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1、1高考大题专攻练高考大题专攻练 7.7.立体几何立体几何(A(A 组组) )大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD.(1)证明：平面 ACD平面 ABC.(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D -AE-C 的余弦值.【解题导引】(1)若证明平面 ACD平面 ABC 可根据面面垂直的判定在平面 ACD 内找一条线垂直平面 ABC，从而转化为线面垂直，再利用线线垂直确定线面垂直
2、.(2)利用(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，求平面 ADE 和平面 ACE 的法向量，求法向量的余弦值得二面角的余弦值.【解析】(1)如图，取 AC 中点 O，连接 OD，OB.由ABD=CBD，AB=BC=BD 知ABDCBD，所以 CD=AD.由已知可得ADC 为等腰直角三角形，D为直角顶点，则 ODAC，设正ABC 边长为 a，则 OD=AC=a，OB=a，BD=a ，所以 OD2+OB2=BD2，即 ODOB.又 OBAC=O，所以 OD平面 ABC，又 OD平面 ACD，所以平面 ACD平面 ABC.(2)如图，以 OA，OB，OD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空
3、间直角坐标系，当 E 为BD 中点时，平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，故可得2A，D，C，E，则=，=.设平面 ADE 的一个法向量为 n n1=，则即令 z1=1，则 x1=1，y1=，所以 n n1=.同理可得平面 AEC 的一个法向量 n n2=，所以 cos=.因为二面角 D -AE-C 的平面角为锐角，所以二面角 D -AE-C 的余弦值为.32.如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，已知 ABCD，ADCD，AB=AD=CD.(1)求证：BF平面 CDE.(2)求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)因为 A
4、FDE，AF平面 CDE，DE平面 CDE，所以 AF平面 CDE，同理，AB平面 CDE，又 AFAB=A，所以平面 ABF平面 CDE，又 BF平面 ABF，所以 BF平面 CDE.(2)因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 交于AD，CDAD，所以 CD平面 ADEF，因为 DE平面 ADEF，所以 CDED，因为 ADEF 为正方形，所以 ADDE，因为 ADCD，所以以 D 为原点，DA，DC，DE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则设 AD=1，则 D(0，0，0)，B(1，1，0)，F(1，0，1)，A(1，0，0)，=(1，1，0)，=(1，0，1)，取平面 CDE 的一个法向量=(1，0，0)，4设平面 BDF 的一个法向量为 n n=(x，y，z)，则即取n n=(1，-1，-1)，cos=，所以平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值为.