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1、平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义一般地，实数一般地，实数与向量与向量 的的积积是一个是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作 ，它的它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1)|=|(2)当当0时时,的方向与的方向与 方向相同；方向相同；当当0时时,的方向与的方向与 方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当=0或或 =时时,=.复习提问复习提问1.实数与向量的积实数与向量的积 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量对于任意的向量 以及任意实数以及任意实数
2、 恒有恒有2.2.运算律运算律运算律运算律.设设设设 ,为任意向量，为任意向量，为任意向量，为任意向量，,为任意为任意为任意为任意实数实数实数实数，则有：，则有：，则有：，则有：()=()(+)=+(+)=+已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab3、向量夹角 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做
3、的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。新课新课 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量|cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记），记作作 =|cosarararbrbrararar b rbrbrbr注意：注意：向量的向量的数量积数量积是一个是一个数量。数量。规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投投影
4、影。abab的几何意义：的几何意义：OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？=|cosararbrbr当当=90时时 为零。为零。arbr当当90 180时时 为负。为负。arbr当当0 90时时 为正；为正；arbr重要性质:设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1解：解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例1 已知|a a|=5，|b b|=
5、4，a a与b b的夹角=120，求a ab b。例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解：解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45 =2练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 0，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、二、平面向量
6、的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注意：注意：证明运算律证明运算律(3)ONMbacABC例例 3：求证：求证：（1）（2）证明：证明：（1）数量积数量积（2）引申：例例4 4、的夹角为的夹角为变式：求例5、当k为何值时，思考：用向量方法证明：直径所对的圆思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。周角为直角。ABCO如图所示，已知如图所示，已知如图所示，已知如图所示，已知 OO，ABAB为直径，为直径，为直径，为直径，C C为为为为 OO上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。解：解：设设 则则 ，由此可得：由此可得：即即 ，ACB=90选“基底”小结 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 =|cosararararararbrbrbrbrbrbr（6）（7）作业：作业：限时作业；限时作业；试吧试吧练习：练习：三维三维板书课后记