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1、2. 2. 4均值不等式及其应用第2课时A基础达标1 .如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大 值等于()A 25口 25A 彳B.y一5- 5 班C. 5D. -z-解析：选A.设直角三角形的斜边为C,直角边分别为4, b,由题意知c、=5,则2+。2 = 25,则三角形的面积S=%b.25因为25=。2+/22。6,所以出?小万，则三角形的面积5=/代卜沫=今 当且仅当。=方=平时取等号，即这25 个直角三角形面积的最大值为亍.2.某工厂第一年产量为4,第二年的增长率为小第三年的增长率为九这 两年的平均增长率为x,则()a-bA. x= 2B.xW- 2a+ba+b
2、C. x2-D.-5-解析：选 B.由条件知 B(l+)(l+b)=A(l+x)2,所以(l+x)2=(l+a)(l+b)一(1+)+ (1+b) 2, .所以 1 +x0,下列不等式恒成立的是()A. a2aC,(。+份(十+)24D.若:+=1,则 HW4解析：选 ABC.由于 +l4=（a+10,所以4+1，故A恒成立；由于a+522,匕+22,所以（。+0,+力24,当且仅当。=8=1时，等号成立，故B恒成立；由于 +心2，, 5+拉2,所以（ + ）（十+?24,当且仅当a = h 时，等号成立，故C恒成立；因为。0, b0,所以所以ab24,当且仅当a=b=2 Cl 口 / Cl时
3、，等号成立，故D不恒成立.故选ABC.4 .三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表 述为如图所示，我们可用该图证明（）A.如果 ab, bc,那么 acB.如果公60,那么/C.对任意正实数。和，有2+b222ab,当且仅当=/?时等号成立D.如果 c0 那么 qcZ?c解析：选C.可将直角三角形的两直身边长记作a, b,斜边长为c（c2=/+ 护）.则外围的正方形的面积为c2,也就是。2+序，四个直角三角形所在的阴影 面积之和刚好为2ab.故对任意正实数和，有。2+及22/?,当且仅当=/?时等号成立.5 .已知=x+4（xv0）,则加，之间的大小关系是（）A. mnB.
4、z2,所以“一20.7=。+=。-2+-二+222、/ （。-2） 二+2=4,a-2。一21a2当且仅当。-2=，即。=3时，等号成立.a2因 x0,则=x+4n.6 .当时,不等式三的最小值是11/I解析：=x4-1 4- r=x- 14-+222、/ (x- 1) -4-2=4,x 1x 1x 1x 1当且仅当工一1=7，即x=2时，等号成立.X 1答案：47 .如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dml图中阴影部 分)，上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.解析：设阴影部分的高为xdm,72则宽为一dm,四周空白部分的面积是yd
5、n?.由题意，得)，=(x+4)(+2)-72 = 8 + 2(x+9/1442 8 + 2 X 2、/ 巴-=56(dm2).144当且仅当工=，即x=12dm时等号成立.答案：568 .规定记号表示一种运算，即。力=两+。+仇m 8为正实数).若 1。仁3,则Z的值为,此时函数尸童的最小值为.解析：由题意得1。&=#+1+k=3,即女+#2=0,所以#=1或#=人工 ”、，kQx 市+x+l , r , 1 .一2(舌去)，所以4= 1, y= = 11+2 = 3,当且仅当也=左，即x=l时，等号成立.答案：1 39 .设。0, Z?0,且证明：+822.证明：由于a0, Z?0,则a+
6、H+9用a b ab由于+/0,则于=1,即有+/?22砺=2,当且仅当a=b=时取得等号，所以。+/?22.10 .已知 a, b, c(0, +),且 +Z?+c= 1.求证：1+；+1N9.证明：因为 m by c(0, +),且。+6+c=l,所以a b c+/7+c , +/?+（）,（）,且x+4v=町，则x+y的最小值为（）A. 7B.8C. 9D. 1（）| 4解析：选C.根据题意，实数Q0,)0,若工+4)，=冷，-+-= 1,x+y=(x+y)停+乡寸+?+5|+5=9,当且仅当x=2y,即犬=6,)，=3时等号成立，即x+y的最小值为9,故选C.12.已知不等式(x+)，
7、)g+需16对任意正实数工，y恒成立，则正实数。的 最小值为()A. 1B.2C. 4D. 6解析:选 C（x+y）（：+j）=4+a+（?+竽）,因为 x0, y0, a0,所以?+22/生芈=4或，当且仅当仝=结时取等号.由已知可得4+。+4g216,V x y.1 y即。+4g一1220,解得g22或gW6（舍去），所以。24,即。的最小值为 4.13 . （2020扬州期末）如图,在半径为4（单位:cm）的半圆形（。为圆心）铁皮 上截取一块矩形材料A8CQ,其顶点A, 8在直径上，顶点C,。在圆周上，则 矩形ABCO面积的最大值为（单位：cm）解析：如图所示，连接。C,设|O8|=x（
8、0vx（）,对一切正实数工成立，求。的取值范 围.序a2解：常数0,若9l+2+1对一切正实数x成立，则a+lW9x+J的 最小值，22又9x+?26。，当且仅当9犬=午， 人人即X=W时，等号成立.故必有62。+1,解得。所以的取值范围为4 2a.15.设a,乩c均为正数，且a+8+c=l.证明:(l)ab+be+acW；2 吩 。2 （2）石+7守,证明：（1）由。2+/22H,庐+22儿,血+。222cm得 c-b1 + c1ab+bc-rca.由题设得(+/，+c)2=l,得。z+3 + d+ZH+ZA+Zconl.所以 33。+权、+。)( 1,即 ab+bc+ccig./hr/(2
9、)因为了+力，2，一+。力2，一+22c,CCl2/故石+；Ha+/?+c)22(a+c)(当且仅当时取等号)，(T )r 金即5+l+a+b+c又 a+/?+c、= 1,/ F /所以牛+幺+J21.b c aC拓展探究16. (2020上海中学高一期中)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与 轮船航行速度的平方成正比，比例系数为忆轮船的最大速度为15海里/小时,当 船速为1()海里卜时.时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速 度如何)总计是每小时15()元.假定轮船以速度。匀速航行.求出的值；(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费+航行运作费用)的最小值.解:(1)由题意,设每小时的燃料费为用=切2,因为当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，所以当。=10 时，Wi=96,可得 96=%X1()2,解得-0.96.(2)因为其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.所以航行100海里的时间为绊小时，可得其余航行运作费用为绊X 150= 号元，所以航行100海里的总费用为W=0.96v2 .*+至詈=96。+号凶(0E5).因为 967+223 440 000=2 400,所以当且仅当96。=号2时，即/嘲叫=12.515时,航行100海里的总费用最小，且W最小为2400元.