2 1 1,2 2已知已知X X Y Y (1 1 2 2)2 2 1 1n n1 1 2 2 2 2 N(0,1)(X X Y Y z z 2 22 2 1 1n n1 1 2 2 2 2n n2 2)n n2 22 22 2 1 1 2 2 2 2X X Y Y (1 1 2 2)t(n1+n2-2)1 11 1S S 未知未知w wn n1 1n n2 2(X X Y Y t t(n n1 1 n n2 2 2 2)S Sw w2 21 11 1)n n1 1n n2 2其中 Sw等符号的意义见第六章二.3(2).(2)1,2未知,W=2 22 2S S1 1S S2 22 2 1 1 2 222 F(n-1,n-1),方差比/的置信区间为12122 2注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标/2 改为,另外的下(上)限取为-()即可.