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1、. . 概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间 S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件 ):E的每个结果 . 随机事件 (事件):样本空间 S 的子集 . 必然事件 (S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件 ():每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.AB(事件 B 包含事件 A )事件 A 发生必然导致事件B 发生. 2.AB(和事件)事件 A 与 B 至少有一个
2、发生 . 3. AB=AB( 积事件)事件 A 与 B 同时发生 . 4. A-B( 差事件)事件 A 发生而 B 不发生. 5. AB= (A 与 B 互不相容或互斥 )事件 A 与 B 不能同时发生 . 6. AB=且 AB=S (A 与 B 互为逆事件或对立事件 )表示一次试验中 A 与 B 必有一个且仅有一个发生 . B=A, A=B . 运算规则交换律 结合律 分配律德? 摩根律BABABABA三. 概率的定义与性质1.定义对于 E的每一事件 A 赋予一个实数 ,记为 P(A),称为事件 A 的概率. (1)非负性 P(A)0 ; (2)归一性或规范性P(S)=1 ; (3)可列可加
3、性对于两两互不相容的事件A1,A2,(A iAj= , ij, i,j=1,2, ), P(A1A2)=P( A1)+P(A2)+ 2.性质(1) P() = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . (2)有限可加性对于 n 个两两互不相容的事件A1,A2,A n , P(A1A2A n)=P(A1)+P(A2)+ +P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加
4、法定理) (3)若 AB, 则 P(A)P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件 A, P(A) 1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意 n 个事件 A1,A2,A n nkjikjinjijiniinAAAPAAPAPAAAP11121+(-1)n-1P(A1A2A n) 四.等可能 (古典)概型1.定义 如果试验 E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即 S=e1,e2,e n;(2)每一个基本事件的概率相等 ,即 P(e1)=P(e2)= = P(e n ).则称
5、试验 E所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式P(A)=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本事件数 , n 是 S 中包含的基本事件总数 . 五.条件概率1.定义事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率 P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)0). 2.乘法定理P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)0). P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1) (n2, P(A1A2An-1) 0) 3. B1,B2,B n是样本空间 S的一个划分 (
6、BiBj=,ij,i,j=1,2, ,n, B1B2B n=S) , 则当 P(B i)0 时,有全概率公式P(A)=iniiBAPBP1当 P(A)0, P(B i)0 时,有贝叶斯公式 P (Bi|A)=niiiiiiBAPBPBAPBPAPABP1 . 六.事件的独立性1.两个事件 A,B,满足 P(AB) = P(A) P(B) 时,称 A,B 为相互独立的事件 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - .
7、. (1)两个事件 A,B 相互独立 P(B)= P (B|A) . (2)若 A 与 B,A 与B,A与 B, ,A与B中有一对相互独立 ,则另外三对也相互独立 . 2.三个事件 A,B,C 满足 P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立 . 若再满足 P(ABC) =P(A) P(B) P(C), 则称 A,B,C 三事件相互独立 . 3.n 个事件 A1,A2,A n,如果对任意 k (1k n),任意 1i1i2 i kn.有kkiiiiiiAPAPAPAAAP2121,则称这 n 个事件
8、 A1,A2,A n相互独立 . 第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验 E的样本空间 S=e 上定义的单值实值函数X=X (e) 称为随机变量 . 2.随机变量 X 的分布函数 F(x)=PX x , x 是任意实数 . 其性质为 : (1)0 F(x) 1 ,F(- )=0,F( )=1. (2)F(x)单调不减 ,即若 x1x2 ,则 F(x1) F(x 2). (3)F(x)右连续,即 F(x+0)=F(x). (4)Px1X x2=F(x2)-F(x1). 二.离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量) 1.离散型随机变量的分布律PX= x k
9、= p k (k=1,2, ) 也可以列表表示 . 其性质为 : (1)非负性0Pk1 ; (2)归一性11kkp . 2.离散型随机变量的分布函数F(x)=xXkkP为阶梯函数 ,它在 x=x k (k=1,2, )处具有跳跃点 ,其跳跃值为 p k=PX=x k . 3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(0-1) 分布PX=1= p ,PX=0=1 p (0p1) . (2)Xb(n,p) 参数为 n,p 的二项分布 PX=k=knkppkn1(k=0,1,2, ,n) (0p0) 三.连续型随机变量1.定 义如果 随 机 变 量 X 的 分布 函 数 F(x) 可 以 表示 成 某
10、 一非 负 函 数 f(x) 的 积分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . F(x)=dttfx,- x ,则称 X 为连续型随机变量 ,其中 f (x) 称为 X 的概率密度 (函数). 2.概率密度的性质(1)非负性f(x)0 ; (2)归一性dxxf)(=1 ; (3) Px 10). (3)XN (,2 )参数为,的正态分布222)(21)(xexf-x0. 特别, =0, 2 =1 时,称 X 服从
11、标准正态分布 ,记为 XN (0,1), 其概率密度2221)(xex, 标准正态分布函数xtdtex2221)(, (-x)=1- (x) . 若 XN (,2), 则 Z=XN (0,1), Px1z = PZz /2= ,则点 z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：(z )=1- , z 1- = -z . 四.随机变量 X 的函数 Y= g (X) 的分布1.离散型随机变量的函数X x 1x2x kp k p 1p2p kY=g(X) g(x1) g(x2) g(x k) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
12、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 若 g(x k) (k=1,2, )的值全不相等 ,则由上表立得 Y=g(X) 的分布律 . 若 g(x k) (k=1,2, )的值有相等的 ,则应将相等的值的概率相加,才能得到 Y=g(X) 的分布律 . 2.连续型随机变量的函数若 X 的概率密度为 fX(x),则求其函数 Y=g(X) 的概率密度 fY(y)常用两种方法：(1)分布函数法先求 Y 的分布函数 FY(y)=PY y=Pg(X) y=dxxfkyXk其中k(y)是与 g(X)
13、y 对应的 X 的可能值 x 所在的区间 (可能不只一个 ),然后对 y 求导即得fY(y)=FY /(y) . (2)公式法若 g(x) 处处可导 ,且恒有 g /(x)0 ( 或g / (x)0 ), 则 Y=g (X) 是连续型随机变量 ,其概率密度为0yhyhfyfXY其它y其中 h(y) 是 g(x) 的反函数, = min (g (-),g () = max (g (-),g () . 如果 f (x)在有限区间 a,b 以外等于零 ,则= min (g (a),g (b) = max (g (a),g (b) . 第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定
14、义若 X 和 Y是定义在样本空间S 上的两个随机变量 ,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数 x,y,二元函数 F(x,y)=PX x,Yy称为(X,Y)的(X 和 Y 的联合)分布函数 . 2.分布函数的性质(1)F(x,y) 分别关于 x 和 y 单调不减 . (2)0F(x,y)1 , F(x,- )=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F( , )=1 . (3) F(x,y) 关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数 x 1x 2 , y 1y 2 Px
15、1X x 2 , y 1Yy 2= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1) 二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量 (X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j) (i ,j =1,2, )称(X,Y)为二名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 维离散型随机变量 .并称 PX= x i,Y= y j = p i j为(X,Y)的联合分布律 .也可列
16、表表示 . 2.性质(1)非负性 0p i j1 . (2)归一性ijijp1 . 3. (X,Y)的(X 和 Y 的联合 )分布函数 F(x,y)=xxyyijijp三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y), 使对任意的 x 和 y,有 F(x,y)=yxdudvvuf),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称 f(x,y) 为(X,Y)的(X 和 Y 的联合)概率密度 . 2.性质 (1)非负性f (x,y) 0 . (2)归一性1),(dx d yyxf . (3)若 f (x,y) 在点(x,y)连续,则yxyxFyxf),(),(2(4)若 G
17、 为 xoy 平面上一个区域 ,则GdxdyyxfGyxP),(),(. 四.边缘分布1. (X,Y)关于 X 的边缘分布函数FX (x) = PX x , Y= F (x , ) . (X,Y)关于 Y 的边缘分布函数FY (y) = PX0, 则称PX=x i |Y=yj 为在 Y= yj条件下随机变量 X 的条件分布律 . 同样,对于固定的 i,若 PX=xi0, 则称PY=yj|X=x i 为在 X=xi条件下随机变量 Y 的条件分布律 . 第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量 X 离散型随机变量连续型随机变量分布律 PX=x i= pi ( i =1,2, ) 概
18、率密度 f (x) 数学期望 (均值)E(X) 1iiipx(级数绝对收敛 ) dxxxf)(积分绝对收敛 ) 方差 D(X)=EX-E(X)2 12)(iiipXExdxxfXEx)()(2=E(X2)-E(X)2(级数绝对收敛 ) (积分绝对收敛 ) 函数数学期望 E(Y)=Eg(X) iiipxg1)(级数绝对收敛 ) dxxfxg)()(积分绝对收敛 ) 标准差(X)= D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时 , E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时 ,
19、E (XY)=E(X)E(Y) . ,jjijjippyYPyYxXP,ijiijippxXPyYxXP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 3. X 与 Y 相互独立时 , E(XY)=E(X)E(Y) , D(XY)=D(X)+D(Y) . 4. D(X) = 0 PX = C=1 ,C为常数. 三.六种重要分布的数学期望和方差E(X) D(X) 1.X (0-1) 分布 PX=1= p (0p1) p
20、p (1- p) 2.X b (n,p) (0p1) n p n p (1- p) 3.X ( ) 4.X U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为的指数分布2 6.X N (,2) 2 四.矩的概念随机变量 X 的 k 阶(原点)矩 E(X k ) k=1,2, 随机变量 X 的 k 阶中心矩 EX-E(X) k 随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 E(X kY l) l=1,2, 随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX-E(X) k Y-E(Y) l 第六章样本和抽样分布一.基本概念总体 X 即随机变量 X ; 样本 X1 ,X2 ,X
21、n是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x1 ,x2 ,x n为实数;n 是样本容量 . 统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值niiXnX11样本方差niiXXnS12211样本标准差 S 样本 k 阶矩nikikXnA11( k=1,2, ) 样本 k 阶中心矩nikikXXnB1)(1( k=1,2, ) 二.抽样分布即统计量的分布1.X的分布不论总体 X 服从什么分布 , E (X) = E(X) , D (X) = D(X) / n . 特别,若 X N (,2 ) ,则X N (, 2 /n) . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
22、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 2.2分布(1)定义若 XN (0,1 ) ,则 Y =niiX12 2(n)自由度为 n 的2分布. (2)性质 若 Y 2(n),则 E(Y) = n , D(Y) = 2n . 若 Y1 2(n1) Y2 2(n2) ,则 Y1+Y2 2(n1 + n2). 若 X N (,2 ), 则22)1(Sn 2(n-1), 且X与 S2相互独立 . (3)分位点若 Y 2(n),0 1 , 则满足)()()()(22/122/212
23、nYnYPnYPnYP的点)()(),(),(22/122/212nnnn和分别称为2分布的上、下、双侧分位点. 3. t 分布(1)定义 若 XN (0,1 ),Y 2 (n),且 X,Y 相互独立 ,则 t=nYXt(n) 自由度为 n 的 t 分布. (2)性质 n时,t 分布的极限为标准正态分布. XN (,2 )时, nSX t (n-1) . 两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X N (1,12 ) 且12=22=2X1 ,X2 ,X n1XS12 Y N (2,22 ) Y1 ,Y2 ,Y n2YS22则212111)()(nnSYXw t (n1+n2-2) , 其中2
24、)1()1(212222112nnSnSnSw(3)分位点若 t t (n) ,0 1 , 则满足)()()(2/nttPnttPnttP的点)(),(),(2/ntntnt分别称 t 分布的上、下、双侧分位点. 注意: t 1- (n) = - t (n). 4.F 分布(1)定义 若 U2(n1), V 2(n2), 且 U,V 相互独立 ,则 F =21nVnUF(n1,n 2)自由度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - -
25、- - - . . 为(n1,n2)的 F分布. (2)性质(条件同 3.(2) ) 22212221SSF(n1-1,n2-1) (3)分位点若 F F(n1,n2) ,0 1, 则满足),(),(21121nnFFPnnFFP),(),(212/1212/nnFFnnFFP的点),(),(),(),(212/1212/21121nnFnnFnnFnnF和分别称为 F 分布的上、下、双侧分位点 . 注意 : .).(1),(12211nnFnnF第七章参数估计一.点估计总体 X 的分布中有 k 个待估参数1, 2, k. X1 ,X2 ,X n是 X 的一个样本 , x1 ,x2 ,x n是
26、样本值 . 1.矩估计法先求总体矩),(),(),(2121222111kkkkk解此方程组 ,得到),(),(),(2121222111kkkkk, 以样本矩 Al取代总体矩 l ( l=1,2, ,k)得到矩估计量),(),(),(2121222111kkkkkAAAAAAAAA, 若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式 (可以是分布律或概率密度)为 p(x, 1, 2, k),称样本 X1 ,X2 ,X n的联合 分 布nikikxpL12121),(),(为似 然 函 数 .取 使 似然 函 数 达到 最 大 值的k,21,称为参数1, 2,k的最大似然估计值
27、,代入样本得到最大似然估计量. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 若 L(1, 2, k)关于1, 2, k可微,则一般可由似然方程组0iL或 对数似然方程组0lniL(i =1,2, ,k) 求出最大似然估计 . 3.估计量的标准(1)无偏性若 E()= ,则估计量称为参数的无偏估计量 . 不论总体 X 服从什么分布 , E ( X )= E(X) , E(S2)=D(X), E(Ak)=k=E(Xk
28、),即样本均值 X , 样本方差 S2,样本 k 阶矩 Ak分别是总体均值 E(X),方差 D(X),总体 k 阶矩k的无偏估计 ,(2)有效性若 E(1)=E(2)= , 而 D(1) D(2), 则称估计量1比2有效. (3)一致性 (相合性 ) 若 n时,P,则称估计量是参数的相合估计量 . 二.区间估计1.求参数的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数 W=W(X1 ,X2 ,X n, ),其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定 . (2)利用双侧分位点找出 W 的区间(a,b),使 PaW b=1-. (3)由不等式 aWb解出则区间 (,)为所求. 2.单个正态
29、总体待估参数其它参数W 及其分布置信区间2已知nXN (0,1) (2/znX) 2未知nSX t (n-1) )1(2/ntnSX2 未知22)1(Sn 2(n-1) )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn3.两个正态总体名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . (1)均值差 1- 2其它参数W 及其分布置信区间已知2221,22212121)(nnYX N(0,1) )(2221212nn
30、zYX未知22221212111)(nnSYXwt(n1+n2-2) )11)2(21212nnSnntYXw其中 Sw等符号的意义见第六章二. 3 (2) . (2) 1, 2未知, W=22212221SS F(n1-1,n2-1), 方差比12/22的置信区间为)1, 1(1,)1,1(1(212/12221212/2221nnFSSnnFSS注意:对于单侧置信区间 ,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标/2 改为,另外的下 (上)限取为 - ()即可. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -