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1、6.1 6.1 概述概述 构件在弯曲失稳时其变形仅发生在一个平面内，而板在分枝失稳时的变形发生在两个平面。按板厚的大小，可分为三类：厚板：，需同时考虑弯曲变形与剪切变形；薄板：，忽略剪切变形仅考虑弯曲变形；薄膜：，抗弯刚度近似为零仅靠薄膜张力抵抗外荷。薄板的屈曲，与杆件失稳的主要区别在于薄板到达分枝屈曲荷载后并未达到其极限荷载，即存在屈曲后强度。板的稳定理论分为小挠度理论和无限挠度（大挠度）理论。第1页/共72页 1.基本假定 （1）厚度方向的正应变 z、剪应变 zx和 zy均可忽略不计，即可用板中面的挠度代替沿厚度方向任一点的挠度，且垂直于板中面的直线在板弯曲变形后仍保持直线；x xy yz
2、 zh hdxdxdydydzdz x x xzxz y y z z yzyz yzyz xyxy zxzx xyxy6.26.2 薄板的小挠度理论薄板的小挠度理论薄板的坐标系及微元体上的应力 第2页/共72页 x xy yz zN Ny yN Nx xN Nx xN Ny yN NyxyxN NyxyxN NxyxyN Nxyxy （2）与板厚相比，垂直于板中面的挠度极小，由弯曲引起的板的伸长可忽略不计（即可不计板的薄膜效应）；（3）板为各向同性体，材料符合虎克定律。2.板内的中面力 图示薄板承受沿两个方向均匀分布的单位长度上的轴力Nx、Ny及剪力Nxy、Nyx。当薄板屈曲处于微弯平衡状态时
3、，任意单元内存在两组内力：（1）由于板中面伸长产生的轴力；（2）由于板弯曲产生的弯矩及剪力。第3页/共72页微面元的中面力分布 第4页/共72页3.薄板的平衡微分方程 （1）中面力在）中面力在z方向的合力方向的合力 Nx在在z方向的分力为：方向的分力为：亦即 Ny在z方向的分力为：同理得Nxy和Nyx在z方向的分力为：中面力在z方向的总合力为：（1）第5页/共72页 （2）剪力在）剪力在z方向的合力方向的合力 与（1）式相加后得z方向的力平衡方程：（2）（3）弯矩平衡条件）弯矩平衡条件 由对x轴的弯矩平衡条件：略去高阶量后得：（3）第6页/共72页 同理，由对y轴的弯矩平衡条件可导出：（4）以
4、上三个微分方程需进行合并，（3）（4）两式分别对y和x微分一次后带入（2）式，得（消去Q）：（5）公式有四个未知函数Mx、My、Mxy和w，还需三个关系式才能求解，因不可能再建立平衡关系式，故需考虑板的变形条件。对于薄板，沿厚度方向距中面为z处的应力应变关系为：第7页/共72页 x xy ydzdzz zdxdxdydyt t/2/2 x x y y yzyz xyxyt t/2/2 板的应变可用曲率和扭率表示，因：可得：解出此点的应力为：第8页/共72页 由此可得沿板厚方向的弯矩与扭矩为：式中 ，称为板的抗弯刚度，微分两次后代入（5）式可得仅关于位移 w的薄板稳定微分方程：第9页/共72页
5、4.薄板的边界条件薄板的边界条件 （1）简支边 挠度 w=0，弯矩Mx=0，即 ，因边界点挠度为零，故其曲率为零，即有：（2）固定边 挠度w=0；斜率 （3）自由边 弯矩Mx=0，即 ，剪力Qx=0，Mxy=0，即第10页/共72页 四边简支的矩形板，当仅受x方向的均匀压力Nx作用时：（1）满足四边简支边界条件的解是一个二重三角级数：m=1，2，3.n=1，2，3.m 和n 分别是板屈曲时在x 和y方向的半波数，对挠度w 微分后代入（1）式，得：a ax xy yN Nx xb bN Nx x6.36.3 单向均匀受压板的弹性屈曲单向均匀受压板的弹性屈曲第11页/共72页 因为：否则为平板状态
6、，故满足上式恒为零的唯一条件是括号内的式子为零，解得：或 n=1时（y方向一个半波）Nx有最小值，为求得m的取值，令：可解得：即第12页/共72页 m是x方向的半波数，必须为整数，屈曲荷载可以表示为更普遍的形式：这里 k 称为板的屈曲系数，屈曲系数与板长及板宽之比有关，且当a/b4后，k值逐步逼近其最小值4.0。板的最小临界应力：1 12 20 03 34 42 24 46 68 8 a a/b bk kmm=1=1mm=4=4mm=3=3mm=2=2单位长度第13页/共72页均匀受压四边简支板的屈曲均匀受压四边简支板的屈曲形式形式第14页/共72页采用能量法求解示例采用能量法求解示例例题1
7、用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。总势能第15页/共72页例题1 用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。因为px=pxy=0，总势能采用能量法求解示例采用能量法求解示例第16页/共72页例题1 用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。因为px=pxy=0，假设板的挠曲面函数满足几何边界条件！代入总势能表达式:采用能量法求解示例采用能量法求解示例第17页/共72页例题1 用瑞利里兹法求解图示单向均匀
8、受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。由势能驻值原理，令m=1，可得px最小值一般=0.3ab采用能量法求解示例采用能量法求解示例第18页/共72页屈曲系数与板件长宽比的关系 板件屈曲系数（四边简支板）第19页/共72页6.46.4 不同面内荷载作用下板的弹性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 轴心受力时，构成轴心受压柱截面的各板件趋于均匀受压。第20页/共72页6.46.4 不同面内荷载作用下板的弹性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 而对偏心受压或纯弯矩作用下的构件，其腹板受力状态发生变化。因此为了分析组成构件的各板件的局部屈曲性质，不但要确定板件均匀
9、受压时的屈曲荷载，还要分析非均匀受压及纯剪应力状态下板件的临界荷载，这样才能进行板件局部稳定设计。第21页/共72页6.46.4 不同面内荷载作用下板的弹性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 1.四边简支均匀受剪四边简支均匀受剪板的弹性屈曲临界力板的弹性屈曲临界力均匀受剪四边简支板屈曲 第22页/共72页 对于仅承受周边均匀剪力Nxy的四边简支薄板，单位长度压力Nx、Ny为零，平衡微分方程成为：（1）若板宽与板长均为a，满足其边界条件的挠曲面方程为（取前两项）：可采用Galerkin法求解，解得：精确解为：x xy yN Nyxyxb ba aN Nxyxy6.46.4 不同面内荷载作用下板的
10、弹性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 1.四边简支均匀受剪四边简支均匀受剪板的弹性屈曲临界力板的弹性屈曲临界力第23页/共72页 若挠度曲线方程取更多项，解的精度还可提高。对板宽与板长不相等（ab）的矩形板：（2）式中ks为屈曲系数，对四边简支板：对四边固定板：第24页/共72页 2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）非均匀受压简支板 单向非均匀受压板 在均匀压力和弯矩的共同作用下 应力梯度：（压应力为正）均匀受压；纯弯曲第25页/共72页 2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）用Ritz法求解，符合四边简支
11、边界条件的挠曲面函数为：作用于板中面单位长度荷载：px1为得到近似解，取二重三角级数的前三项：第26页/共72页 2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）由总势能公式得到：由势能驻值条件：第27页/共72页 2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）由系数行列式为零，可求得px1：当 时，对纯弯板，第28页/共72页 2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）由系数行列式为零，可求得px1：当 时，对纯弯板，第29页/共72页 3.一个边缘受压的四边简支一个边缘受压的四边简支板的
12、弹性失稳板的弹性失稳单侧受压板 吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分布压应力，图（a）。第30页/共72页 3.一个边缘受压的四边简支一个边缘受压的四边简支板的弹性失稳板的弹性失稳单侧受压板（1）压应力非均匀分布设计时，还需要考虑翼缘对腹板的弹性约束作用，对k进行修正。吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分布压应力，图（a）。第31页/共72页 3.一个边缘受压的四边简支一个边缘受压的四边简支板的弹性失稳板的弹性失稳单侧受压板 吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分布压应力，图（a）。（1）压应力均匀分布一般单侧受压板吊车梁腹板（等效均布压应力）第32页/共72页6.
13、56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳 前面介绍的是矩形板在各种边缘荷载单独作用下的情况，实际上钢构件的腹板通常处于两种或两种以上荷载的共同作用。如简支梁的腹板，在靠近支座处主要受剪；在跨度中央处主要受弯；但是在其它部位，腹板同时受弯和受剪，因此必须考虑这两种力的共同作用对板件稳定的影响。第33页/共72页Non-compact sec.(ultimate state)Slender sec.(ultimate state)第34页/共72页6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳1.用横向加劲肋加强的梁
14、腹板 所计算腹板区隔内，由平均弯矩产生的腹板计算高度边缘的弯曲正应力 所计算腹板区隔内，由平均剪力产生的腹板平均剪应力第35页/共72页6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳2.同时用横向加劲肋和纵向加劲肋加强的梁腹板 区隔内：区隔内：第36页/共72页6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳区隔内：区隔内：3.同时用横向、受压区纵向及短加劲肋加强的梁腹板 相应的板宽、板高及其临界应力作调整！第37页/共72页6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳4.偏
15、心受压柱的腹板 受力特点：不均匀受压（线性）剪切（均布）应力梯度：（压应力为正）第38页/共72页6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束 前面分析的是独立板件的弹性失稳问题，然而实际构件中的板件都是连接在一起，在失稳时相互影响，因此有必要分析这种相互约束作用。1.轴心受压杆板件间的约束轴心受压杆板件间的约束矩形管轴心压杆的板件失稳 单位长度嵌固系数第39页/共72页6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束1.轴心受压杆板件间的约束轴心受压杆板件间的约束H形截面轴心压杆的板件失稳 腹板：翼缘：当不考虑两者约束时四边简支三边简支、一边自由若：第
16、40页/共72页6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束2.梁中翼缘和腹板间的约束梁中翼缘和腹板间的约束纯弯梁：受压翼缘和腹板整体分析、受拉翼缘不屈曲 比轴心受压构件复杂，其相互约束长度不仅涉及到板件的宽（高）厚比，还与应力状态有关。受弯梁段局部失稳 常用工字形截面梁：总是翼缘约束腹板！第41页/共72页6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束2.梁中翼缘和腹板间的约束梁中翼缘和腹板间的约束即：例如：当b1/h0=0.1、tf/tw=2.0时，Kf=0.08（Kf=0.5 Kw=4.0）第42页/共72页6.66.6 组成构件的板件间的相互约
17、束组成构件的板件间的相互约束3.钢结构设计规范规定的嵌固系数钢结构设计规范规定的嵌固系数 嵌固系数 随着板件集合体各部分尺寸关系而变化，为便于设计，规范采用固定值：工字形截面轴心受压构件腹板：梁腹板的受弯板：梁腹板的受剪板：结论：若干板件组成的构件截面，如果若干板件组成的构件截面，如果甲板甲板的屈曲承载力的屈曲承载力高于高于乙板乙板，并对乙，并对乙板提供约束，则乙板就不可能反过来板提供约束，则乙板就不可能反过来对甲板提供约束。对甲板提供约束。若：则必然反之亦然第43页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用1.钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则钢结
18、构设计规范保证板件局部稳定的原则准则一（等稳定性原则）：构件都是由一些板件组成的，一般板件的厚度与板的宽度相比较小（薄板），当板件发生局部失稳后，虽然构件还可能继续维持整体的平衡状态，但由于部分板件屈曲后退出工作，减少了构件有效截面，会加速构件整体失稳而丧失承载能力，因此有必要考虑构件局部失稳。准则二（板件不屈服原则）：组成构件的各板件的局部屈曲临界应力不小于构件整体稳定临界应力，适用于中、长构件适用于短构件第44页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用1.钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则准则一（等稳定性原则
19、）：薄板的弹塑性屈曲：单向受力板沿受力方向弹性模量取Et，Et/E=；但与压力垂直的方向仍为弹性E，属于正交异性板，第45页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用1.钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则准则二（板件不屈服原则）：2.措施措施 根据不同的设计准则，控制构件截面各板件的宽（高）厚比。第46页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用3.轴心受压构件中板件的局部稳定设计轴心受压构件中板件的局部稳定设计2.措施措施 根据不同的设计准则，控制构件截面各板件的宽（高）
20、厚比。轴心受压构件的局部失稳 第47页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用3.轴心受压构件中板件的局部稳定设计轴心受压构件中板件的局部稳定设计第48页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计梁局部失稳 第49页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计（1）翼缘：第50页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设
21、计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计（1）翼缘：梁的受压翼缘板 第51页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计（2）腹板：腹板加劲肋的布置 第52页/共72页6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用5.压压弯构件中板件的局部稳定设计弯构件中板件的局部稳定设计与轴心受力构件不同的是，需要考虑应力梯度的影响！第53页/共72页6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论 1.1.基本概念基本概念 薄板的有限挠度理论是在小
22、挠度理论的基础上，考虑当板边支撑构件有较大刚度时，板屈曲后不会立即破坏，而是出现应力重分布，板中面产生较大薄膜张力的作用。有限挠度理论认为板的挠度值与板厚同阶，但相对于板尺寸仍较小，即仍可用挠度的二阶微分代替板的曲率。后屈曲问题 薄板小挠度弯曲（wt/5）有限（大）挠度弯曲（wt）板中面内各点沿x、y方向的位移为零必须考虑板中面内各点沿x、y方向的位移考虑：中面位移（x-u、y-v）引起的中面应变和中面力（薄膜效应）第54页/共72页6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论第55页/共72页6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论第56页/共72页6.86.8 薄板的有限挠
23、度理论薄板的有限挠度理论第57页/共72页6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论 2.2.力平衡方程力平衡方程 仍以板中的微元体为基本单元，当考虑有限变形时，弯矩、扭矩及剪力的影响均无实质性变化。中面内力：小挠度理论：板边压力 pNxNyNxy 大挠度理论：板边压力+薄膜效应NxNyNxyNx(x,y)Ny(x,y)Nxy(x,y)因考虑薄膜应变产生的附加应力，中面力沿两侧将不再保持常量。第58页/共72页 图示单元若忽略高阶微量，则其在x方向的平衡条件为：（1）在y方向的平衡条件为：（2）忽略高阶微分后Nx在z方向的分力为：Ny在z方向的分力为：第59页/共72页 N Nxyxy
24、、Nyx在z方向的分力分别为：所有中面力在z方向的分力为以上各式之和，即：同时引入式（1）、（2）加上弯矩与剪力的影响后，得到与小挠度理论相似的方程：（3）公式的主要区别在于中面力Nx、Ny、Nxy 和Nyx在任意截面上不再是常量，因而上式属于变系数偏微分方程，需要借助于板的变形协调条件求解。第60页/共72页 3.3.变形协调方程变形协调方程 板弯曲变形后，微元体上任意点在x和y向的应变由薄膜应变和挠度w产生的轴向应变两部分产生。由图示关系可得：（4）（5）微元体中面因挠曲而产生的剪应变为：（6）第61页/共72页 以上公式仅与板中面的应变和横向挠度有关，可用中面力表达为：（7）（8）（9）
25、运用这9个方程可求解板的屈曲临界力，为简化起见，将（4）（5）（6）式合并后消除未知量u0和v0，得中面应变与挠度的变形协调方程：（1010）第62页/共72页 为减少未知量，引入应力函数F（x，y），中面力可表示为：用应力函数表示的中面应变：将各式分别简化并合并后，得到以挠度w和应力函数F为变量的力平衡方程和变形协调方程组（大挠度方程）：第63页/共72页6.96.9 单向均匀受压简支单向均匀受压简支板的屈曲后强度板的屈曲后强度 当分析板的屈曲后强度时，还需考虑板自身平面内的边界条件，其基本假定为：（1）板弯曲后外形不变；（2）板边剪应力Nxy=0；（3）与荷载作用方向（Nx）垂直的两条边沿
26、y向可自由移动，与荷载作用方向平行的两条边沿x向的位移为常量。以上假定即保证了虽Ny 0，但y方向的合力为零。x xy yb bp px x(N Nx x)a ap px x(N Nx x)第64页/共72页6.96.9 单向均匀受压简支板的屈曲后强度单向均匀受压简支板的屈曲后强度四边简支薄方板，在自身平面外变形时其边界条件为：实际上无法求得薄板的大挠度方程组的精确闭合解，采用近似法求解。选取合适的挠曲面函数（位移函数）：f 为板中心点挠度显然，所取w满足全部边界条件。第65页/共72页 代入变形协调方程得：以上微分方程的解由通解和余解两部分组成，可解得：（1）Galerkin法求板的挠度得：
27、（2）小挠度理论屈曲荷载小挠度理论屈曲荷载板边作板边作用荷载用荷载第66页/共72页 （2）式代入（1）式并整理后得到中面力：中面力沿板面是变化的，当y=0和y=b时得到板边缘纵向最大压力：第67页/共72页v以上应力分布图形即为工字形截面柱的腹板当不满足高厚比限值时，规范采用的考虑板件屈曲后强度，用有效截面计算的基础。腹板屈曲后的有效截面第68页/共72页小 结1.根据板的分类：厚板：，需同时考虑弯曲变形与剪切变形；薄板：，忽略剪切变形仅考虑弯曲变形；薄膜：，抗弯刚度近似为零仅靠薄膜张力抵抗外荷。薄板薄膜大挠度板存在屈曲后强度2.现行钢结构设计规范以薄板理论为基础3.现行冷弯薄壁型钢结构技术规范以大挠度弹性薄板理论为基础，第69页/共72页小 结4.板的分析必须综合考虑基本板件在不同受力状态、边界条件、初始缺陷、弹塑性、板件之间相互约束以及板件屈曲后的受力性能。5.基于能量法的近似求解方法是目前有效的计算分析方法，有限元分析方法可以大大提高分析效率和直观判别。6.基于薄板屈曲后弹塑性性能的分析是采用钢板（软钢）耗能、隔震装置的重要理论基础。基本单元的选取？第70页/共72页谢谢 谢！谢！欢迎各位同学选修欢迎各位同学选修第71页/共72页感谢您的观看。第72页/共72页