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1、2. 2. 4均值不等式及其应用第1课时A基础达标1 .不等式/+序22|而|成立时，实数小。一定是()A.正数B.非负数C.实数D.不存在解析:选C.原不等式可变形为/+一2|岫| =同2+族|2-2ab = (a-b)220, 对任意实数都成立.2 .(多选)下列不等式一定成立的是()A. f+卜中,。)B.x+；N2(x0)C. x2+12H(xGR)D. *7心。)解析：选BC.对于A,当x=T时，f+=x,所以A不一定成立；对于B, 当第0时，不等式成立，所以B一定成立；对于C,不等式显然恒成立，所以C 一定成立；对于D,因为r+1N1,所以()*71，所以D不成立.故选BC.3 .
2、设0战江 且。+人=1,在下列四个数中最大的是()A.tB.bC. 2abD. a2+Z?2(a+解析：选 B.因为 00, 所以所以Z?最大.2 14.已知实数x,)，满足x0,)0,且；+7=1,则x+2y的最小值为() 兀 yA. 2B.4C. 6D. 82 I解析：选 D.因为.v(), y0,且：+:=1, x y所以 x+2尸（x+2），）E+3=4+?+?24+2、件9=8, 5 y ja yj x y当且仅当?=j 即x=4,），=2时等号成立.故选D.235.设QO,则产x+三77V的最小值为（） N人 I 1 JA. 0B.g3C. 1D. 5解析：选A.因为10,所以x+
3、；0,所以 y=x+高,=（、+!）+：22x+22 /卜+打一4-2=0,当且仅当x+%-4,即 T时等号成立，所以 x+2x+223y=x+o工一不的最小值为0. 2x+1 26 .若a0,且。+力=0,则。一（+1的最小值为.解析：因为。+Z?=0, 6/0,所以。一/+1 =。+1 23,当且仅当。=1, b =时取等号.答案：37 .若x, y均为正实数，且x+4y=20,则xy的最大值是.解析：因为x, y均为正实数，所以2（）=:+4y22出4），=4y/1,所以15志5,所以x）W25,当且仅当x=4y=10,即x=10,尸烹时，等号成立，所以孙 的最大值是25.答案：258
4、.已知当x=3时，代数式4工+%0, 0）取得最小值，则。=.解析：/4x5=4人（x0,。0）,当且仅当4x=*即时等号人/ 人人/成立，所以乎=3,即a=36.答案：364 9.已知x0,求y=2一%一二的最大值;(2)已知求y=5(l2x)的最大值.解：(1)因为尤(),所以 x+?24,所以)，=2(工+30),即x=2时取等号，ax=-2.因为所以1 -2a0, 1, lf2x+1 2x2 1所以 y=WX2Hl_2x)Wa2) =7?当且仅当 2x= 1 -2i()r,max=Y.10 .若V3,求)，=2x+l+士的最大值；(2)己知K0,求y=F+ 的最大值.解：(1)因为 x
5、0.又因为 y = 2(x 3)+ + 7= 一 *X* J2 (3x) + 3_丫 + 7,由均值不等式可得 2(3工)+不二、,故y的最大值W22, 2 (3x) +=2y2 ,当且仅当2(3x) = 士，即x = 3乎时，等号成立，于是一是7-2审.小 Ze 2产？TT= 士是7-2审.小 Ze 2产？TT= 士2(3-a +3Z：x1/ 17:因为 x0,所以 x+;22、/k=2,所以 00,所以 N1 4*=，0, y0,且满足+?=1,则xy的最大值为,取得最 大值时y的值为.解析：因为心(),)()且1所以qW3.当且仅当3即犬=2，丁=2时取等号.答案：3 213 . (20
6、20江苏徐州期中考试)已知正实数a,b满足+2。= 1,则(1 +2+1) 的最小值为.解析：因为(*)(2+*2+评+如2+让沪=2+焉又1=+ I0|2人22电,所以即2+亍22 + 2义8=18,当且仅当。=2 即。=小 OCity/时取等号.答案：1814 .已知。0, Z?0,且 2a+b=ab.求ab的最小值；求a+2b的最小值.I ?解：因为2a+b=ab,所以,+g=L(1)因为 40, /?()；1 2/ 21 2 1所以1=工十三22 彳,当且仅当 an aha b 2即=2, 8=4时取等号；所以他28,即油的最小值为8.(2)“+2b=m+2 从鸿)=5+豹羟 5+29
7、5=9,当且仅当=与，即。=3时取等号；所以+2。的最小值为9.1 1 15 . abc, 且r+72,求的最大值.a-b bc a-c解：因为。力“，所以b0, /?c0, a-c0.a-bb-c a-ccic ac 所以W有+D(67 Z?) + (Z? (7)b-c因为 -C =(4 /?) + (-C),.(ab) + (Z?c) 所以，W力Ta-bb-c因为铝件9fF4=2(2bj+c时取等号).ab bc!(a-b八 bc)所以W4,所以的最大值是4.C拓展探究16 .是否存在正实数a和同时满足下列条件:+/?= 10；1 (x0, )0)且x+y的最小值为18,若存在，求出小的值；若不存在，说明理由.解：因为+=1, x y所以 x+y=(x+y)g+)=。+勺+?2+b+2yfL=(ya+yb)2,又x+y的最小值为18,所以(、&+亚)2=18.（,+或）2= 18, +/?=10,得a=2或Z?=8。=8, b=2.故存在实数=2, =8或=8, =2满足条件.