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1、1/18数值分析典型例题典型例题 III五、六章内容提要五、六章内容提要典型例题分析典型例题分析部分习题解答部分习题解答补充练习题补充练习题2/18 若插值结点若插值结点 x0,x1,xn 是是(n+1)个互异点个互异点,则满足则满足插值条件插值条件P(xk)=yk (k=0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn存在而且惟一存在而且惟一。多项式插值的存在唯一性定理多项式插值的存在唯一性定理Laglarge插值公式插值公式插值基插值基(k=0,1,2,n)3/18插值插值误差余项误差余项其中其中,问题问题1:构造线性插值函数计算构造线性插值函数计算115115
2、的平方根近似值，估的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数计近似值的误差并指出有效数位数。已知已知 x0,x1,xn 处的值处的值 f(x0),f(x1),f(xn).(j=0,1,n-1)(j=0,1,n-2)均差的均差的定义定义4/18牛顿插值公式牛顿插值公式(k=1,2,n)问题问题2 2:证明一阶差商的对称性：证明一阶差商的对称性：fx0，x1=fx1，x0，进一步证明二阶差商的对称性。进一步证明二阶差商的对称性。牛顿插值余项牛顿插值余项(j=0,1)三三次次Hermite插值插值5/18给定给定a,b 的分划的分划:a=x0 x1 xn=b.已知已知f(xj)=yj (j=0
3、,1,n),如果如果满足满足:(1)S(x)在在 xj，xj+1上为三次多项式上为三次多项式;(2)S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续;(3)S(xj)=yj (j=0,1,n).则称则称S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.三次样条的三次样条的定义定义6/18拟合函数拟合函数:(x)=a0 0(x)+a1 1(x)+an n(x)数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型离散数据离散数据 x x1 x2 xm f(x)y1 y2 ym超定超定方程组方程组超定超定方程组最小二乘解方程组最小二乘解:7/18Ex1.设设x0，x1，xn 是互异的插值结点是互异的插值结点，l0(x)为对应于
4、为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明的拉格朗日插值基函数，试证明 x x0 x1 xn f(x)1 0 0证证 由基函数插值由基函数插值条件计算差商条件计算差商代入代入牛顿插值公式牛顿插值公式,并注意插值误差为零并注意插值误差为零,则有则有8/18Ex2.设设x0,x1,x2,xn为为互互异异的的结结点点,求求证证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式插值基函数满足下列恒等式(1)(2)(k=1,n)证证:(1)令令 在插值结点处在插值结点处 Pn(xj)=0 (j=0,1,2,n)n 次多项式次多项式 Pn(x)有有 n+1 个相异零点个相异零点Pn(x)=0 9/18所以所以将将
5、 f(x)=xk (k n)代入代入,得得(k=0,1,2,n)问题问题:f(x)是是(n+1)次多项式且最高次项系数次多项式且最高次项系数为为1，取互异的插值结点取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值多构造插值多项式项式Pn(x)，证明证明：f(x)=Pn(x)+(x x0)(x x1)(x xn)(2)取取 f(x)=xk f(n+1)(x)=0 Rn(x)=010/18Ex3.设设 P(x)是不超过是不超过 n 次的多项式次的多项式,而而 n+1(x)=(x x0)(x x1)(x xn)证明存在常数证明存在常数Ak(k=0，1，n)使得使得 证证 由由n次多项式插值得次多项式插值得
6、其中其中11/18证明证明:F x0,x1,xn =Ex4.记记 n+1(x)=(x x0)(x x1)(x xn)(j=1,2,n)对比对比Lagrange插值和插值和Newton插值中插值中 xn 的系数的系数,得得 F x0,x1,xn =12/18Ex5.2 次埃尔米特插值的适定性问题次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件给定插值条件：f(x0)=y0，f(x1)=m1，f(x2)=y2，插值结点应满足什么插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解条件能使插值问题有唯一解。思考思考:带导数条件的二次插值多项式公式适定性带导数条件的二次插值多项式公式适定性 f(0)=y0，f(1)=y
7、1，f(0)=m0；解解:设设 H(x)=a0+a1x+a2x2,H(x)=a1+2a2x13/18Ex6.求矩阵求矩阵 广义逆广义逆 G+=(GTG)-1GT Ex7.求矩阵求矩阵 条件数条件数 Cond=Ex8*.设设利用分部积分法证明利用分部积分法证明14/18Ex9 9.如果如果 xa,b ,t-1,1,(1)用线性插值方法推导联系两个区间的映射用线性插值方法推导联系两个区间的映射(2)对于对于 t-1,1上的上的二次正交多项式二次正交多项式将其将其转换为转换为xa,b 上的二次上的二次正交多项式正交多项式15/18Ex10.一个量一个量 x 被测量了被测量了 n次次,其结果是其结果是
8、a1,a2,an.用最小二乘法解超定方程组用最小二乘法解超定方程组 x=aj (j=1,2,n)x 的值为多少的值为多少？Ex11*.给定给定五个观测值五个观测值 yj (j=2，1，0，1，2)写出求二次拟合函数写出求二次拟合函数 P(t)=a0+a1t+a2t2的超定的超定方程组系数矩阵，并求广义逆方程组系数矩阵，并求广义逆.16/18证证 取取拟合函数拟合函数:Ex12.验证线性验证线性 回归公式回归公式 x x1 x2 xm y y1 y2 ym y=a+b x 其中其中 b=lxy/lxx,显然显然17/18Ex13.如果如果X*是方程组是方程组GTGX=GTb的解的解，则则X*是超定是超定方程组方程组GX=b的最小二乘解的最小二乘解 证证 由题设由题设,有有GT(b GX*)=0.对任意对任意n维向量维向量Y，故故|b GY|2|b GX*|2等式仅当等式仅当Y=X*时成立时成立。所以所以X*是超定方程组是超定方程组GX=b的最小二乘解。的最小二乘解。18/18Ex14*.最小二乘逼近与最小平方逼近的关系最小二乘逼近与最小平方逼近的关系 在区间在区间0，1上取上取m+1个等距点个等距点 (k=0，1，2，m)对抛物线对抛物线 y=x2 做线性拟合做线性拟合.试证明当试证明当 时，时，线性拟合函数线性拟合函数 为平方逼近问题为平方逼近问题的解。的解。