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1、概率论与数理统计学习笔记一 主 题主 题：概率论与数理统计学习笔记 学习时间学习时间：整学期 概率论与数理统计学习笔记一 概率论与数理统计学习笔记一 随机事件与概率（一）随机事件与概率（一）一、随机试验 为了研究随机现象内部存在的数量规律性，必须对随机现象进行观察或试验，今后我们把对随机现象所进行的观察或试验统称为试验。抛一硬币，观察正、反面出现的情况。掷一枚骰子，观察出现的点数。把一硬币连抛两次，观察正反面出现的情况。一射手进行射击，直到击中目标为止，记录射击次数。在同一生产条件下生产的一种电子元件，任意抽取一件测试其寿命。上面列举的 5 个试验的例子有以下共同特点：（）试验可在相同条件下多
2、次重复进行；（）每次试验可能结果不止一个，且在试验之前能够明确试验的所有可能结果；（）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。具有以上 3 个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为 E。二、样本空间 在一个随机试验 E 中，试验的所有可能结果组成的集合称为该随机试验的样本空间，记为，样本空间的每个元素称为样本点，常用表示。如例 1，试验可能结果：正（正面朝上）、反（反面朝上），因此样本空间正，反若记1=正，2=反，则样本空间可记为 12,=又如例 2，试验的所有可能结果有 6 个：1 点，6 点，若记ii=点，则样本空间可记为 1,2,6i=L16,=L 在例 3 中，若记()()()123
3、4正，正，反 ，正正，反，反 ，反=)则 1234,=概率论与数理统计学习笔记一 在例 4 中，若用表示“击中目标所需的射击次数为”这一结果，则 nn1,2,n=L1,2,3,=L 在例 5 中，若用x表示“电子元件使用寿命为x小时”这一结果，则样本空间为 0 x:0 xx=上述例 1，例 2，例 3，各随机试验样本点都只有有限个。例 4 的样本为可列无穷多个。例 5 的样本点为不可列无穷多个。事实上例 4 的样本点可依照某种次序排列出来；而例 5 的样本点也有无穷多个，但它们充满区间)0,，此时称它的样本点为不可列无穷多个。三、随机事件 在一个随机试验 E 中，E 中可能发生也可能不发生的事
4、情称为随机事件，常用大写英文字母 A，B，C来表示，随机事件简称事件。对于一个随机试验来说，它的每个可能结果显然都是一个随机事件，它们是随机试验中最简单的随机事件，称为基本事件。在一个随机试验中，除基本事件外，还有由若干个可能结果所组成的事件，称这种事件为复合事件。如在例 1 中“正面朝上”，例 2 中“出现的点数小于 3”，例 3 中“两次都抛得正面朝上”，例 4 中“射击次数是 5”，例 5 中“电子元件寿命不超过 2000小时”等都是随机事件，可分别记为：A正面朝上 B点数小于 3 C两次都抛的正面朝上 D射击次数是 5 E元件寿命不超过 2000 小时 在上述事件中 A、C、D 都是相
5、应随机试验中的基本事件，而 B、E 都是复合事件。随机试验中的任事件中都可用样本空间的子集表示。一个随机事件发生，当且仅当它的某一个样本点出现。由一个样本点组成的单点集，即为基本事件。在随机试验中，每次试验必然发生的事件称为必然事件，每次试验都不发生的事件称为不可能事件。必然事件用表示，不可能事件用表示。四、事件的关系和运算 四、事件的关系和运算 包含 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 或ABB A。概率论与数理统计学习笔记一 相等 若,且,ABBA则称事件 A 与 B 相等，记为 AB。和 表示 A 与 B 中至少有一个发生的事件，称为事件 A 与 B
6、 的和事件，亦称为事件 A 与 B 的并，记为ABU。积 表示事件 A 与 B 同时发生的事件，称为 A 与 B 的积事件，也称为事件 A与 B 的交，记为ABI。差 表示事件 A 发生而事件 B 不发生的事件，称为事件 A 与 B 的差事件，记为AB。互不相容 若事件 A、B 不能同时发生，即 AB，则称 A 与 B 是互不相容事件，或称是互斥事件。对立 若事件 A、B 满足：AB=U且AB=，则称事件 A 与 B 互为对立事件。A 的对立事件记为A，则AAB=。和事件、积事件概念可推广到任意有限个情形和可列无穷多情形。常用的事件运算规律：交换律：,ABBA ABBA=UU 结合律：()()
7、()(),A BCABC A BCAB C=UUU 分配律：()()()ABCABAC=UIUIU ()()()ABCABAC=IUIUI 对偶律：ABAB=UI ABAB=U 例 1 设 A、B、C 是随机试验 E 中的事件，则 事件“A 与 B 发生，C 不发生”可表示为ABC，事件“A、B、C 中至少有一个发生”可表示为ABCUU，事件“A、B、C 中恰好发生一个”可表示为ABCABCABCUU.把事件ABU写成互不相容事件的和事件的形式，则有()()ABABAABAB=UUU.试问还有其它写法吗？思考题：把ABCUU写成互不相容事件的和事件的形式。概率论与数理统计学习笔记一 五、频率的
8、定义 五、频率的定义 设随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 m 次则称比值()nmfAn=（1）为事件 A 在 n 次重复试验中发生的频率。例 掷硬币试验 实验者 掷硬币次数 正面出现次数 频率nf 蒲丰 4040 2048 0.5069皮尔逊 12000 6019 0.5016皮尔逊 24000 12012 0.5005费勒 10000 4923 0.4923 罗曼诺夫斯基 80640 40151 0.4979人们经过长期实践发现，虽然随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，带有不确定性，但当试验次数 n 充分大时，随机事件 A 的频率总在一确定的数值附近摆动，有稳定于确定值的趋势
9、。频率的这种稳定性说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的，不随人们意志而改变的一种属性。频率的稳定值就称为事件的概率。概率论与数理统计学习笔记一 六、频率的性质 六、频率的性质 为进一步揭示概率的本质，先看与概率有密切关系的频率所具有的性质。()非负性：对任何事件 A，；()0nfA ()规范性：；()1nf=()有限可加性：对任意有限多个两两互不相容事件 1,nAA，即(ij)A Ai=j)i，有 11()(nnniniif U AfA=。七、概率定义和性质 七、概率定义和性质 定义 设是随机试验 E 的样本空间，A 是 E 中任意事件，P(A)是 A 的实函数，且满足：()P(A
10、)；非负性 (2)0()；规范性 (3)()1P =()若两两互不相容，即1,nAALL()ijA Aij=，则有 ，(可列可加性)（4）()11iiiiPU A=P A 称 P(A)为事件 A 的概率。概率具有如下性质：概率论与数理统计学习笔记一 性质 1 不可能事件的概率为 0，即()0P=。性质 2 概率具有有限可加性，即若 (),1,ijA Aij i j=LnP A，则()11nniiiiPU A=(5)性质 3 设 A 是任一事件，则有 ()1(P AP A=)(6)性质 4 设 A、B 是两附件，若 AB，则有 (7)()()()P BAP BP A=(8)()()P BP A
11、证 因AB，所以 ()BABA=。且()A BA=，再由性质 2 的(5)式得 ()()(P BP AP BA=+),移项得(6)式。又因，所以()0P BA()()P BP A。性质 5 对任意事件 A、B，有 (9)()()()()P ABP AP BP AB=+证 因()ABABAB=，且(),A BABABB=，故由(5)式及(7)式得()()()()()()P ABP AP BABP AP BP AB=+=+。概率论与数理统计学习笔记一 对事件 A、B、C 有 ()()()()()()()(P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+)(10)一般地，对于 n 个事件1,nAAL，有()()()()111111(1)nnniijijkiiiij nij k nnpP AP A AP A A AP AAU A=+LL(11)