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1、数值分析典型例题典型例题 I一、二章内容提要一、二章内容提要典型例题分析典型例题分析例题与练习题例题与练习题实验题介绍实验题介绍化大为小化大为小 化繁为简化繁为简 化难为易化难为易 核心的概念核心的概念 误差误差算法的构造与分析算法的构造与分析收敛性收敛性 稳定性稳定性 复杂度复杂度(时间与空间时间与空间)等等有效数字概念有效数字概念若近似值若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个的绝对误差限是某一位上的半个单位单位,该位到该位到 x 的第一位非零数字一共有的第一位非零数字一共有 n 位位,则称近似值则称近似值 x 有有 n 位有效数字位有效数字。从左向右看第从左向右看第一个非零数一个非零数
2、误差限不超过该误差限不超过该位的半个单位位的半个单位n位有效数字位有效数字如果如果x具有具有n位有效数字位有效数字,则相对误差满足则相对误差满足:其绝对误差满足其绝对误差满足:如果一个规格化浮点数如果一个规格化浮点数则称近似数则称近似数x具有具有n位有效数字。位有效数字。迭代法思想迭代法思想:收敛性收敛性收敛速度收敛速度Iterate:Tosayordoagainoragainandagain例例1.经过四舍五入得出经过四舍五入得出x1 1=6.1025=6.1025和和x2 2=80.100,=80.100,试问它们分别具有几位有效数字试问它们分别具有几位有效数字?解解：例例2.已知近似数已
3、知近似数x有两位有效数字有两位有效数字,试求其相对试求其相对误差限。误差限。解解：|er(x)|1000时时,Sn有三位有效数。有三位有效数。例例10.在计算机上对调和级数逐项求和计算在计算机上对调和级数逐项求和计算当当n很大时很大时，Sn将不随将不随n的增加而增加。试的增加而增加。试分析原因分析原因。例例11.证证明明方方程程1-x-sinx=0在在区区间间0,1上上有有一一根根,使使用用二二分分法法求求误误差差不不大大于于0.5*10-4的的根需要二分多少次？根需要二分多少次？提示提示:f(0)=1,f(1)=-sin10。且。且f(x)=-1-cosx在区间在区间(0,1严格单调递减。严
4、格单调递减。例例12.构造求构造求ex+10 x-2=0根的迭代法。根的迭代法。提示提示:故迭代法算法一阶收敛。故迭代法算法一阶收敛。例例13.应用牛顿迭代法于方程应用牛顿迭代法于方程x3a=0,导出求立方根的迭代公式导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶并讨论其收敛阶。解解：令令f(x)=x3a，则牛顿迭代公式则牛顿迭代公式故立方根迭代算法二阶收敛故立方根迭代算法二阶收敛例例14.设设a为正实数为正实数,试建立求试建立求1/a的牛顿迭代公的牛顿迭代公式式,要求在迭代公式中不含有除法运算要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑并考虑迭代公式的收敛。迭代公式的收敛。xn+1=xn(2axn)，(n
5、=0，1，2)所以所以,当当|1ax0|0,迭代格式迭代格式例例16.解解:Ex2.若若x*是是f(x)=0的的m重根重根,试证明修正的牛顿试证明修正的牛顿迭代法迭代法至少为二阶收敛至少为二阶收敛。f(x)1/m或或f(x)/f(x)单根单根Ex3对于复变量对于复变量z=x+iy的复值函数的复值函数f(z)应用牛顿迭代公式应用牛顿迭代公式时为避开复数运算时为避开复数运算,令令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f(zn)=Cn+iDn证明证明例例17.提示提示:取初值取初值x1=21/2,考虑序列单调有界考虑序列单调有界,则该序列必有极限。则该序列必有极限。例例18.例例19.已知方程
6、已知方程x3-x2-1=0在在x0=1.5附近有根附近有根,试判试判断下列迭代格式的收敛性。断下列迭代格式的收敛性。例例20.证明由迭代格式证明由迭代格式xn+1=xn/2+1/xn产生的迭代产生的迭代序列序列xn,对任意的对任意的x00,均收敛于均收敛于21/2。牛顿迭代法的收敛域问题牛顿迭代法的收敛域问题:用用牛牛顿顿迭迭代代法法求求解解方方程程zd1=0的的复复根根。例例如如d=3时时,方程在复平面上三个根分别是方程在复平面上三个根分别是z1=1选择中心位于坐标原点，边长选择中心位于坐标原点，边长为为2 2的正方形内的任意点作初始的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个值，进行
7、迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标根的初值分为三类，并分别标上不同颜色上不同颜色(例如红、绿和蓝例如红、绿和蓝)。对充分多的初始点进行实验，对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图敛域彩色图。%PerformNewtoniterationsfork=1:maxIter;Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d);endfunctiony=f(x,d);y=(x.d)-1;endfunctiony=fprime(x,d);y=d*(x.(d-1);end代码片段1:%Finddrootsofunity,andthemaskforj=
8、1:droot=exp(2*pi*i/d)j;%thejthrootMj=abs(Z-root);%distance%Eachrootgetsauniquenumberin1,dmask=(Mj=tol)*j;renderMat=renderMat+mask;endcolormap(hsv);%Setthecolormapimagesc(renderMat)%Renderthefractal代码片段2:作业作业题目题目1:您研究领域中的数值分析问题？您研究领域中的数值分析问题？题目题目2:用用Newton迭代法法画出最美的图形迭代法法画出最美的图形标准标准:1.图形美图形美 2.代码美代码美要求要求:1.m文件文件 2.说明文档说明文档(word或或pdf)