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1、(周易）与中国传统数学关系的解析,数学史论文在中国传统文化中，有 (周易是史 的重要观点。对(周易的研究，当前学界主要集中在对其哲理的研究，而较少牵涉对其数理的研究。本文试图通过对(周易与中国传统数学关系的解析，说明(周易所蕴含的数学思想对传承中国传统文化的积极意义。 一、从 (周易是史 的观点解析(周易 在中国传统文化中，有 (周易是史 的重要观点，以为(周易经、传乃至卦、爻符号，都是一种历史记录，包含历史记叙或历史意义。(淮南子就持(易为上古史的看法。四部分类法始于晋代，它打破了原先史书从属于经的观念; 隋代王通提出了 三经( (书(诗(春秋) 皆史 之讲; 到了宋代，程颐提出了 九经(
2、华而不实有(周易) 皆史 之讲，南宋李光(读易详讲、杨万里(诚斋易传 也提出以史证易; 元、明两代，有 五经皆史 和 六经皆史 之讲，从王阳明开场，则明言(易经是史; 清代章学诚提出 六经皆史 的理论。他在(文史通义( 1832) 中开宗明义地指出: (六经皆史也。古人不着书，古人未尝离事而言理，(六经皆先王之政典也。 章学诚 六经皆史 的真正含义是建立在他对经这一本义理解的基础之上: (易曰: 上古结绳而治，后世圣人易之以书契，百官以治，万民以察 。夫为治为察，所以宣幽隐而达形名，布政教而齐法度也，未有以文字为一家私言者也。(易曰: 云雷屯，君子以经纶 。经论之言纲纪世宙之谓也。 六经初不为
3、尊称，义取经纶为世法耳，六艺皆周公之政典，故立为经。 章学诚所理解的经之本义，既不同于后人所讲的诗、书、礼、易、乐、春秋这传统的六经，也不同于以文字为一家私言的经书，而是指以 治 为核心的 经纶 。也就是讲，(六经并非古代圣人立言垂教后世的空言，而是当时统治者治理国家大事以及所制定的各种典章制度的记录。 经的本义是指织布的纵线，与 纬 相对，东汉许慎(讲文解字 系部曰: 经，织也。从糸，巠声。 清段玉裁注曰: 织之纵丝谓之经。必先有经，而后有纬，是故三纲、五常、六艺谓之天地之常经。 最早的 经 字写作 巠 ，见于周代青铜铭文。大盂鼎、毛公鼎、晋姜鼎均有 巠 字; 虢季子白盘、齐陈曼簠、叔夷钟均
4、有 经 字。西周早期器大盂鼎有 敬雍德巠 ，晚期器毛公鼎有 肇巠先王令 ，东周器晋姜鼎有 巠雍明德 。在郭沫若看来， 经 的初字应为 巠 ，所以 经 应是后起字。 他以为: 大盂鼎 敬雍德巠 ，毛公鼎 肇巠先王令 ，均因乃用巠为经。余意盖经之初字也。观其字形，前鼎作巠，后鼎作巠，均像织机之纵线形。从系作之经，字之稍后起者也。(讲文分巠、经为二字，以巠属于川部，云 巠水脉也，从川在一下，一地也，壬省声，一曰水冥巠也 。讲殊迂阔。 能够以为， 巠 经 应该是同一个字。 巠 是早期的字， 经 则是中后期的字。(毛公鼎的 肇巠先王令 和(大盂鼎的 敬雍德巠 ，这两处的 巠 都是指祖先事而存在的纲纪的经
5、纶，与章学诚所讲的经的本义是完全一样的。在这里基础上，章学诚才提出了 六经皆史 的论断。他反复强调，(六经之所以是史，就是由于 (六经皆先王得位行道，经纬世宙之迹，而非托于空言 ，由此出发我们能够讲 六经 皆史、 六经皆先王之政典 。章学诚还进一步指出: 古代根本就 无经史之别，六艺皆掌之史官 ，而且(六经是 先王之政典 的记录之所以得到重视，只是由于 以其即三代之史耳 。 在这里，章学诚揭示了(六经的根本性质，实际上是属于经世致用的史籍。 (易教篇所讲的 (易以天道而切人事 讲明了天道而为人事的全部经过，(周易 系辞又曰: 古者包犠氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。观鸟兽之纹，与地之
6、宜。近取诸身远取诸物。于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。 至此，能够讲(周易属于章学诚所讲的六经之一道理充足。(文史通义 内篇 易教对(周易进行了具体的阐述，固然其原意是旨在通过对(周易的考证来厘清器与道的关系问题，但我们可以以由此推之，(周易显然是能够被当做史料加以对待的。章学诚意在通过(易是先王之圣典也 六经先王之圣典也 六经皆史这样的思想脉络，理出文献的通事理关系。其 六经皆史 的史学观，旨在打通经、史、文之间的隔膜。可见，(易经是史的观点顺理成章。 章太炎也曾以为，易经前十二卦讲述的是人类文化发展的历史， (易经也是史。 而仔细考察(易经，则能够以为它是一部殷周奴婢的起义史。同
7、时，它也是古代人们了解天、地、风、火等自然现象及规律之史。能够讲，(周易是和(左传(史记一样的史书，其反映的是我们国家先民从原始社会到殷周时期的全部史事。 乾、坤两卦是绪论，既济、未济两卦是余论，自屯卦至离卦为草昧时代至殷末之史，自咸卦至小过卦为周初文、武、成时代之史。 有学者解释(易经的 九 和 六 的概念，将卦爻辞、卦象与先秦古籍互证，将其看做是商周之交 8 年的改朝换代史。而(周易与其他史籍的不同之处，就在于它以每隔 9 天或 6 天占卜一次的形式来记述商周之交的历史大事，这也很好地解释了(周易既是一部筮辞编集同时又是一部古史这一特殊文化现象。 从 (周易是史 的观点来读(周易，将此与当
8、代历史发展的情况和时代潮流的大势结合起来看，人们很自然地会把它和科学史结合起来进行研究。人类历史上有古代科学史、近代科学史、当代科学史，既言(周易是史，那么在中国，这种结合型的研究，不管就其内在或外在来讲，都是应该的和必须的。下面，我们专门谈(周易与中国传统数学史。 二、(周易中彰显着丰富的数学思想和数学方式方法 诚然，通过认真研究中国传统数学史，并没有看到从(周易中直接得到某个数学定律、数学定理或经历体验公式、数学定论。然而，人们十分是中国历代着名数学家却对(周易情有独钟。在他们的数学活动及数学成果中，是高眼看待(周易的。 通常以为: 中国传统数学体系确立的标志是(九章算术( 约公元 1 世
9、纪) 的出现; 中国传统数学理论体系确立的标志是 (九章算术刘徽注 ( 公元 263 年) 的出现。刘徽注(九章算术时，开始有个重要的 序 ，这个序的首句是: 昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变。 华而不实，如包牺氏、八卦、九九之术、六爻等，是紧紧地连着(周易的。 中国传统数学 算经十书 ( (周髀算经(九章算术(孙子算经(五曹算经(夏侯阳算经(张丘建算经(海岛算经(五经算术(缀术(缉古算经) 中，最早的一部(周髀算经讲: 数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。 也就是讲，数的艺术是从圆形和方形开场的。正多边形的极限，是由圆内接正多边形经过
10、无数次倍边之后才构成的。木匠做工用的曲尺称为矩，也就是方中的直角，方之所以出于矩，是由于非矩不能作。 这里已包含用数的性质来研究形的性质，将数与形严密结合在一起进行考察的思想。 华而不实，对九九之术格外重视。 矩出于九九八十一 ，中国古人对乘法口诀的简称是 九九 ，乘法口诀是从 九九八十一 而起的。中国传统数学思想中所谓 九九 ，最早是九九乘法口诀的称谓。(易 本命中就有 三三九 的口诀。 又如(周易四十六卦(易 升曰: 君子以慎德，积小以成高大。 数学上，积乃众数聚居之称。有面积、体积等之称。乘得之数曰积，如 2 2 =4 称为积。(周易中的积和数学中的积，思想同归一脉。 中国传统数学自秦汉
11、确立体系之后，在三国两晋南北朝一直到隋唐得到充实和提高，至宋元到达昌盛时期，居于世界数学的最高峰。就在昌盛时期最着名的数学四大家秦( 九韶) 、李( 冶) 、杨( 辉) 、朱( 世杰) 中，也无一不垂青(周易。如秦九韶创立了具有世界意义的 大衍求一术 ( 一次同余组) ，就是把数学方式方法同演卦结合起来，采用(易 系辞上中的大衍之数五十，并将其命名为 大衍求一术 。 此命名讲明秦九韶是受了(周易 蓍卦发微 思想的影响，他以为圣贤已采用大衍之术， 圣有 大衍 ，微寓于易。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原 ， 数与道非二本也 。(周易 系辞云: 大衍之术五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂
12、一以象三，揲之以四以象四时，归奇于仂以象闰，五岁再闰，故再仂而后卦。 也就是讲用来演算的蓍草的根数总数为 50，而大衍之术使用的蓍草则为 49 根，这是取 七七四十九 之意。秦九韶用当代数学语言表示出 大衍总数术 :x ri( modi) ，( i = 1，2，3，4)据此可推出，元数: 1，2，3，4; 定数: 1，1，3，4; 衍数: 12，12，4，3; 奇数: 1，1，1，3; 乘率: 1，1，1，3; 用数: 12，12，4，9;各用数和: 12+12+4+9=37可得: 元数: 1，2，3，4; 衍数: 24，12，8，6; 用数: 12，24，4，9 大衍之数五十 即各衍数和:
13、24+12+8+6=50; 其用四十有九 即各用数和: 12+24+4+9=49。 由此，秦九韶将 大衍总数术 的算理与(周易的哲理有机地结合起来( 他的 天意 讲法缺乏取) ，进而圆满地阐释了筮法和 大衍之数五十，其用四十有九 的来由。 实际上， 蓍卦发微 有着不同凡响的意义。 即便从当代的目光来看， 蓍卦发微 也并非毫无意义，它不仅以极简单的数字，给出大衍术计算的一个范例，而且它还给人以这样的启示: 古老的(易经可能蕴藏着丰富的、朴素的数学思想。 杨辉是世界上最早对幻方( magic square) 进行系统研究的人，他的(续古摘奇算法( 1275) 中有各种类型的纵横图。我们国家最早的纵
14、横图，应该属宋代的九宫图，这与易学中的 洛书 九宫图 紧紧相联。杨辉孜孜不倦地探寻求索纵横图的构成规律，揭示了纵横图的规律性。他以为三阶和四阶纵横图的构成方式方法是: 易换术曰: 以十六子依次，(洛书有六篇也。 实际上，郑玄在这里构造了一个天地生成数图和九宫图。他以为(系辞传中的 天数五 是指 1、3、5、7、9 这五个奇数，而 地数五 则指的是 2、4、6、8、10 这五个偶数。将这些奇数和偶数 五位相得而各有合 ，按方位配合后即可构成 天地生成之数 。 传讲(周易的来源就是伏羲根据龙马从黄河背负来的 河图 和神龟从洛水背负而来的 洛书 所完成的。 九宫 一词，见于汉徐岳(数术记遗: 九宫算
15、，五行参数，如同循环。 九宫 者，是东汉以前易纬家之讲将离、艮、兑、乾、巽、震、坤、坎八卦加而合的。九宫实则一个三行纵横图，即世界上最古老的幻方。上文所述杨辉的幻方研究工作，就是起源于对 河图 洛书 的数字化处理。杨辉所列的 20 个纵横图中，最简单的两个就是河图洛书。杨辉给洛书的口诀是: 九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。 该口诀清楚地阐述了洛书 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足 的三阶纵横图的构造方式方法，进而揭开了其神秘的面纱。以下为杨辉总结出的洛书幻方构造图( 图 2) 。 幻方实际上蕴育了我们国家组合数学思想，是古代数学智慧的一个标志，是数学文化中的一朵奇葩，对它的研究也
16、算是中算史上的一种骄傲。 河图洛书是从阴阳、五行、八卦发展而来并将它们内在地包涵起来的，河图洛书虽讲是传讲，但它在中国历史上常年( 多年) 流传下来并被人们作为思想发展影响着社会这是真实的历史现象。 中国历代哲学家们研究河图洛书的哲理，而历代畴人( 天文、算学家) 则陈述河图洛书的天文、数学之意蕴，故(周易之数理的意义和作用是回避不了的事实。到了大儒朱熹手中，能够讲这个工作有了一个本质性的飞跃和进展。朱熹在他的重要着作(周易本义之首，就列出河图洛书，以九( 九宫) 为河图，以十( 天地生成数) 为洛书( 其实际起源于道士陈抟) 。这九个易图是: 河图、洛书、伏羲八卦次序、伏羲八卦方位、伏羲六十
17、四卦次序、伏羲六十四卦方位、文王八卦次序、文王八卦方位和卦变图。实际上，朱熹在自然科学上也有很多奉献，其河图洛书讲深入地支配着他的理学自然观。宋代丁易东研究纵横图也受河洛起源的影响，他在(大衍索隐卷中云: 洛书四十九得大衍五十数图 ，卷下亦云: 九宫八卦综成七十二数合洛书图。 明代王文素也以为 数之本原 是河图洛书，他在(通证古今算学宝鉴( 1524) 卷首就列出了朱熹(周易本义所载的河图图和洛书图。明代程大位在其珠算名着(算法统宗( 1592) 卷首中也曾画出龙马负图、河图图和洛书图。他在(算法统宗 后识语中还强调: 数何肇? 其肇自图、书乎? 伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物
18、成务。凡天官、地员、律历、兵赋及纤悉杪忽，莫不有数，则莫不本于(易(范。故今推明直指算法，辄揭河图、洛书于首，见数有本来云。 因(算法统宗是本流传极广的珠算着作，河图、洛书为数之本源的思想也日益深切进入人心。清代(数理精蕴( 1723) 上编卷一曰: 河出图，洛出书，八卦是生，九畴是序，数学亦于是乎肇焉。 由此可见，在中国传统数学思想中，数之河洛起源讲影响不小。而(周易中就有对河图洛书的记载，其对中国传统数学思想的影响同样值得重视。 至于数学上河洛起源讲的原因，应该是由于人类将认识自然的能力归之于天意。中国古人在数学研究中，发现得到的数学规律( 包括数字规律) 无法在客观世界中找到恰当的、正确
19、的解释( 或模型、原型) 时，他们就将之归于天意。而宋明儒家对此则更感兴趣，正如蔡沈( 朱熹的学生) 所讲: 体天地之撰者(易之象; 纪天地之撰者(范之数。数者始于一; 象者成于二。一者，奇，二者，偶也。奇者，数之所以行; 偶者，象之所以立。故二而四，四而八，八者，八卦之象也。一而三，三而九，九者九畴之数也。由是，重之八而六十四，六十四而四千九十六而象备也; 九而八十一，八十一而六千五百六十一而数周矣。(易更四圣而象已着; (范锡神禹而数不传。后之作者昧象数之源，窒变通之妙，或即象而为数，或反数而拟象， 牵合附会，自然之数益晦蚀焉。 究其原因，宋明理学家们本就认定 理 先天地而存在，而河洛起源讲恰恰是对他们理论的有力支持。能够讲，数学源于 河图 洛书 是宋明理学思想在数学中的反映，同时它又是 格物穷理 之学的缩影。 综上所述，从古人对(周易河图洛书之哲理和数理结合起来研究的综合考察，我们发现，人们对河图洛书的健康研究，并不是为了搞数字神秘主义，而是以(周易中所蕴含和具体表现出的数字及数字变化规律，来探寻求索和揭示自然界的奥秘。其研究途径是正确的，应当引起重视，必须深切进入加以研究。我们明显地感觉到，从朱熹开场，中国传统文化及对传统文化的研究，能够讲在这里出现了深奥玄妙的转型，必须引起学界的注意和重视。【图略】