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1、学习必备欢迎下载概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; (3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间 S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件 ):E 的每个结果 . 随机事件 (事件): 样本空间 S的子集. 必然事件 (S): 每次试验中一定发生的事件. 不可能事件 ():每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.AB(事件 B 包含事件 A )事件 A 发生必然导致事件B 发生. 2.AB(和事件)事件 A 与 B
2、至少有一个发生 . 3. AB=AB( 积事件 )事件 A 与 B 同时发生 . 4. A- B(差事件 )事件 A 发生而 B 不发生. 5. AB= (A 与 B 互不相容或互斥 )事件 A 与 B 不能同时发生 . 6. AB=且 AB=S (A 与 B 互为逆事件或对立事件 )表示一次试验中A 与 B 必有一个且仅有一个发生 . B=A, A=B . 运算规则交换律 结合律 分配律德? 摩根律BABABABA三. 概率的定义与性质1.定义对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数 ,记为 P(A),称为事件 A 的概率. (1)非负性 P(A)0 ; (2)归一性或规范性P(S)=1 ;
3、(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,(A iAj=, ij, i,j=1,2,),P(A1A2)=P( A1)+P(A2)+2.性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载(1) P( ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 . (2)有限可加性对于 n 个两两互不相容的事件A1,A2,A n , P(A1A2A n)=P(A1)+P(A2)+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若 AB, 则 P(A)P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (
4、4)对于任一事件 A, P(A)1, P(A)=1- P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(AB)=P(A)+P(B) -P(AB) . 对于任意 n 个事件 A1,A2,A n nkjikjinjijiniinAAAPAAPAPAAAP11121+(-1)n-1P(A1A2A n) 四.等可能 (古典)概型1.定义 如果试验 E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即 S=e1,e2,en;(2) 每一个基本事件的概率相等 ,即 P(e1)=P(e2)= P(e n ).则称试验 E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式P(A)=k / n 其中 k
5、是 A 中包含的基本事件数 , n 是 S 中包含的基本事件总数 . 五.条件概率1.定义事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率 P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)0). 2.乘法定理P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)0). P(A1A2A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A n|A1A2A n-1) (n2, P(A1A2A n-1) 0) 3. B1,B2,B n是样本空间 S的一个划分 (BiBj=,ij,i,j=1,2,n, B1B2B n=S) ,则当 P(B i)0
6、 时,有全概率公式P(A)=iniiBAPBP1当 P(A)0, P(B i)0 时,有贝叶斯公式 P (Bi|A)=niiiiiiBAPBPBAPBPAPABP1. 六.事件的独立性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载1.两个事件 A,B,满足 P(AB) = P(A) P(B) 时,称 A,B 为相互独立的事件 . (1)两个事件 A,B 相互独立 P(B)= P (B|A) . (2)若 A 与 B, A 与B,A与 B, ,A与B中有一对相互独立 , 则另外三对也相互独立 . 2.三个事件 A
7、,B,C 满足 P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C), 称 A,B,C 三事件两两相互独立 . 若再满足 P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称 A,B,C 三事件相互独立 . 3.n个事件 A1,A2,A n,如果对任意 k (1kn),任意 1i1i2i kn.有kkiiiiiiAPAPAPAAAP2121,则称这 n 个事件 A1,A2,A n相互独立 . 第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验 E 的样本空间 S=e 上定义的单值实值函数X=X (e) 称为随机变量 . 2.随机变
8、量 X 的分布函数 F(x)=PX x , x 是任意实数 . 其性质为 : (1)0 F(x) 1 ,F(-)=0,F( )=1.(2)F(x)单调不减 ,即若 x1x2 ,则 F(x1) F(x 2). (3)F(x)右连续,即 F(x+0)=F(x). (4)Px1Xx2=F(x2)-F(x1). 二.离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量) 1.离散型随机变量的分布律PX= x k= p k (k=1,2,) 也可以列表表示 . 其性质为 : (1)非负性0Pk1 ; (2)归一性11kkp. 2.离散型随机变量的分布函数F(x)=xXkkP为阶梯函数 ,它在 x=xk
9、(k=1,2,)处具有跳跃点 ,其跳跃值为 p k=PX=x k . 3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(0-1)分布PX=1= p ,PX=0=1 p (0p1) . (2)Xb(n,p)参数为 n,p 的二项分布 PX=k=knkppkn1(k=0,1,2,n) (0p0) 三.连续型随机变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载1.定 义如 果 随 机变 量X的 分布 函 数 F(x) 可 以 表 示成 某 一 非负 函 数f(x) 的 积分F(x)=dttfx,- x ,则称 X 为连续
10、型随机变量 ,其中 f (x)称为 X 的概率密度 (函数). 2.概率密度的性质(1)非负性f(x)0 ; (2)归一性dxxf)(=1 ; (3) Px 10). (3)XN (,2 )参数为, 的正态分布222)(21)(xexf- x0. 特别, =0, 2 =1 时,称 X 服从标准正态分布 ,记为 XN (0,1),其概率密度2221)(xex, 标准正态分布函数xtdtex2221)(, (-x)=1-(x) .若 XN ( ,2), 则 Z=XN (0,1), Px1z = PZz /2= ,则点 z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点 . 注意：(
11、z )=1- , z 1- = - z . 四.随机变量 X 的函数 Y= g (X)的分布1.离散型随机变量的函数X x 1x2x kp k p 1p2p kY=g(X) g(x1) g(x2) g(x k) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载若 g(x k) (k=1,2,)的值全不相等 ,则由上表立得 Y=g(X) 的分布律 . 若 g(x k) (k=1,2,)的值有相等的 ,则应将相等的值的概率相加,才能得到 Y=g(X) 的分布律 . 2.连续型随机变量的函数若 X 的概率密度为 fX(
12、x),则求其函数 Y=g(X) 的概率密度 fY(y)常用两种方法：(1)分布函数法先求 Y 的分布函数 FY(y)=PY y=Pg(X) y=dxxfkyXk其中k(y)是与 g(X)y 对应的 X 的可能值 x 所在的区间 (可能不只一个 ),然后对 y 求导即得fY(y)=FY /(y) . (2)公式法若 g(x)处处可导 ,且恒有 g /(x)0 (或 g / (x)0 ),则 Y=g (X) 是连续型随机变量 ,其概率密度为0yhyhfyfXY其它y其中 h(y)是 g(x)的反函数, = min (g (-),g ( ) = max (g (- ),g ( ) . 如果 f (x
13、)在有限区间 a,b以外等于零 ,则= min (g (a),g (b) = max (g (a),g (b) . 第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若 X 和 Y 是定义在样本空间 S上的两个随机变量 ,则由它们所组成的向量 (X,Y) 称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数 x,y,二元函数 F(x,y)=PX x,Yy 称为(X,Y) 的(X 和 Y 的联合 )分布函数 . 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于 x 和 y 单调不减 . (2)0F(x,y)1 , F(x,-)=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F( , )=1
14、 . (3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数 x 1x 2 , y 1y 2 Px 1Xx 2 , y 1Yy 2= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1) 二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量 (X,Y) 只能取有限对或可列无限多对值(xi,yj) (i ,j =1,2, )称(X,Y) 为二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载维离散型随机变
15、量 .并称 PX= x i,Y= y j = p i j为(X,Y) 的联合分布律 .也可列表表示 . 2.性质(1)非负性 0p i j1 . (2)归一性ijijp1. 3. (X,Y)的(X 和 Y 的联合 )分布函数 F(x,y)=xxyyijijp三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y), 使对任意的 x 和 y,有 F(x,y)=yxdudvvuf),(则称(X,Y) 为二维连续型随机变量 ,称 f(x,y) 为(X,Y) 的(X 和 Y 的联合)概率密度 . 2.性质 (1)非负性f (x,y)0 . (2)归一性1),(d x d yyxf
16、. (3)若 f (x,y)在点(x,y)连续,则yxyxFyxf),(),(2(4)若 G 为 xoy 平面上一个区域 ,则GdxdyyxfGyxP),(),(. 四.边缘分布1. (X,Y)关于 X 的边缘分布函数FX (x) = PX x , Y= F (x , ) . (X,Y) 关于 Y 的边缘分布函数FY (y) = PX0,则称PX=x i |Y=yj 为在 Y= yj条件下随机变量 X 的条件分布律 . 同样,对于固定的 i,若 PX=xi0, 则称PY=yj|X=x i 为在 X=xi条件下随机变量 Y 的条件分布律 . 第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变
17、量 X 离散型随机变量连续型随机变量分布律 PX=x i= pi ( i =1,2,) 概率密度 f (x) 数学期望 (均值)E(X) 1iiipx(级数绝对收敛 ) dxxxf)(积分绝对收敛 ) 方差 D(X)=EX-E(X)2 12)(iiipXExdxxfXEx)()(2=E(X2)-E(X)2(级数绝对收敛 ) (积分绝对收敛 ) 函数数学期望 E(Y)=Eg(X) iiipxg1)(级数绝对收敛 ) dxxfxg)()(积分绝对收敛 ) 标准差(X)=D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c为为任意常数时 , E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c)
18、= 0 , D (cX) = c 2 D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时 , E (XY)=E(X) E(Y) . ,jjijjippyYPyYxXP,ijiijippxXPyYxXP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载3. X 与 Y 相互独立时 , E(XY)=E(X)E(Y) , D(X Y)=D(X)+D(Y) . 4. D(X) = 0 PX = C=1 ,C 为常数. 三.六种重要分布的数学期望和方差E(X) D(X) 1.X (0-1)分布 PX=1= p (0p1) p p (
19、1- p) 2.X b (n,p) (0p1) n p n p (1- p) 3.X ( ) 4.X U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为的指数分布2 6.X N ( ,2) 2 四.矩的概念随机变量 X 的 k 阶(原点)矩 E(X k ) k=1,2,随机变量 X 的 k 阶中心矩 EX-E(X) k 随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 E(X kY l) l=1,2,随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX-E(X) k Y-E(Y) l 第六章样本和抽样分布一.基本概念总体 X 即随机变量 X ; 样本 X1 ,X2 ,X n是与总
20、体同分布且相互独立的随机变量;样本值x1 ,x2 ,x n为实数 ;n 是样本容量 . 统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值niiXnX11样本方差niiXXnS12211样本标准差 S 样本 k 阶矩nikikXnA11( k=1,2,) 样本 k 阶中心矩nikikXXnB1)(1( k=1,2,) 二.抽样分布即统计量的分布1.X的分布不论总体 X 服从什么分布 , E (X) = E(X) , D (X) = D(X) / n . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载特别,
21、若 X N (,2 ) ,则X N ( , 2 /n) . 2.2分布(1)定义若 XN (0,1) ,则 Y =niiX12 2(n)自由度为 n 的2分布. (2)性质 若 Y 2(n),则 E(Y) = n , D(Y) = 2n . 若 Y1 2(n1) Y2 2(n2) ,则 Y1+Y2 2(n1 + n2). 若 X N ( ,2 ), 则22)1(Sn 2(n-1),且X与 S2相互独立 . (3)分位点若 Y 2(n),0 1 ,则满足)()()()(22/122/212nYnYPnYPnYP的点)()(),(),(22/122/212nnnn和分别称为2分布的上、下、双侧分位
22、点 . 3. t 分布(1)定义 若 XN (0,1 ),Y 2 (n),且 X,Y 相互独立 ,则 t=nYXt(n)自由度为 n 的 t 分布. (2)性质n时 ,t 分布的极限为标准正态分布. XN ( ,2 )时, nSX t (n-1) . 两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X N (1,12 ) 且12=22=2X1 ,X2 ,X n1XS12 Y N (2,22 ) Y1 ,Y2 ,Y n2YS22则212111)()(nnSYXw t (n1+n2-2) , 其中2)1()1(212222112nnSnSnSw(3)分位点若 t t (n) ,0 1 , 则满足)()(
23、)(2/nttPnttPnttP的点)(),(),(2/ntntnt分别称 t 分布的上、下、双侧分位点. 注意: t 1- (n) = - t (n). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载4.F 分布(1)定义 若 U2(n1), V 2(n2), 且 U,V 相互独立 ,则 F =21nVnUF(n1,n2)自由度为(n1,n2)的 F 分布. (2)性质(条件同 3.(2) 22212221SSF(n1-1,n2-1) (3)分位点若 F F(n1,n2) ,0 1,则满足),(),(2112
24、1nnFFPnnFFP),(),(212/1212/nnFFnnFFP的点),(),(),(),(212/1212/21121nnFnnFnnFnnF和分别称为F 分布的上、下、双侧分位点 . 注意: .).(1),(12211nnFnnF第七章参数估计一.点估计总体 X 的分布中有 k 个待估参数1, 2, k. X1 ,X2 ,X n是 X 的一个样本 , x1 ,x2 ,x n是样本值 . 1.矩估计法先求总体矩),(),(),(2121222111kkkkk解此方程组 ,得到),(),(),(2121222111kkkkk, 以样本矩 Al取代总体矩 l ( l=1,2,k)得到矩估计
25、量),(),(),(2121222111kkkkkAAAAAAAAA, 若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式 (可以是分布律或概率密度)为 p(x, 1, 2, k),称样本 X1 ,X2 ,X n的联精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载合 分 布nikikxpL12121),(),(为似 然 函数 .取 使 似然 函 数 达到 最 大 值的k,21,称为参数1, 2,k的最大似然估计值 ,代入样本得到最大似然估计量. 若 L(1, 2, k)关于1, 2, k可微,则一般
26、可由似然方程组0iL或 对数似然方程组0lniL(i =1,2,k) 求出最大似然估计 . 3.估计量的标准(1)无偏性若 E()= ,则估计量称为参数的无偏估计量 . 不论总体 X 服从什么分布 , E ( X )= E(X) , E(S2)=D(X), E(Ak)=k=E(Xk),即样本均值 X , 样本方差 S2,样本 k 阶矩 Ak分别是总体均值 E(X),方差 D(X), 总体 k 阶矩k的无偏估计 ,(2)有效性若 E(1)=E(2)= , 而 D(1) D(2), 则称估计量1比2有效. (3)一致性(相合性 ) 若 n时 ,P,则称估计量是参数 的相合估计量 . 二.区间估计1
27、.求参数 的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数 W=W(X1 ,X2 ,X n, ),其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定 . (2)利用双侧分位点找出 W 的区间(a,b),使 PaW b=1 -. (3)由不等式 aWb 解出则区间 (,)为所求. 2.单个正态总体待估参数其它参数W 及其分布置信区间2已知nXN (0,1) (2/znX) 2未知nSX t (n-1) )1(2/ntnSX2 未知22)1(Sn 2(n-1) )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
28、 - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载3.两个正态总体(1)均值差 1- 2其它参数W 及其分布置信区间已知2221,22212121)(nnYX N(0,1) )(2221212nnzYX未知22221212111)(nnSYXwt(n1+n2-2) )11)2(21212nnSnntYXw其中 Sw等符号的意义见第六章二. 3 (2). (2) 1, 2未知, W=22212221SS F(n1-1,n2-1),方差比12/22的置信区间为)1, 1(1,)1, 1(1(212/12221212/2221nnFSSnnFSS注意:对于单侧置信区间 ,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标/2 改为,另外的下 (上)限取为 - ( )即可. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页