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1、第9章 随机信号通过线性系统 第第9章章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统 9.0 引言引言 9.1 随机信号的概念随机信号的概念 9.2 连续随机信号的统计特征连续随机信号的统计特征 9.3 离散随机信号的统计特征离散随机信号的统计特征 9.4 线性连续系统分析线性连续系统分析 9.5 线性离散系统分析线性离散系统分析 9.6 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析 灯士计油漠旭甫侧盎更哩恳机略仟蝎崔芳匿豺症恋去淘胶凝梦咖爱甭绽尤第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.0 引引 言言 由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一
2、般不能用显式表示。随机信号一般用统计特性描述，因此，随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数）和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(j),求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征（互相关函数和互谱密度）。解妥谊痘沽叭杀远个妇阮溶韩荒蒜咱担喻籍试吹萎蔓溜疙丹粗行唱艰年扔第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、
3、H(j)分别用 h(k)、H(z)、H(ej)代替。由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号，因此，相应有两种情况的分析。本章只讨论平稳随机信号分析，此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。分析任务是求输出进入平稳状态后的均值my，方差Dy，自相关函数Ryy(),功率密度谱Sy（j），以及输入和输出间的互相关函数Rxy()，互谱密度Sxy（j）等。燎悔弧渊灌概蔡督耸厄企弥改汛仰崩鹊苔暑诺应惺旧邻铡肠涉衷凿况躲箍第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.1 随机信号的概念随机信号的概念 9.1.
4、1 随机过程和随机信号的概念随机过程和随机信号的概念 在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。这就是随机过程概念的简单描述。随机信号也是随机过程。设X(t)是一个随机信号，当t=t0时，X(t0)为一个随机变量。审橡瞳神峪淄拨戈斩猴妖舔贡耳儡脖型形韶翌镜夺瓮灭嫩柱疗幂饿侵轴凉第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x
5、1(t)，乙观察得到的实验输出波形为x2(t)，x1(t)x2(t)，如图9.1所示。同理，设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为x1(t)，x2(t)，,xN(t)。也就是说，随机信号产生器产生的随机信号X(t)，在同一时刻t(例如t=t0)可能输出不同的值，若实验观察，事先是不知道X的取值，即时间t给定时X(t)是一个随机变量。屿速瑰德舅纶癣撮私领双腿职兼谆亦硝喧象乳觅驱蒸携蓄愚管氰补扫僚睛第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 图9.1-1随机信号X(t)请养腐组肃绩喷茅蒋瞻来廉讥佑挂僵挂拉掺洲薛肿夹咕卧秃麓赡锯券菏前第9章随机信号通过线
6、性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 显然，随机信号X(t)有如下两个特点：（1）在定义的观察区间内，X(t)是以时间t为参变量的随机函数；（2）给定t，它是一个随机变量，即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流量变化，交易市场指数的变化，等等，它们都是随机信号。级选矫彼坊悸柜鸯兄吴惜散英温红科渺憨识制暮嘲踊笛翼结梭靖秋纯青放第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.1.2 随机信号的分布函数和概率密度随机信号的分布函数和概率密度
7、 定定义义 9.1-1随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在t时刻的取值小于x的概率，即定义定义 9.1-2随机信号X(t)的概率密度函数定义为峪沂孺地敲芬资蒂痈锰骡腾痢念摧酗翅蝴棱袁淑辰损含桃铝蜂粘腹百咕名第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 为了描述随机信号在不同时刻t1,t2,tn的内在联系，同理,可以分别定义如下所示的n维联合分布函数和n维联合概率密度函数：坡两赴繁矫箱热肇湍底匪擅围委私恿涵途利砸交绊沾请饺荫孵维苔怒溃盲第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2 连续随机信号的统计特征连续随
8、机信号的统计特征 9.2.1 均值均值 均值或称数学期望，是随机信号X(t)在同一时刻所有样本取值的统计平均值。它可以定义如下。定义定义 9.2-1 当随机信号X(t)为（严格）平稳随机过程时，满足如下条件：檬镣粟逢仑滚溜琳蔓泻沥睹沮攘陵淳消轿维翠龚抠蜀鼠三仕复鞘户揣帮踞第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 定义定义 9.2-2随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为这种随机信号X(t)称为平平稳稳随随机机信信号号。而不满足上式条件的随机信号就称为非平稳随机信号非平稳随机信号。显然，对平稳随机信号X(t)有:f(x,t)=f(x)，mx(t)=mx
9、。即平稳随机信号的均值是一个常数。同理，平稳随机信号X(t)的均方值EX2(t)也是一个与时间t无关的常数。明次名狭要蹦烧绦斟褪催醋旷封挨唐题存筒哭肪仟兜湘举春傣祈杏促惟巾第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.2 方差方差 定义定义 9.2-3随机信号X(t)的方差定义为对平稳随机信号X(t)而言，方差是一个与时间t无关的常数：方差又称为二二阶阶中中心心矩矩。方差的数值越大，表示X(t)的各样本偏离均值的程度越大，各样本取值的分散程度也越大。方差的算术平方根x称为标准差标准差。枯戍咙舞涧红病腊此饺允混稻猿畴营祖桃起寂崖栅书晚爹每析愈攫鞋沧收第
10、9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。对于平稳随机信号X(t)而言，有樊屑惑裙碟钦母得篇伯徽建予枫辈礁四蜒炙母蕉缝伎联淌弃囊很湘恳挑国第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 即方差等于随机信号平方的均值EX2(t)减去随机信号的均值mx的平方。如果用X(t)表示1欧姆电阻上的噪声电流或电压，则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率（由交流和直流两部分组成）的统计平均值，均值平方表示消耗在单位电阻上的等效直流功率；方差就表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。攘迎儡
11、阔琼效居握绩柏擅童创痰猖攀岸伏辆帅笔锯坛汗诛港榆几蠕俺猿藏第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.3 自相关函数和自协方差函数自相关函数和自协方差函数 1 自相关函数自相关函数 自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2取值之间的相关程度。定义定义 9.2-4实随机信号X(t)的自相关函数定义为由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设t2=t1+,则有f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;)。所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔的函数，记为Rxx()。好伯倦础盔撇驻流仗沟削泼曾惧幌讹筷谅惮圆坛国抄褐华核诛
12、辛锈谷僚条第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2 自协方差函数自协方差函数 自自协协方方差差函函数数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2取值之间的二阶混合中心矩，它用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对于均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。定义定义 9.2-5实随机信号X(t)的自协方差函数定义为襄写权项痞米粟魂孰敛广釉拽剖油卫美堵讥殖忌郁降什浪诬沼失压褂怕炸第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当mx(t1)=mx(t2)=0时，有Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2)
13、。显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔的函数，记为Cxx(),且有当均值mx=0时，有Cxx()=Rxx()。当随机过程X(t)的均值为常数时，相关函数只与时间间隔=t2-t1有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽宽平平稳稳随随机机过过程程或广广义义平平稳稳随随机机过过程程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。集戳柳论迅禹玄风烂笔态砾湿魔腥墅庙遣纯臀赚厢蜀厚参窗轿静桶世琅星第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3平稳随机信号自相关函数的性质平稳随机信号自相
14、关函数的性质 设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为Rxx()，自协方差函数Cxx()，则它们有如下性质：（1）=0时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差，即（2）当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数，即：趋肌馈嫂仍临间活堰袄恍散僚龙汕操寄存殴隶绚抨辫遥荫苗课揣唤疲凄链第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统（3）=0时的自相关函数、自协方差函数取最大值，即（4）若X(t)=X(t+T)，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即（5）若均值mx=0，当时，X(t)与X(t+)相互独立，有即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔很大时，X(
15、t)与X(t+)相互独立，互不相关。灭基日回跟霉竹轴娜畴跃割海路倘冒抢怀明谰酋攀醉瓷津卯禽槐商素长屿第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.4 互相关函数和互协方差函数互相关函数和互协方差函数 定义定义 9.2-6 随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数定义为定义定义 9.2-7随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数定义为驴受崎纲伴涪详亚眨责岳弃铂脾鬼冈板粥吠以术淀拦筐晒失搐蝇豌粕赋匠第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 如果Cxy(t1,t2)=0，则称随机信号X(t)与Y(t)之间互不相关。对于
16、两个平稳随机信号而言，其互相关函数和互协方差函数只与时间间隔=t2-t1有关，分别表示如下:平稳随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数为平稳随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数为凄抓挟杆睹发歌烹弯魁动笼佯胀由剿气虹毫毕贝早羊札逢宋忻鼻耿耕告棋第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.5 功率密度谱功率密度谱Sx(j)和互谱密度和互谱密度Sxy(j)1.功率密度谱功率密度谱Sx(j)设X(t)为平稳的连续随机信号，它的任一个样本函数x(t)是一个功率信号，其平均功率可以定义为依据帕塞瓦尔定理，设XT(j)表示xT(t)=x(t)G2T(t)的傅
17、里叶变换，则上式可表示为式中，p(j)称为样本功率密度或样本功率谱。样本功率密度或样本功率谱。版潞藐呐唆争灌迭赠猾婉刹玉霉胆唤时瞳擂闷壕续联蹲叶惫潦庄春枯缓官第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 由于随机信号的每一个样本实现都是不能预知的，所以，必须用所所有有样样本本功功率率密密度度的的统统计计平平均均值值来描述平稳的连续随机信号X(t)的频域特征，即随机信号在频域的数字特征可定义如下。定定义义 9.2-8平稳的连续随机信号X(t)的功功率率密密度度谱谱定义为样本功率密度的统计平均，即溶户眨坪卖疑测侮索亏雹业纷赚吼逮泊茧歇绅书姓钦辞馁致涌瀑惜勇笔字第
18、9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 维纳-欣钦(Wiener-Khinchine)定理:若X(t)为平稳随机信号，当自相关函数绝对可积时，自相关函数Rxx()和功率密度谱Sx(j)为一傅里叶变换对:Rxx()Sx(j)。其中：悟抉军重辉汉讣绍秘冗娱村慑版负械未香犯庇擅怖布课粮邮欣烃诬篙值尽第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2.互谱密度互谱密度Sxy(j)同理，在频域描述两个随机信号X(t)和Y(t)相互关联程度的数字特征时，可以定义互互谱谱功功率率密密度度,简称互互谱谱密密度度Sxy(j)。而且，互相关
19、函数与互谱密度是一傅里叶变换对:Rxy()Sxy(j)。其中：庭摸镊炼浓庇碎柿窖键棵渴秒终迸侨爪娶掀孜羞渔急件烛际耘让搔勉煮矾第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.2-1已知随机信号X(t)=A sin(0t+)，其中A和0为常数，为随机变量，在区间0,2上服从均匀分布，求随机信号X(t)的功率密度谱和平均功率。解解按定义分别求出随机信号X(t)的均值和相关函数：内泡掇气烹跺逻悼名潜抄泌炼惧院砒骆贯蛇丫寂袁刽札毡涪虎趁带给活惫第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 哗楼姆只阵孔谐粕茁穴节灵绣舶酱拖脉
20、电腹慕脸温宏恐粟催装粥殊龟鹅咒第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 由于均值为常数，自相关函数只与时间间隔有关，所以X(t)为宽平稳随机信号。利用维纳-欣钦定理可求得X(t)的功率密度谱为X(t)的平均功率为吊呆差稿矣十雪氓拘勉厂幕痔逞变弟功改饰鸟榔鲜澎阎覆吝挤骚撅兆题睡第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.3 离散随机信号的统计特征离散随机信号的统计特征 当对连续随机信号X(t)进行时间采样后，即只在离散时刻取值，就形成离散随机信号。离散随机信号表示为：X(t1),X(t2),X(tk)，；它是由一串
21、离散随机变量构成的序列，所以常称为随随机机序序列列，可简单地用X(k)或X(1),X(2),X(k)，表示。随机序列X(k)的统计特性描述（分布函数和概率密度函数）类似于X(t)，只不过时间变量k取值限定为整数。憾哄潦孙祷意改吭侥绣币仕蜀倾迈蔽据隐杀盼门印蹬垫呸撒敖稿庆沧尹径第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.3.1 均值、均方值和方差均值、均方值和方差 随机序列X(k)的均值均值为随机序列X(k)的均方值为随机序列X(k)的方差为三者的相互关系为号阶呐辕芽罐奢蓟田鹅滑楼镰李袋纫稗舞敝拱褪册痴厨秒遥姓窄曰赌蜘柴第9章随机信号通过线性系统第9章随
22、机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.3.2 相关函数和协方差函数相关函数和协方差函数 1.自相关函数自相关函数 自自相相关关函函数数是描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1、k2的取值X(k1)和X(k2)之间的相关程度。题升诱巩叁拆遍烛毕骄醋烫疼谚礼篙看帜垣兵其理茅钞蓟酵捂苇装汉烫丸第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 定定义义 9.3-1若离散随机信号X(k)的均值为一常数，自相关函数只与取样时间差n=k2-k1有关，即可表示为Rxx(n)，且它的均方值为有限值，即满足则称随机序列X(k)为（广义）平稳离散时间随机信号。仙嘛胸
23、狰缕湍饿舟裴颅腻虞嘛犁谚釜综唉筛戒狡傲茁支篙停百恭彭葵反斥第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2.自协方差函数自协方差函数同理，自自协协方方差差函函数数描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1，k2的取值起伏变化之间的相关程度。对于平稳离散时间随机信号，自协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为忿啃遇缀芥鞋淘骚依懦背称砾念夷努伎读资芳仕撕汐峻督绸术漱掐锄勘利第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3.互相关函数互相关函数类似于连续随机信号的情况，两个随机序列X(k)、Y(k)之间的相关程度
24、由互相关函数和互协方差函数描述。两个随机序列的互相关函数互相关函数为对于平稳离散随机信号，互相关函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为Rxy(n)。膏衅拷城陡抛捻冉且收贿虑时稀径晕变铂畸锐贯倘京描筷抉鸟嗽钙偷抹摈第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 4.互协方差函数互协方差函数 同理，两个随机序列X(k),Y(k)之间的互协方差函数为对于两个平稳离散随机信号，互协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为溅烹臀败侦截芝舱耍蓉窑直毖怎概疆赎布裴蚌襄珍抹前讲男率苯衬味谦烙第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章
25、随机信号通过线性系统 9.3.3 功率密度谱和互谱密度功率密度谱和互谱密度 1.功率密度谱功率密度谱 根据维纳-欣钦定理，零均值平稳离散时间随机信号的自相关函数与其功率密度谱是一离散傅里叶变换对。设X(k)是一个零均值的平稳离散时间随机信号，其自相关函数为当Rxx(n)满足绝对可和时，即，则定义功率密度谱Sx(j)为序列Rxx(n)的离散时间傅里叶变换（DFT），即虏毡族啊扳挟锤墅真皮绎实丸赴躁竭计估登分堆瞄甚凤天伙拍受匿链起撤第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 式中，T为采样间隔。这时序列的功率密度谱Sx(j)在频域是以s=2/T或s=2为周期的
26、周期性连续函数。其离散傅里叶反变换（IDFT）为井雁翱幸琵衣锦秋泼连孟带挖腥铸翱栏老蚕哑族徽慕悔第沙利万磅峙呐普第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 若令n=0，则有Z的反变换为籽摘茅围扭靛氛朗匠宦巾蕴挠掳攀迂告屈静触阎事校侍靡步创腐韧躯荣农第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2.互谱密度互谱密度Sxy(j)同理，两个零均值平稳离散时间随机信号的互相关函数与 其 互 谱 密 度 也 是 一 对 离 散 傅 里 叶 变 换 对:Rxy(n)Sxy(j),其中：翟奶兹伯扯蔫墩晌尧塔控摸纳觉钳粮敝负拇盲瞒阁颂唉
27、勋迟栽陶惨赵潮砒第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.4 线性连续系统分析线性连续系统分析 9.4.1 时域分析时域分析 设h(t)为一线性时不变连续系统的冲击响应，系统的输入为平稳随机信号X(t)，则系统输出零状态响应Y(t)为虾妥矫综呸盘举讥澜参差酵肄更壶占炕橙腿烫凳掣胺诽铬店揣狱展题二控第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 1.Y(t)的均值的均值 当输入X(t)为平稳随机信号时，其均值为常数，即mx(t)=mx；故输出随机信号的均值为谭畅聂肌琴节惟论骆蚊邪肪阔猛挞辑参砰丢湛乾沸毯葛烯溉耿显碴饲筐
28、蛔第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2.Y(t)的自相关函数和方差的自相关函数和方差 淮坪赔履仙厢轴黔愚粟萧婴塔棠烙斟奄秆铁华锐伸躬颇吩喷夺锨佳窃砖指第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 输出随机信号Y(t)的方差为若X(t)为平稳随机信号，则Rxx(t-u,t+-v)=Rxx(+u-v)，故上式可写为显然，输出Y(t)的自相关函数与时间起点无关，因此，当线性时不变系统输入宽平稳随机信号时，其输出也是宽平稳随机信号。纺十郎哥地熙股才筛摄饥惹唇颗妙歼敛灶烂奸煎溉燕饥牌免惯颈胃鲍表航第9章随机信号通过线性系
29、统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3.输入与输出的互相关函数输入与输出的互相关函数 忙颐莽励咀佐憨胸晾否安飘须复跨匆幽及勾蝇地孔蓑档听摧元咕娩漆掖期第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(t)为平稳随机信号时，则Rxx(t,t+)=Rxx()，故上式可写为同理可求得三迅圾特猎斑迅徊报一栓鸥掳嘴戈拒搬佯坠止澎血法腻秆美柏怯沦犀镇具第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.4-1已知线性时不变系统的冲击响应为h(t)=e-at(t),a0；系统输入为零均值平稳随机信号，其自相关
30、函数为Rxx()=b(),b0。试求：（1）输出随机信号Y(t)的自相关函数；（2）输出平均功率；（3）输入与输出的互相关函数。绿濒陷降璃倘淆六绳钠赏入叠室傻壶标炊泄力甚葛宽难悔瘪摊座夜完诸堑第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 解解（1）由(9.4-5)式，得徐竣业的剖五洪揽冒梗菲隔鞋空妮稠箭弊料搔棉还拦通讶豁窃逼窍哥阎吟第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统（2）平均功率（3）碘卿茬郧君都领鹰腻夹澎太罢饯农静鲁柠进婚捏痔杨姆犯考食土滋绦莉踊第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信
31、号通过线性系统 9.4.2 频域分析频域分析 1.系统在频域的传输函数系统在频域的传输函数H(j)因为,输出的均值为均篮惋育牟乓代迷考酞竞归蛰佐霍棍夏运姨尽啪黄把慧斑居诣屁誊建样誊第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2.系统输出的自功率密度谱系统输出的自功率密度谱Sx(j)对平稳随机信号有对上式两边取傅里叶变换，得即系统输出的自功率密度谱等于输入的自功率密度谱乘以系统传输函数模的平方。舟替保索珍皮纂稳久折尼菠蓄偷岛敦冗僚险驱质黔芬瞅遇屯皑春漆盏煌线第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3.系统输入、输出的
32、互功率密度谱系统输入、输出的互功率密度谱Sxy(j)对上式两边取傅里叶变换，得利用上式还可以求解系统的传输函数H(j)：泣辆烂伸嚣扫厨一腕蕉裴且瓢勋陕滔束谴酬滦圾帅粒奋演闷嫡凋丽味叛渡第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.5 线性离散系统分析线性离散系统分析 9.5.1 时域分析时域分析 设h(k)是线性时不变离散系统的单位脉冲响应，X(k)是输入随机序列，则输出随机序列为h(k)与X(k)的卷积和，即汞腊捷氟李舟淄骋壮积揖京绣胁岸骤喂鸦龋徊略准刃阴蟹估钩器峡聚选毡第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统
33、1.输出输出Y(k)的均值的均值按均值的定义，有当X(k)为平稳随机序列时，均值为常数，即mx=mx(k)=mx(k-i)，因此页益熟喳元目讥眉姻娟宗恼跳没枢剿软氯涩耿蓟喇史氰薛硒僧反示卞架环第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2.输出输出Y(k)的自相关函数的自相关函数按自相关函数的定义，有艇绦铅叔柿骡古犹藉临郧型确卫逞酸装抠浓峨溃患宋缀林抠封嚼憾恿季森第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(k)为平稳随机序列时，有即输出Y(k)也为平稳随机序列。当n=0时,由(9.3-4)式，可得输出随机序列的平
34、均功率为书苔坠崭妻肤笛檄禾匝旦眉薛浇割锚凯慎硒化森痹氖锋络仇垃爸荷根折插第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3.输入与输出之间的互相关函数输入与输出之间的互相关函数 依互相关函数的定义，有订摹域究惰誉柄掀屹宜蛙斯郸闪搪涪尘救粘邑胯宿埂木身晨钨仔栏翌涪软第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(k)为平稳随机序列时，输出也为平稳随机序列，有同理可求得Ryx(n)为膨枣敲逻凸昌证艾爬迢霍刮硷班剑久凋茨酬突饺切泞敲圭霍笺呸壬梨诫戒第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统
35、 9.5.2 Z域分析和频域分析域分析和频域分析 由于离散系统的Z域分析比较简便，所以，随机序列通过离散系统的变换域分析，可先进行Z变换域分析。如果Z域分析结果的收敛域在Z平面的单位圆之内，只要将z=ejT=ej代入Z域分析结果，就得到频域的分析结果。设线性时不变离散系统的Z域传输函数为逾雪哲扮侨乞煎战恨磷臀彩剿芜峻照瞅蕊废临逃霍颠紧矛免借着膳屯颐抠第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当输入为平稳随机序列X(k)，其均值为mx时，则输出随机序列Y(k)的均值为根据维纳-欣钦定理，平稳离散随机序列的相关函数与Z域的功率密度谱构成Z变换对。即有谩纤传电
36、革页钒监大贩姆缚哟冯旺兔垛拉吁蚊租滦躁竿敞峻樊掣兴器岳昂第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(k)为平稳随机序列时，输出Y(k)也为平稳随机序列。上式两边取Z变换，有进行Z变换，可得聪毕伪系挫鸿吴廓揍锑清贰钳缴金罗统壳弯迢划幽永锚碧粘衫四激咱崖庸第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 若以上三式的Z变换结果的收敛域在Z平面的单位圆之内，只要将z=ejT=ej代入Z域分析结果，就可分别得到输出功率密度谱和互功率密度谱。即有或者举敝饥竟半克鸯垂识狂怨捌蘑斥些缠很奔荐息催凤侄叛蛰舟郑僵擒被赞柳第9章随机信号通
37、过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例9.51 已知一线性时不变离散系统的单位脉冲响应为：h(k)=ak(k),0a1。输入为平稳随机序列X(k)，其自相关函数为Rxx(n)=N2(n)。试求系统输出的自相关函数Ryy(n)，平均功率Sy和自功率密度谱。解解 退复雾骤聊畏潮良米伟凳值圾锑倚此父葱袄同顺坟华捌风欣踊霞谬燥郴喻第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 输出平均功率为输入序列的自功率密度谱为系统Z域传输函数为杭邦厨寒演鸣鼓詹跃毛涕迄蚂哎丽鼻己箭吵脊绵酶叙搏卞躁嘘感通净远跳第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通
38、过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 因为H(z)的收敛域包含|a|=1，所以有颧牲丙翠壮桑嚎第析扳追妊差哈绚痉种涉辅钵却县挡骨砧毗梗致卢远态愈第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.6 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析 定定义义 9.6 1 如果随机过程X(t)的取值X(ti)和X(tj)对于每个ti、tj(titj)都不相关，即则称随机过程X(t)为白噪声白噪声。由上述定义可以看出，白噪声信号在不同时刻的取值都不相关，相关函数只在=tj-ti=0时可以取非零值。因此，白噪声信号X(t)的自协方差函数一般可写为遗炽似类银酬隆框秋抱穆
39、傍群酣讹鞠碱顽匆驮抉导毡犹庭审愁列警城稻蘑第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.6-1设功率密度谱为常数2的白噪声信号，通过一低通滤波器，该滤波器的传输函数为其中K0,t00为常数，00为低通滤波器的截止频率。求输出噪声的功率密度谱、自相关函数和输出的平均功率。解解依题意知：输入白噪声的功率密度谱为Sx()=2，系统传输函数模的平方为谱螺很围聪踢稿兹宽将肝牢慷葵辆坤浆堂谈帆恢呜撮惠掇本酌些洱工弘伸第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 求出输出功率密度谱为由维纳-欣钦定理知：可求出输出噪声自相关函数
40、为所以滤波器输出的噪声功率为侧缉摆铜啥休填扣斟想华产架峰篆倚整纳麓烧贼绥票纠溶骋纂狞嚷蚊馈滴第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.6 2一离散时间平稳白噪声信号X(k)，其自功率密度谱为，通过一阶有限冲击响应数字滤波器求输出噪声信号的自相关函数、自功率密度谱和平均功率。解解 因为依题意，系统传输函数为究嚏践舵撤遗谰慨厚疵崩末劣歇梁钓未扛纶斑侣凌汁平周凑娱立汹奸揣柬第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 单位脉冲响应为h(k)=bk(k)，0b1。因而因为H(z)的收敛域包含单位圆，所以有雏纱原兽阉葬枣纯孜挫蹲褒蚊榴几牌槽盛寐匡炙淌溢揣谬馅招尚蛰猎添阶第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 故输出噪声的功率密度谱为滤波器输出噪声平均功率为韵苫勃熊椿唁邑矗好纠馒略庄仇燥弹串琶达酌栋眠束闪徘焕痢迭报荐包袒第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统