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1、1/20数值分析典型例题典型例题 I一、二章内容提要一、二章内容提要典型例题分析典型例题分析例题与练习题例题与练习题实验题介绍实验题介绍2/20具有具有n 位有效数字位有效数字,则绝对误差满足则绝对误差满足相对误差满足相对误差满足如果一个浮点数如果一个浮点数3/201.设设x*是是 f(x)=0在在a,b内的唯一根内的唯一根,且且f(a)f(b)0,r0使得使得则称数列则称数列xn r 阶收敛阶收敛.定理定理2.6设设x*是是的不动点的不动点,且且而而则则p阶收敛阶收敛5/20例例1.1.设设x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有都具有三位有效位数效位数,试估计数据试估计数
2、据：x1(x2+x3)的误差限的误差限。解解：由由|e(x1)|0.510-2，|e(x2)|0.510-2，|e(x3)|0.510-2所以所以,|e(x2+x3)|10-2|e(x1(x2+x3)|(1.21+0.513.46)10-2=7.9410-26/20例例2.2.设设计计算算球球体体V允允许许其其相相对对误误差差限限为为 1%,问问测测量量球半径球半径R 的相对误差限最大为多少的相对误差限最大为多少?解解：由球体计算公式分析误差传播规律由球体计算公式分析误差传播规律故当球体故当球体V 的的相对误差限为相对误差限为 1%时时，测量球半径测量球半径R R的相对误差限最大为的相对误差限
3、最大为0.33%。相对误差传播规律相对误差传播规律Ex1.对球冠体积若允许其相对误差为对球冠体积若允许其相对误差为1%,问应问应该对该对R,h 如何限制如何限制?7/20例例3*.采用迭代法计算采用迭代法计算，取，取x0=7(k=0，1，2，)若若xk具有具有n位有效数字位有效数字，求证求证xk+1具有具有2n位有效数字位有效数字。Ex2：对对是否都有这是否都有这一性质一性质?8/201-8序列序列yn 满足递推关系满足递推关系yn=10yn-11(n=1,2,)若若取取y0=21.41(三三位位有有效效数数字字).递递推推计计算算y10时误差有多大时误差有多大？思考思考:由递推导出符号表达式
4、可否用于计算？由递推导出符号表达式可否用于计算？Ex3.用递推公式用递推公式:In=1nIn-1 (I0=1-e-1)推导推导 In的符号表达式的符号表达式9/201-12利用级数利用级数可可计计算算出出无无理理数数 的的近近似似值值。由由于于交交错错级级数数的的部部分分和和数数列列Sn在在其其极极限限值值上上下下摆摆动动，试试分分析析，为为了了得得到到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。解解:由部分和由部分和只需只需n 1000时时,Sn有三位有效数有三位有效数Ex4.推导部分和数列加速的计算表达式推导部分和数列加速的计算表达式10/202-6
5、应用牛顿迭代法于方程应用牛顿迭代法于方程 x3a=0,导出求立方根的迭代公式导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶并讨论其收敛阶。解解：令令f(x)=x3a，则牛顿迭代公式则牛顿迭代公式故立方根迭代算法二阶收敛故立方根迭代算法二阶收敛11/20例例4.设设a为正实数，试建立求为正实数，试建立求1/a的牛顿迭代公的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。虑迭代公式的收敛。xn+1=xn(2a xn)，(n=0，1，2)所以所以,当当|1a x0|1时，迭代公式收敛时，迭代公式收敛。解解:建立方程建立方程利用牛顿迭代法，得利用牛顿
6、迭代法，得1a xn+1=(1a xn)2整理，得整理，得12/20例例2.10 用牛顿迭代法求解非线性方程组用牛顿迭代法求解非线性方程组 13/20分别取初值分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下牛顿迭代法计算数据如下 nxn yn xn yn0102211.06250.12501.64581.583321.06730.13911.55701.416331.06730.13921.54651.391741.06730.13921.54631.391214/20Ex6.若若x*是是f(x)=0的的m重根重根,试分析牛顿迭代法试分析牛顿迭代法的收敛阶的收敛阶Ex7.若若x*是是
7、f(x)=0的的m重根重根,试证明修正的牛顿试证明修正的牛顿迭代法迭代法至少为二阶收敛至少为二阶收敛15/20Ex9隐函数定理条件满足时隐函数定理条件满足时,利用利用G(x,y)=0可以计算隐函数的值可以计算隐函数的值,设有设有G(x0,y0)=0,则在则在x0附近有附近有y=y(x).试分别构造牛顿迭代法和试分别构造牛顿迭代法和割线法计算函数值的迭代格式割线法计算函数值的迭代格式Ex8证明割线法可改写如下迭代公式证明割线法可改写如下迭代公式16/20Ex11确定下列方程的全部隔根区间确定下列方程的全部隔根区间(1)x sin x=1；(2)sinx e-x=0；(3)x=tan x；(4)x
8、2e-x=0Ex10在计算机上对调和级数逐项求和计算在计算机上对调和级数逐项求和计算当当n 很大时很大时，Sn将不随将不随n的增加而增加。试的增加而增加。试分析原因分析原因。17/20Ex12对于复变量对于复变量z=x+i y的复值函数的复值函数 f(z)应用牛顿迭代公式应用牛顿迭代公式时为避开复数运算时为避开复数运算,令令 zn=xn+i yn f(zn)=An+i Bn，f(zn)=Cn+i Dn证明证明18/20牛顿迭代法的收敛域问题牛顿迭代法的收敛域问题:用用牛牛顿顿迭迭代代法法求求解解复复数数方方程程z31=0，该该方方程程在在复平面上三个根分别是复平面上三个根分别是z1=1选择中心
9、位于坐标原点，边长选择中心位于坐标原点，边长为为2 2的正方形内的任意点作初始的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图敛域彩色图。19/20收敛到收敛到 z1的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合收敛到收敛到 z2的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合收敛到收敛到 z3的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合20/20在复平面内在复平面内,有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初值点值点.这些例外点构成了茹利亚集这些例外点构成了茹利亚集(为纪念法国女为纪念法国女数学家数学家Julia).