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1、结构稳定理论与设计结构稳定理论与设计东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院舒赣平舒赣平 教授教授研究生课程研究生课程结构稳定理论与设计结构稳定理论与设计第第6 6章章 薄板的弹性稳定薄板的弹性稳定(屈曲屈曲)钢结构大型梁、柱等构件，通常都由钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常板件组合而成，为了节省材料，板件通常设计得宽而薄，设计得宽而薄，薄板在薄板在面内压力作用面内压力作用下就下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降下降；另外，在构件连接的节点也存在板；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。因此，件失稳的可能性。
2、因此，对板件失稳和失对板件失稳和失稳后性态的研究稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问也是钢结构稳定的重要问题。题。6.1 6.1 概述概述 构构件件在在弯弯曲曲失失稳稳时时其其变变形形仅仅发发生生在在一一个个平平面面内内，而而板板在在分分枝失稳时的变形发生在两个平面枝失稳时的变形发生在两个平面。按板厚的大小，可分为三类：。按板厚的大小，可分为三类：厚板：厚板：，需同时考虑弯曲变形与剪切变形需同时考虑弯曲变形与剪切变形；薄板薄板：，忽略剪切变形仅考虑弯曲变形忽略剪切变形仅考虑弯曲变形；薄膜：薄膜：，抗弯刚度近似为零仅靠薄膜张力抵抗外荷抗弯刚度近似为零仅靠薄膜张力抵抗外荷。薄薄板板的的屈屈曲曲，与
3、与杆杆件件失失稳稳的的主主要要区区别别在在于于薄薄板板到到达达分分枝枝屈屈曲荷载后并未达到其极限荷载，即存在屈曲后强度曲荷载后并未达到其极限荷载，即存在屈曲后强度。板的稳定理论分为板的稳定理论分为小挠度理论和无限挠度（大挠度）理论小挠度理论和无限挠度（大挠度）理论。1.基本假定基本假定 （1）厚厚度度方方向向的的正正应应变变 z、剪剪应应变变 zx和和 zy均均可可忽忽略略不不计计，即即可可用用板板中中面面的的挠挠度度代代替替沿沿厚厚度度方方向向任任一一点点的的挠挠度度，且且垂垂直直于于板中面的直线在板弯曲变形后仍保持直线板中面的直线在板弯曲变形后仍保持直线；x xy yz zh hdxdxd
4、ydydzdz x x xzxz y y z z yzyz yzyz xyxy zxzx xyxy6.26.2 薄板的小挠度理论薄板的小挠度理论薄板的坐标系及微元体上的应力薄板的坐标系及微元体上的应力 x xy yz zN Ny yN Nx xN Nx xN Ny yN NyxyxN NyxyxN NxyxyN Nxyxy （2）与板厚相比，垂直于）与板厚相比，垂直于板中面的板中面的挠度极小挠度极小，由弯曲引，由弯曲引起的板的伸长可忽略不计（即可不计板的薄膜效应）；起的板的伸长可忽略不计（即可不计板的薄膜效应）；（3）板为各向同性体，材料符合虎克定律。）板为各向同性体，材料符合虎克定律。2.板
5、内的中面力板内的中面力 图示薄板承受沿两个图示薄板承受沿两个方向均匀分布的方向均匀分布的单位长度单位长度上的轴力上的轴力Nx、Ny及剪力及剪力Nxy、Nyx。当薄板屈曲处于微。当薄板屈曲处于微弯平衡状态时，任意单元弯平衡状态时，任意单元内存在两组内力内存在两组内力：（1）由于板中面伸长）由于板中面伸长产生的轴力；产生的轴力；（2）由于板弯曲产生）由于板弯曲产生的弯矩及剪力。的弯矩及剪力。微面元的中面力分布微面元的中面力分布 3.薄板的平衡微分方程薄板的平衡微分方程 （1）中面力在）中面力在z方向的合力方向的合力 Nx在在z方向的分力为：方向的分力为：亦即亦即 Ny在在z方向的分力为：方向的分力
6、为：同理得同理得Nxy和和Nyx在在z方向的分力为：方向的分力为：中面力在中面力在z方向的总合力为：方向的总合力为：（1）（2）剪力在）剪力在z方向的合力方向的合力 与（与（1）式相加后得）式相加后得z方向的力平衡方程：方向的力平衡方程：（2）（3）弯矩平衡条件）弯矩平衡条件 由对由对x轴轴的弯矩平衡条件：的弯矩平衡条件：略去高阶量后得：略去高阶量后得：（3）同理，由对同理，由对y轴轴的弯矩平衡条件可导出：的弯矩平衡条件可导出：（4）以上三个微分方程需进行合并，（以上三个微分方程需进行合并，（3）（）（4）两式分别对）两式分别对y和和x微分一次后带入（微分一次后带入（2）式，得（）式，得（消去
7、消去Q）：）：（5）公式有公式有四个未知函数四个未知函数Mx、My、Mxy和和w，还需三个关系式，还需三个关系式才能求解，因不可能再建立平衡关系式，故需才能求解，因不可能再建立平衡关系式，故需考虑板的变形条考虑板的变形条件件。对于薄板，沿厚度方向距中面为。对于薄板，沿厚度方向距中面为z处的应力应变关系为：处的应力应变关系为：x xy ydzdzz zdxdxdydyt t/2/2 x x y y yzyz xyxyt t/2/2 板的应变可用曲率和扭率表示，因：板的应变可用曲率和扭率表示，因：可得：可得：解出此点的应力为：解出此点的应力为：由此可得沿板厚方向的弯矩与扭矩为：由此可得沿板厚方向的
8、弯矩与扭矩为：式中式中 ，称为，称为板的抗弯刚度板的抗弯刚度，微分两次后代，微分两次后代入（入（5）式可得仅关于位移）式可得仅关于位移 w的薄板稳定微分方程：的薄板稳定微分方程：4.薄板的边界条件薄板的边界条件 （1）简支边）简支边 挠度挠度 w=0，弯矩，弯矩Mx=0，即，即 ，因边界点，因边界点挠度为零，故其曲率为零，即有：挠度为零，故其曲率为零，即有：（2）固定边）固定边 挠度挠度w=0；斜率；斜率 （3）自由边）自由边 弯矩弯矩Mx=0，即即 ，剪力剪力Qx=0，Mxy=0，即，即 四边简支的矩形板，当仅受四边简支的矩形板，当仅受x方向的均匀压力方向的均匀压力Nx作用时：作用时：（1）
9、满足四边简支边界条件的解是一个二重三角级数：满足四边简支边界条件的解是一个二重三角级数：m=1，2，3.n=1，2，3.m 和和n 分别是板屈曲时在分别是板屈曲时在x 和和y方向方向的半波数，对挠的半波数，对挠度度w 微分后代入（微分后代入（1）式，得：式，得：a ax xy yN Nx xb bN Nx x6.36.3 单向均匀受压板的弹性屈曲单向均匀受压板的弹性屈曲 因为：因为：否则为平板状态否则为平板状态，故满足上式恒为零的唯一条件是括号内，故满足上式恒为零的唯一条件是括号内的式子为零，解得：的式子为零，解得：或或 n=1时（时（y方向一个半波）方向一个半波）Nx有最小值，为求得有最小值
10、，为求得m的取值，的取值，令：令：可解得：可解得：即即 m是是x方向方向的的半波数半波数，必须为整数，屈曲荷载可以表示为，必须为整数，屈曲荷载可以表示为更普遍的形式：更普遍的形式：这里这里 k 称为称为板的屈曲系数板的屈曲系数，屈曲系数与板长及板宽之比有关，屈曲系数与板长及板宽之比有关，且当且当a/b4后，后，k值逐步逼近其值逐步逼近其最小值最小值4.0。板的最小临界应力：板的最小临界应力：1 12 20 03 34 42 24 46 68 8 a a/b bk kmm=1=1mm=4=4mm=3=3mm=2=2单位长度均匀受压四边简支板均匀受压四边简支板均匀受压四边简支板均匀受压四边简支板的
11、屈曲形式的屈曲形式的屈曲形式的屈曲形式采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例例题例题1 用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。边自由。总势能总势能例题例题1 用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。边自由。因为因为px=pxy=0，总势能总势能
12、采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例例题例题1 用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。边自由。因为因为px=pxy=0，假设板的挠曲面函数假设板的挠曲面函数满足几何边界条件！满足几何边界条件！代入总势能表达式代入总势能表达式:采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例例题例题1 用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲用瑞利里兹法求解图示单向均匀受压巨型板的屈曲荷载
13、。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载荷载。板的两个加载边和一个非加载边为简支，另一非加载边自由。边自由。由势能驻值原理，由势能驻值原理，令令m=1，可得，可得px最小值最小值一般一般=0.3ab采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例采用能量法求解示例屈曲系数与板件长宽比的关系屈曲系数与板件长宽比的关系 板件屈曲系数（四边简支板）板件屈曲系数（四边简支板）6.46.4 不同面内荷载作用下板的弹性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 轴心受力时，轴心受力时，构成轴心受压柱截面的各板件趋于均构成轴心受压柱截面的各板件趋于均匀受压匀受压。6.46.4 不同面内荷载作用下板的弹
14、性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 而对偏心受压或纯弯矩作用下的构件，其腹板受力而对偏心受压或纯弯矩作用下的构件，其腹板受力状态发生变化。因此为了分析组成构件的各板件的局部状态发生变化。因此为了分析组成构件的各板件的局部屈曲性质，不但要确定板件均匀受压时的屈曲荷载，还屈曲性质，不但要确定板件均匀受压时的屈曲荷载，还要分析要分析非均匀受压及纯剪应力状态非均匀受压及纯剪应力状态下板件的临界荷载，下板件的临界荷载，这样才能进行这样才能进行板件局部稳定设计板件局部稳定设计。6.46.4 不同面内荷载作用下板的弹性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 1.四边简支均匀受剪四边简支均匀受剪板的弹性屈曲临界
15、力板的弹性屈曲临界力均匀受剪四边简支板屈曲均匀受剪四边简支板屈曲 对对于于仅仅承承受受周周边边均均匀匀剪剪力力Nxy的的四四边边简简支支薄薄板板，单单位位长长度度压压力力Nx、Ny为零为零，平衡微分方程成为：，平衡微分方程成为：（1）若若板板宽宽与与板板长长均均为为a，满满足足其其边边界界条条件件的的挠挠曲曲面面方方程程为为（取取前两项）：前两项）：可采用可采用Galerkin法法求解，解得：求解，解得：精确解为：精确解为：x xy yN Nyxyxb ba aN Nxyxy6.46.4 不同面内荷载作用下板的弹性失稳不同面内荷载作用下板的弹性失稳 1.四边简支均匀受剪四边简支均匀受剪板的弹性
16、屈曲临界力板的弹性屈曲临界力 若挠度曲线方程若挠度曲线方程取更多项，解的精度还可提高。取更多项，解的精度还可提高。对对板宽与板长不相等（板宽与板长不相等（ab）的矩形板：）的矩形板：（2）式中式中ks为屈曲系数，对为屈曲系数，对四边简支板：四边简支板：对四边固定板：对四边固定板：2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）非均匀受压简支板非均匀受压简支板 单向单向非均匀受压板非均匀受压板 在在均匀压力和弯矩的共同作用均匀压力和弯矩的共同作用下下 应力梯度：应力梯度：（压应力为正）（压应力为正）均匀受压均匀受压；纯弯曲纯弯曲 2.单向非均匀受压单向非均匀受压板
17、的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）用用Ritz法求解，符合法求解，符合四边简支四边简支边界条件边界条件的挠曲面函数为：的挠曲面函数为：作用于板中面单位作用于板中面单位长度荷载：长度荷载：px1为得到近似解，取二重三角级数的前三项：为得到近似解，取二重三角级数的前三项：2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）由总势能公式得到：由总势能公式得到：由势能驻值条件：由势能驻值条件：2.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）由系数行列式为零，可求得由系数行列式为零，可求得px1：当当 时，时，对纯弯板，对纯弯板，2
18、.单向非均匀受压单向非均匀受压板的弹性失稳板的弹性失稳（四边简支）（四边简支）由系数行列式为零，可求得由系数行列式为零，可求得px1：当当 时，时，对纯弯板，对纯弯板，3.一个边缘受压的四边简支一个边缘受压的四边简支板的弹性失稳板的弹性失稳单侧受压板单侧受压板 吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分布压应力，图（布压应力，图（a）。）。3.一个边缘受压的四边简支一个边缘受压的四边简支板的弹性失稳板的弹性失稳单侧受压板单侧受压板（1）压应力非均匀分布）压应力非均匀分布设计时，还需要考虑翼缘对腹板的设计时，还需要考虑翼缘对腹板的弹性约束作用，对
19、弹性约束作用，对k进行修正。进行修正。吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分布压应力，图（布压应力，图（a）。）。3.一个边缘受压的四边简支一个边缘受压的四边简支板的弹性失稳板的弹性失稳单侧受压板单侧受压板 吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分布吊车梁腹板，受到轨道轮压在腹板边缘产生非均匀分布压应力，图（压应力，图（a）。）。（1）压应力均匀分布）压应力均匀分布一般单侧受压板一般单侧受压板吊车梁腹板吊车梁腹板（等效均布压应力）（等效均布压应力）6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳
20、前面介绍的是矩形板在前面介绍的是矩形板在各种边缘荷载单独各种边缘荷载单独作用下作用下的情况，实际上钢构件的腹板通常的情况，实际上钢构件的腹板通常处于处于两种或两种以上荷载的共同作用两种或两种以上荷载的共同作用。如简支梁的腹板，在靠近支座处主要受剪；如简支梁的腹板，在靠近支座处主要受剪；在跨度中央处主要受弯；但是在其它部位，腹在跨度中央处主要受弯；但是在其它部位，腹板板同时受弯和受剪同时受弯和受剪，因此必须考虑这两种力的，因此必须考虑这两种力的共同作用对板件稳定的影响。共同作用对板件稳定的影响。Non-compact sec.(ultimate state)Slender sec.(ultima
21、te state)6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳1.用横向加劲肋加强的梁腹板用横向加劲肋加强的梁腹板 所计算腹板区隔内，由所计算腹板区隔内，由平均弯矩产生平均弯矩产生的的腹板计算高度边腹板计算高度边缘的弯曲正应力缘的弯曲正应力 所计算腹板区隔内，由所计算腹板区隔内，由平均剪力产生平均剪力产生的的腹板平均剪应力腹板平均剪应力6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳2.同时用横向加劲肋和纵向加劲肋加强的梁腹板同时用横向加劲肋和纵向加劲肋加强的梁腹板 区隔区隔内：内：区隔区隔内：内：6.56.5 几
22、种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳区隔区隔内：内：区隔区隔内：内：3.同时用横向、受压区纵向同时用横向、受压区纵向及短加劲肋加强的梁腹板及短加劲肋加强的梁腹板 相应的板宽、相应的板宽、板高及其临界板高及其临界应力作调整！应力作调整！6.56.5 几种边缘荷载共同作用几种边缘荷载共同作用下薄板的下薄板的弹弹性失稳性失稳4.偏心受压柱的腹板偏心受压柱的腹板 受力特点：受力特点：不均匀受压（线性）不均匀受压（线性）剪切（均布）剪切（均布）应力梯度：应力梯度：（压应力为正）（压应力为正）6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束 前面分析的是
23、前面分析的是独立板件独立板件的弹性失稳问题，然的弹性失稳问题，然而实际构件中的板件都是连接在一起，在失稳时而实际构件中的板件都是连接在一起，在失稳时相互影响，因此有必要分析这种相互影响，因此有必要分析这种相互约束作用相互约束作用。1.轴心受压杆板件间的约束轴心受压杆板件间的约束矩形管轴心压杆的板件失稳矩形管轴心压杆的板件失稳 单位长度嵌固系数嵌固系数6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束1.轴心受压杆板件间的约束轴心受压杆板件间的约束H形截面轴心压杆的板件失稳形截面轴心压杆的板件失稳 腹板腹板：翼缘翼缘：当不考虑两者约束时当不考虑两者约束时四边简支四边简支三边简支、
24、一边自由三边简支、一边自由若若：6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束2.梁中翼缘和腹板间的约束梁中翼缘和腹板间的约束纯弯梁纯弯梁：受压翼缘和腹板整体分析、受压翼缘和腹板整体分析、受拉翼缘不屈曲受拉翼缘不屈曲 比轴心受压构件复杂，其相互约束长度不仅涉及到板件比轴心受压构件复杂，其相互约束长度不仅涉及到板件的宽（高）厚比，还与应力状态有关。的宽（高）厚比，还与应力状态有关。受弯梁段局部失稳受弯梁段局部失稳 常用工字形截面梁：常用工字形截面梁：总是翼缘约总是翼缘约束腹板！束腹板！6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束2.梁中翼缘和腹板间的约束
25、梁中翼缘和腹板间的约束即即：例如：当例如：当b1/h0=0.1、tf/tw=2.0时，时，Kf=0.08（Kf=0.5 Kw=4.0）6.66.6 组成构件的板件间的相互约束组成构件的板件间的相互约束3.钢结构设计规范规定的嵌固系数钢结构设计规范规定的嵌固系数 嵌固系数嵌固系数 随着板件集合体各部分尺寸关系而变化，为便随着板件集合体各部分尺寸关系而变化，为便于设计，规范采用于设计，规范采用固定值固定值：工字形截面工字形截面轴心受压构件腹板：轴心受压构件腹板：梁腹板的受弯板：梁腹板的受弯板：梁腹板的受剪板：梁腹板的受剪板：结论：结论：若干板件组成的构件截若干板件组成的构件截面，如果面，如果甲板甲
26、板的屈曲承载力的屈曲承载力高于高于乙板乙板，并对乙板提供约，并对乙板提供约束，则乙板就不可能反过来束，则乙板就不可能反过来对甲板提供约束。对甲板提供约束。若：若：则必然则必然反之亦然反之亦然6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用1.钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则准则一准则一（等稳定性原则）（等稳定性原则）：构件都是由一些板件组成的，一般板件的厚度与构件都是由一些板件组成的，一般板件的厚度与板的宽度相比较小（板的宽度相比较小（薄板薄板），当板件发生局部失稳），当板件发生局部失稳后，虽然构件还可能继续维持整体的平衡状态，
27、但后，虽然构件还可能继续维持整体的平衡状态，但由于部分板件屈曲后退出工作，减少了构件有效截由于部分板件屈曲后退出工作，减少了构件有效截面，会加速构件整体失稳而丧失承载能力，因此有面，会加速构件整体失稳而丧失承载能力，因此有必要考虑构件局部失稳。必要考虑构件局部失稳。准则二准则二（板件不屈服原则）（板件不屈服原则）：组成构件的各板件的组成构件的各板件的局部屈曲临局部屈曲临界应力不小于构件整体稳定临界界应力不小于构件整体稳定临界应力，应力，适用于中、长构件适用于中、长构件适用于短构件适用于短构件6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用1.钢结构设计规范保证板件局部
28、稳定的原则钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则准则一准则一（等稳定性原则）（等稳定性原则）：薄板的弹塑性屈曲薄板的弹塑性屈曲：单向受力板沿受力方向弹性模量取单向受力板沿受力方向弹性模量取Et，Et/E=；但与压力垂直的方向仍为弹性但与压力垂直的方向仍为弹性E，属于正交异性板，属于正交异性板，6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用1.钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则钢结构设计规范保证板件局部稳定的原则准则二准则二（板件不屈服原则）（板件不屈服原则）：2.措施措施 根据不同的设计准则，根据不同的设计准则，控制构件截面各板件的宽控制构件截面各板件的宽（高）厚比
29、。（高）厚比。6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用3.轴心受压构件中板件的局部稳定设计轴心受压构件中板件的局部稳定设计2.措施措施 根据不同的设计准则，根据不同的设计准则，控制构件截面各板件的宽控制构件截面各板件的宽（高）厚比（高）厚比。轴心受压构件的局部失稳轴心受压构件的局部失稳 6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用3.轴心受压构件中板件的局部稳定设计轴心受压构件中板件的局部稳定设计6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计梁
30、局部失稳梁局部失稳 6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计（1）翼缘：）翼缘：6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计（1）翼缘：）翼缘：梁的受压翼缘板梁的受压翼缘板 6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论在钢结构设计中的应用4.受弯构件中板件的局部稳定设计受弯构件中板件的局部稳定设计（2）腹板：）腹板：腹板加劲肋的布置腹板加劲肋的布置 6.76.7 板稳定理论在钢结构设计中的应用板稳定理论
31、在钢结构设计中的应用5.压压弯构件中板件的局部稳定设计弯构件中板件的局部稳定设计与轴心受力构件不同的是，需要考虑与轴心受力构件不同的是，需要考虑应力梯度应力梯度的影响！的影响！6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论 1.1.基本概念基本概念 薄薄板板的的有有限限挠挠度度理理论论是是在在小小挠挠度度理理论论的的基基础础上上，考考虑虑当当板板边边支支撑撑构构件件有有较较大大刚刚度度时时，板板屈屈曲曲后后不不会会立立即即破破坏坏，而而是是出出现现应力重分布，板中面产生较大薄膜张力的作用应力重分布，板中面产生较大薄膜张力的作用。有有限限挠挠度度理理论论认认为为板板的的挠挠度度值值与与板板厚
32、厚同同阶阶，但但相相对对于于板板尺尺寸仍较小，即仍可用挠度的二阶微分代替板的曲率。寸仍较小，即仍可用挠度的二阶微分代替板的曲率。后屈曲问题后屈曲问题 薄板小挠度弯曲（薄板小挠度弯曲（wt/5）有限（有限（大大）挠度弯曲（）挠度弯曲（wt）板中面内各点沿板中面内各点沿x、y方方向的位移为零向的位移为零必须考虑板中面内各点必须考虑板中面内各点沿沿x、y方向的位移方向的位移考虑：考虑：中面位移（中面位移（x-u、y-v）引起）引起的中面应变和中面力（的中面应变和中面力（薄膜效应薄膜效应）6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论6.86.8
33、薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论6.86.8 薄板的有限挠度理论薄板的有限挠度理论 2.2.力平衡方程力平衡方程 仍仍以以板板中中的的微微元元体体为为基基本本单单元元，当当考考虑虑有有限限变变形形时时，弯弯矩矩、扭矩及剪力的影响均无实质性变化。扭矩及剪力的影响均无实质性变化。中面内力：中面内力：小挠度理论：小挠度理论：板边压力板边压力 pNxNyNxy 大挠度理论：大挠度理论：板边压力板边压力+薄膜效应薄膜效应NxNyNxyNx(x,y)Ny(x,y)Nxy(x,y)因考虑薄膜应变产生的附加应力，因考虑薄膜应变产生的附加应力，中面力沿两侧中面力沿两侧将不再保持常量将不再保持常量。图示单元若
34、忽略高阶微量，图示单元若忽略高阶微量，则其在则其在x方向的平衡条件为：方向的平衡条件为：（1）在在y方向的平衡条件为：方向的平衡条件为：（2）忽略高阶微分后忽略高阶微分后Nx在在z方向方向的分力为：的分力为：Ny在在z方向的分力为：方向的分力为：N Nxyxy、Nyx在在z方向的分力分别为：方向的分力分别为：所有中面力在所有中面力在z方向的分力为以上各式之和，即：方向的分力为以上各式之和，即：同时引入式（同时引入式（1）、（）、（2）加上加上弯矩弯矩与与剪力剪力的影响后，得到与小挠度理论相似的方程：的影响后，得到与小挠度理论相似的方程：（3）公式的主要区别在于中面力公式的主要区别在于中面力Nx
35、、Ny、Nxy 和和Nyx在任意截面在任意截面上不再是常量，因而上式属于上不再是常量，因而上式属于变系数偏微分方程变系数偏微分方程，需要借助于，需要借助于板的变形协调条件求解。板的变形协调条件求解。3.3.变形协调方程变形协调方程 板板弯弯曲曲变变形形后后，微微元元体体上上任任意意点点在在x和和y向向的的应应变变由由薄薄膜膜应应变和挠度变和挠度w产生的轴向应变两部分产生。由图示关系可得：产生的轴向应变两部分产生。由图示关系可得：（4）（5）微元体中面因挠曲而产生的剪应变为：微元体中面因挠曲而产生的剪应变为：（6）以上公式仅与板中面的应变和横向挠度有关，可用中面力以上公式仅与板中面的应变和横向挠
36、度有关，可用中面力表达为：表达为：（7）（8）（9）运用这运用这9个方程个方程可求解板的屈曲临界力，为简化起见，将可求解板的屈曲临界力，为简化起见，将（4）（）（5）（）（6）式合并后消除未知量）式合并后消除未知量u0和和v0，得中面应变与挠得中面应变与挠度的变形协调方程度的变形协调方程：（1010）为减少未知量，引入应力函数为减少未知量，引入应力函数F（x，y），中面力可表示为：，中面力可表示为：用应力函数表示的中面应变：用应力函数表示的中面应变：将各式分别简化并合并后，得到以将各式分别简化并合并后，得到以挠度挠度w和应力函数和应力函数F为变为变量量的力平衡方程和变形协调方程组（大挠度方程）
37、：的力平衡方程和变形协调方程组（大挠度方程）：6.96.9 单向均匀受压简支单向均匀受压简支板的屈曲后强度板的屈曲后强度 当分析板的屈曲后强度时，还需考虑板自身平面内的边界条当分析板的屈曲后强度时，还需考虑板自身平面内的边界条件，其基本假定为：件，其基本假定为：（1）板弯曲后外形不变；）板弯曲后外形不变；（2）板边剪应力）板边剪应力Nxy=0；（3）与荷载作用方向（）与荷载作用方向（Nx）垂直的两条边沿）垂直的两条边沿y向向可自由移可自由移动，与荷载作用方向平行的两条边沿动，与荷载作用方向平行的两条边沿x向的位移为常量。向的位移为常量。以上假定即保证了虽以上假定即保证了虽Ny 0，但，但y方向
38、的合力为零。方向的合力为零。x xy yb bp px x(N Nx x)a ap px x(N Nx x)6.96.9 单向均匀受压简支板的屈曲后强度单向均匀受压简支板的屈曲后强度四边简支薄方板，在自身平面外变形时其边界条件为：四边简支薄方板，在自身平面外变形时其边界条件为：实际上无法求得薄板的大挠度方程组的精确闭合解，实际上无法求得薄板的大挠度方程组的精确闭合解，采用近采用近似法求解似法求解。选取合适的。选取合适的挠曲面函数挠曲面函数（位移函数）：（位移函数）：f 为板中心点挠度为板中心点挠度显然，所取显然，所取w满足全部边界条件。满足全部边界条件。代入变形协调方程得代入变形协调方程得：以
39、上微分方程的解由通解和余解两部分组成，可解得：以上微分方程的解由通解和余解两部分组成，可解得：（1）Galerkin法求板的挠度得法求板的挠度得：（2）小挠度理论屈曲荷载小挠度理论屈曲荷载小挠度理论屈曲荷载小挠度理论屈曲荷载板边作板边作板边作板边作用荷载用荷载用荷载用荷载 （2）式代入（）式代入（1）式并整理后得到中面力：）式并整理后得到中面力：中面力沿板面是变化的中面力沿板面是变化的，当，当y=0和和y=b时得到板边缘纵向最时得到板边缘纵向最大压力：大压力：v以上应力分布图形以上应力分布图形即为即为工字形截面柱工字形截面柱的腹板当不满足高的腹板当不满足高厚比限值时，厚比限值时，规范规范采用的
40、考虑板件屈采用的考虑板件屈曲后强度，用有效曲后强度，用有效截面计算的基础。截面计算的基础。腹板屈曲后的有效截面腹板屈曲后的有效截面小小 结结1.根据板的分类：根据板的分类：厚板：厚板：，需同时考虑弯曲变形与剪切变形需同时考虑弯曲变形与剪切变形；薄板薄板：，忽略剪切变形仅考虑弯曲变形忽略剪切变形仅考虑弯曲变形；薄膜：薄膜：，抗弯刚度近似为零仅靠薄膜张力抵抗外荷抗弯刚度近似为零仅靠薄膜张力抵抗外荷。薄板薄板薄膜薄膜大挠度板大挠度板存在屈曲后强度存在屈曲后强度2.现行现行钢结构设计规范钢结构设计规范以以薄板理论薄板理论为基础为基础3.现行现行冷弯薄壁型钢结构技术规范冷弯薄壁型钢结构技术规范以以大大挠
41、度弹性挠度弹性薄板理论为基础，薄板理论为基础，小小 结结4.板的分析必须综合考虑基本板件在板的分析必须综合考虑基本板件在不同受力不同受力状态、边界条件、初始缺陷、弹塑性、板件之状态、边界条件、初始缺陷、弹塑性、板件之间相互约束以及板件屈曲后间相互约束以及板件屈曲后的受力性能。的受力性能。5.基于能量法的近似求解方法是目前有效的计基于能量法的近似求解方法是目前有效的计算分析方法，算分析方法，有限元分析方法有限元分析方法可以大大提高分可以大大提高分析效率和直观判别。析效率和直观判别。6.基于薄板屈曲后弹塑性性能的分析是采用钢基于薄板屈曲后弹塑性性能的分析是采用钢板（软钢）耗能、隔震装置的重要理论基础。板（软钢）耗能、隔震装置的重要理论基础。基本单元基本单元的选取？的选取？谢谢 谢！谢！欢迎各位同学选修欢迎各位同学选修