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1、5.5 有限冲激响应滤波器的设计有限冲激响应滤波器的设计 1.线性相位线性相位FIR滤波器特性滤波器特性 1)对h(n)的约束：2)对零点分布的限制：对单位圆呈现共轭反演对称分布；3)对频率特性的限制：由h(n)的奇偶二种对称性以及N等于奇偶不同情况可以有四种频率特性与之对应。偶对称情况：奇对称情况：情况情况1：经推导化简得频率特性：特 点：对 0，2 呈 偶 对 称。情况情况2：经推导化简得频率特性：特 点：当=时，H()=0，即在 z-1 处 有一个零点，对=是奇对称，因而不能用这种滤波器实现高通滤波特性；当=0，2 时，是偶 对 称，可以实现低通滤波特性；是以4为周期的周期性函数。情况情
2、况3：经推导化简得频率特性：特 点：1 在 0，2处为零，也就是 H(z)在 处为零；2 对 0，2 成 奇 对 称，因而无法实现 低通和高通；3 是以4为周期的周期性函数；4 有固定的 相移，适宜做微分器、希尔伯特变换器；情况情况4：经推导化简得频率特性：特 点：1 在0，2处为 零，即H(z)在 z=1处为零点；2 对 0，2 呈 奇 对 称，对 呈 偶 对 称；3 有固定的 相移，适宜做宽带微分器和正交变换器；线性相位FIR滤波器频率特性：为的实偶函数h(n)=h(N-1-n)偶对称条件 N=odd，=0，不为0；N=even，=0 不为0,=为0,为的虚奇函数h(n)=h(N-1-n)
3、奇对称条件 N=odd，=0，都为0；N=even，=0 为0,=不为0,(有 相移)4)FIR滤波器设计方法 窗函数法设计频域方均误差最小；频率采样法设计函数插值法逼近；等波纹法设计Chebyshev最佳一致逼近；2.窗函数法设计窗函数法设计 1)窗函数法设计准则频域方均误差最小推导得到：h(n)=hd(n)RN(n)矩形窗函数 2)理想低通加矩形窗后频率特性的变化 理想低通：矩形窗：加矩形窗后理想低通频率特性：几个特殊点的观察 加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：（1）使理想频率特性不连续点处形成一个过渡带，其宽度正 比于窗的频率响应的主 瓣宽度；8.95%21dB （2）在
4、截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最 大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决 于旁瓣的相对电平，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。(即Gibbs现象)。（3）改 变N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变的 坐标比例以及改变WR()的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣 的相对比例（此比例由窗函数的形状决定）。结论：在窗函数设计中 与N成反比；与窗函数主瓣宽度成正比；与N无关；与窗函数旁瓣电平(面积)成正比；过渡带宽度阻带衰减3)窗函数的主要指标及类型 (1)窗函数的主要指标 主瓣宽度：3 dB 带宽：主瓣归一化幅度降到 3 dB 时的带宽；或直接用主瓣零点间的宽度；旁瓣最大峰值电平 A
5、(dB）；旁瓣谱峰衰减速度 D(dB/oct）(2)窗函数的主要类型 结构型窗：由简单窗函数的相加、相乘、卷积等组合成性能较好的窗函数；例：汉宁(Hanning)窗 Kaiser窗：定义：令：可确定：按优化准则构造的窗函数：DolphChebyshev Window 给定时宽T和旁瓣电平，让主瓣宽度最窄；DolphChebyshev Window (N=31,10360dB)dB4)不同窗函数和不同N对滤波器频率特性的影响：5)窗函数法设计举例：参考教材6)窗函数法设计优缺点：优点：1.无稳定性问题；2.容易做到线性相位；3.可以设计各种特殊类型的滤波器(例如微分器)；4.方法特别简单。缺点：
6、1.不易控制边缘频率；2.幅频性能不理想；3.h(n)较长；3.频率取样法设计频率取样法设计频率抽样法是指定离散的理想频率响应Hd(k)抽样值，通过内插求得H(z)，因而是插值法逼近。1)频率取样法设计原理 由Hd(k)求Hd(z)的插值公式：S(,k)若 具有线性相位特性，则：因而频域内插公式：设计结果的评价：取样点与要求的特性完全吻合，其 他点由内插决定；在截止频率附近形成平滑的过渡带；阻带衰减小于20dB；2)阻带频率特性的改善 措施：在通带和阻带之间设置“非约束非约束”频率取样点，改变其点数和幅度，使阻带衰减达到最大；原理：H1=0.5H1=0.3904H1=0.5886H2=0.10
7、65 一个：4454dB 二个：6575dB 三个：8595dB 过渡带的样本点数与阻带衰减的估算 3)设计原则：选择非约束频率点的个数和幅度，使阻带衰减达到最大；与N成反比；与非约束频率点的个数成正比；与N无关；与非约束频率点的个数和幅度有关；过渡带宽度阻带衰减4.等波纹逼近等波纹逼近 1)函数逼近法简介：用PN(x)N阶多项式来逼近函数f(x)最小均方逼近：插值法逼近：多项式PN(x)，在x=xk点有 PN(xk)=f(xk),k=1，2，3，N 最佳一致逼近：着眼于在a,b区间内使误差函数 E(x)=均匀一致 且使axbChebyshev最佳一致逼近理论解决了 PN(x)的存在性、唯一性
8、及构造方法等问题。Chebyshev交错定理交错定理：设f(x)是定义在a,b上的连续函数，PN(x)是N次多项式集中的一个阶次不超过N的多项式，令 PN(x)是 f(x)最佳一致逼近的充要条件是，在a,b上PN(x)至少存在(N+2)个交错点：ax1x2 xN+2b 使：i=1,2,3,N+2+EN-ENabx1x2x3xE(x)=PN(x)f(x)02）等波纹设计要求及参数过渡带过渡带通带内以最大误差1逼近1阻带内以最大误差2逼近0用统一的加权误差函数表示：其中：Chebyshev逼近问题是寻求H(ej),使加权误差函数E(ej)在区间0，具有等波动性 且：对于如图所示的低通滤波器频域容差
9、图共有5个参数：M(极值点的个数)，1，2，p,s 设计时不可能独立地规定全部5个参数，而是根据不同的 算法，规定某几个参数，然后用叠代法得到其余参数的 最佳值。Parks-McClellan算法。5.数字滤波器设计中常用的Matlab函数6.1)与结构有关的m函数7.直接型：tf2zp、zp2tf由H(z)求零、极点或反之；1.zplane画零、极点分布；2.filter系统对输入信号的响应；3.freqz求系统的频率特性；4.级联型(sos)：zp2sos由零、极点求级联型结构；5.并联型：residuez由直接型求并联型结构(部分分式6.展开)；7.格型结构：poly2rc、rc2pol
10、y由多项式求K或反之；8.tf2latc、latc2tf由H(z)求格型结构或反之；9.latcfilt格型结构对x(n)的响应；2）与IIR滤波器设计有关的m函数：间接法设计：impinvar冲激响应不变法；bilinear双线性变换；IIR滤波器的阶数估计：buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord IIR滤波器的设计：butter、cheby1、cheby2、ellip、maxflat、yulewalk 规一化模拟低通原型设计：buttap、cheb1ap、cheb2、ellipap 模拟域频率变换：lp2bp、lp2bs、lp2hp、lp2lp3)与FIR滤波
11、器设计有关的m函数：产生窗函数的文件有八个：1.bartlett（三角窗）;2.blackman（布莱克曼窗）;3.boxcar（矩形窗）;4.hamming（哈明窗）;5.hanning（汉宁窗）;6.triang（三角窗）;7.chebwin（切比雪夫窗）;8.kaiser（凯赛窗）;9.kaiserord(凯赛窗阶数)窗函数设计：1.fir1.m 用“窗函数法”设计FIR；2.fir2.m 本文件采用“窗函数法”设计具有任意幅 频相应的FIR 数字滤波器；升余弦型FIR滤波器设计：firrcos 最小平方FIR线性相位滤波器设计 firls、fircls、fircls1 内插FIR滤波器设计：intfilt Parks-McClellan算法的优化FIR滤波器设计 remezord、remez、cremez