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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析【精品文档】第 13 页第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1误差的基本概念和有效数字1）绝对误差和相对误差的基本概念设实数为某个精确值，为它的一个近似值，则称为近似值的绝对误差，简称为误差 当时，称为的相对误差在实际运算中，精确值往往是未知的，所以常把作为的相对误差2）绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数为某个精确值，为它的一个近似值，如果
2、有常数，使得称为的绝对误差界，或简称为误差界称是的相对误差界此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明近似的程度越好，即的精度越好3）有效数字设实数为某个精确值，为它的一个近似值，写成它可以是有限或无限小数的形式，其中是中的一个数字，为整数如果则称为的具有位有效数字的近似值如果有位有效数字，则的相对误差界满足：。4）函数计算的误差估计如果为元函数，自变量的近似值分别为，则其中，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有如果令，设的近似值分别为，其误差界为和，取为之间的四则运算，则它们的误差估计为，数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高对于两个数
3、作相减运算时，由于其相对误差界：。如果和是两个十分接近的数，即和两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值的有效数字的位数将会很少。对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：。从关系式中可以看出，如果很小，即很小，计算值的误差可能很大。5）数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数
4、相加。2向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1）向量范数定义 存在（维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量和以及任意常数（实数域） （1）非负性 ，并且的充分必要条件为; （2）齐次性； （3）三角不等式 则称函数为上的一个向量范数常用三种的向量范数设任意维向量，（为向量的转置）， 向量的1-范数 ， 向
5、量的2-范数 ， 向量的-范数 一般情况下，对给定的任意一种向量范数，其加权的范数可以表为其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理 上的任何向量范数均为的连续函数。向量范数的等价性定理 设和为上的任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立 ，其中. 2). 矩阵范数定义 存在（维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为，对任意的均满足以下条件： （1）非负性：对任意矩阵均有，并且的充分必要条件为;（2）齐次性：，；（3）三角不等式：, ；（4）相容性：, ，则称为上的矩阵范数。我们可定义如下的矩阵范数：，矩阵的-范数，矩阵的-
6、范数（Frobenius）范数。（矩阵范数与向量范数相容性定义） 对于一种矩阵范数和一种向量范数，如果对任意nn矩阵和任意n维向量x, 满足则称矩阵范数与向量范数是相容的。3）矩阵的算子范数定理 已知上的向量范数，为nn矩阵，定义则是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。三种常用的矩阵的算子范数； (列范数) (行范数) （谱范数）其中表示矩阵的最大特征值。对任何算子范数，单位矩阵的范数为1，即。 可以证明： 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如从属范数） 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如矩阵范数与向量-范数
7、相容）；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如矩阵范数和矩阵范数与向量范数相容）。 从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。（如，与向量、与向量相容，但无从属关系）。 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。4）矩阵范数的性质 设为矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵均有 其中为方阵的谱半径。注意：当时，。 对于任给的0, 则存在上的一种算子范数（依赖矩阵和常数），使得 对于上的一种算子矩阵范数，如果且1, 则可逆且二、典型例题分析例11：下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？解： 现将近似值写成标准形式：在直接根据有效数字
8、定义得出， ，即有5位有效数字； ，即有1位有效数字； ，即无有效数字。例12：已知的相对误差为，求的相对误差。解：此题要利用函数计算的误差估计，即取，则由，可推出 ，故的相对误差为例13：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用3位算术运算求在处的值。表中给出了传统的方法的计算的中间结果。在这里我们使用了两种取值法：截断法和舍入法。精确值4.7122.1841104.487 111135.323 0115.0723位数值（截断法）4.7122.110413515.03位数值（舍入法）4.7122.110413515.1精确值：3位数值（截断法）：3位数值（舍入法）：上述3位数值方法的相对误
9、差分别是，截断法 ，舍入法作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将写为那么，3位数值（截断法）：3位数值（舍入法）：则相对误差分别是，（截断法） ，（舍入法）可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的之内。对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少以上。多项式在求值之前总应以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是这种形式使得算术运算次数最小化。本例中误差的减小是由于算术运算次数从4次乘法和3次加法减少到2次乘法和3次加法。减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。例14：已知近似值，均为有效数字，试估计如下算术运算的相对误差。解：由已知，令由函数运算
10、的误差估计式从而，相对误差可写成若，则绝对误差，相对误差为：若，则绝对误差，相对误差为：；若，则绝对误差，相对误差为：；这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。作为精确性的度量，绝对误差可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。例15：在中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。解：这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。例16：其中表示的模此范数称p-范数，而且，2范数为当，2时的范数。而当时，有。 证明：事实上，两边开次方得，由于，故。例17：证明为空间上向量范数。证明：（1）对任给维向量，若，则不全为零，故 （2）对任给，则（3） 对任给，
11、则由Cauchy-Schiwatz不等式：可得由向量范数的定义，为空间上的向量范数。例18设=，求、和。解：；注意到，=，令 得，从而。1 3习题1、填空题(1) 设,则= 5 , = 3 ,=, =及的谱半径= 3 。(2) ，则= 19 , = 12 ,= 13 (3) 记，判断如下定义在上的函数是否为上的向量范数（填是或不是）.（是 ）；（不是 ）；（ 不是 ）。(4) 使的近似值的相对误差限不超过0.1，应取几有效数字, = .2、证明 （1）； （2）3、设 x为上任一范数，是非奇异矩阵，定义=，证明：算子范数=。4、设为阶非奇异矩阵，为阶酉矩阵.证明：(1) ； (2) 5、已知，
12、问以下近似值有几位有效数字，相对误差是多少？（1）, （2），（3）, （4）.6、给定方程，利用，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。7. 在五位十进制计算机上求的和，使精度达到最高，其中。8. 在六位十进制的限制下，分别用等价的公式（1） ； （2）计算的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大？9. 若用下列两种方法（1）， （2），计算的近似值，问那种方法能提供较好的近似值？请分析原因。10. 计算，取，直接计算f和利用下述等式计算，那一个最好？11. 如何计算下列函数值才比较准确。 （1）； （2）；（3）充分大； （4）。1.4习题解答 1、解（1
13、）有定义，= 3, = 5,=, =及= 3。(2) ，则= 19, = 12,= 13。(3)（是）；为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，。 （不是）；不满足向量范数性质1；（不是）；不满足向量范数性质1。(4) =8.3667。因，要是得相对误差限不超过，即，则时，有。 2、只就（2）证明 ，由定义可得， 从而，。3、首先，证明是一向量范数。事实上，1）因是非奇异矩阵，故，故时，且当时，于是，当且仅当时，=0成立；2）对，；3）。故是一向量范数。再令，因非奇异，故与为一对一，于是4、证明：(1)，由算子范数的定义证明：(2)，此结论表明酉阵具有保2-范数的不变性。5、解：（1）
14、由于，由有效数字定义可知，有2位有效数字；又，再由相对误差界的公式，；（2）由于，由有效数字定义可知，有4位有效数字；又，再由相对误差界的公式，；（3）由于，由有效数字定义可知，有2位有效数字；又，再由相对误差界的公式，；（4）由于，由有效数字定义可知，有4位有效数字；又，再由相对误差界的公式，。6、给定方程，利用，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。解：由二次方程求根公式知，。若利用，则近似根具有5位有效数字，而，只有2位有效数字。若改用则此方程的两个近似根，均具有5位有效数字。它们的绝对误差界和相对误差界分别为：7，其中，计算机作加减法时，先将相加数阶码对齐，根据
15、字长舍入，则与和在计算机上做和时，由于阶码升为5位尾数左移变成机器零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免若改变运算次序，先把相加，相加。再与相加。即8分析：由于，求的值应看成复合函数。先令，由于开方用六位函数表，则的误差为已知，故应看成，由的误差限求的误差限。解：当时求，用六位开方表得，其具有3位有效数字。故由，得，故。于是， 若用公式，令，此时，则，其具有6位有效数字。故而 。于是，可见，用公式计算更精确。 9解：方法（1）的误差由Taylor展开可得，其中在与0之间。而方法（2）得误差是，其中。由此可知方法（2）得误差是方法（1）的倍，故方法（2）给出较准确的近似值。10解：所给出的5个公式可分别看作取的近似值时，相应函数的计算值。而。利用函数计算的误差估计公式可得：。由此可见，使用公式计算时误差最小。11以（2）和（3）为例其它同理解： （2）只需取 ；（3）。注：令，则，。由于，由差角公式： 。得，进而有。