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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布随机变量及其分布 11-211-2 排列与组合学案理排列与组合学案理考纲展示 1.理解排列与组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能利用排列组合知识解决简单的实际问题考点 1 排列问题1.排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列答案：按照一定的顺序排成一列2排列数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A.答案
2、：所有不同排列的个数3排列数公式及性质公式_ Am n性质(1)A _；(2)0！_n n备注n，mN N*，且mn答案：n(n1)(n2)(nm1) (1)n!(2)1 对排列的概念理解是否正确？(1)当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是- 2 - / 14同一个排列；元素完全不同或元素部分相同或元素相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列( )(2)排列定义规定，给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了( )答案：(1) (2)典题 1 (1)A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，
3、A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A60 种 B48 种 C30 种 D24 种答案 B解析 由题意知，不同的座次有 AA48(种)(2)有 A，B，C，D，E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A，B 两位学生去问成绩，老师对 A 说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名 ”又对 B 说：“你是第三名 ”请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A6 B18 C20 D24答案 B解析 由题意知，名次排列的种数为 CA18.(3)3 名女生和 5 名男生排成一排如果女生全排在一起，
4、有多少种不同排法？如果女生都不相邻，有多少种排法？如果女生不站两端，有多少种排法？其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法？其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？- 3 - / 14解 (捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 A 种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A 种排法，因此共有 AA4 320(种)不同排法(插空法)先排 5 个男生，有 A 种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A 种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，
5、只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A 种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A 种排法，因此共有 AA14 400(种)不同排法解法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A 种排法，其余位置无限制，有 A 种排法，因此共有 AA14 400(种)不同排法8 名学生的所有排列共 A 种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法种数为 A20 160(种)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置解法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有 A 种；甲不在最右边时，可从余下 6 个位置中任选一个，有 A 种而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个位置中
6、的任一个上，有 A 种，其余人全排列，共有 AAA 种由分类加法计数原理，共有 AAAA30 960(种)解法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有 A 种，余下 7个位置全排，有 A 种，但应剔除乙在最右边时的排法 AA 种，因此共有 AAAA30 960(种)解法三(间接法)：8 个人全排，共 A 种，其中，不合条件的有甲- 4 - / 14在最左边时，有 A 种，乙在最右边时，有 A 种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有 A 种因此共有 A2AA30 960(种)点石成金 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元
7、素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法，定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法考点 2 组合问题1.组合从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个_答案：组合2组合数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的_，记作_答案：组合数 Cm n3组合数公式及性质公式 CAm n Am mm n性质(1)C _；0 n(2)C _；m n(3)C CCm nm1nmn1备注
8、n，mN N*，且mn答案：(1)1 (2)C - 5 - / 14(1)教材习题改编从 5 名女同学和 4 名男同学中选出 4 人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有 1 名，则有_种不同的选法答案：120解析：易知有 CCCCCC120(种)不同的选法(2)教材习题改编将 7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有_种(用数字作答)答案：91解析：分类即可，共有 CCC21353591(种)放法.组合问题：关键在于“无序” (1)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组
9、，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是_(用数字作答)答案：590解析：从 12 名医生中选出 5 名的选法有 C792(种)，其中只不选骨科医生的选法有 C1125(种)，只不选脑外科医生的选法有C155(种)，只不选内科医生的选法有 C21(种)，同时不选骨科和脑外科医生的选法有 1 种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有 1人的选派方法种数为 792(12555211)590.(2)某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种，其中某一种假货不能在内，不同的取法有_种答案：5 984解析：从 34 种可选商品中，选取
10、3 种，有 C 种或者 CCC5 - 6 - / 14984(种)某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.典题 2 (1)2017福建三明一中高三第一次月考从 10 名高三年级优秀学生中挑选 3 人担任校长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A85 B56 C49 D28答案 C解析 分两种情况：第一种甲乙只有 1 人入选，则有CC42(种)，第二种甲乙都入选，有 CC7(种)，所以共有42749(种)方法，故选 C.(2)某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种其中某一种假货必须在内，不同的取法
11、有多少种？其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解 从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C561(种)，某一种假货必须在内的不同的取法有 561 种从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C5 984(种)某一种假货不能在内的不同的取法有 5 984 种选取 2 件假货有 CC 种，选取 3 件假货有 C 种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种)至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种选取 3 件的总数有 C 种，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种)-
12、 7 - / 14至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种点石成金 组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.1.2017湖北武汉二模若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A60 种 B63 种C65 种 D66 种答案：D解析：共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数或全为偶
13、数或 2 个奇数和 2 个偶数，共有不同的取法有 CCCC66(种)2现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为_答案：472解析：第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法有 CC264(种)第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C3C22012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法共有 264208472(种)考点 3 分组分配问题- 8 - / 14考情聚焦 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配关于分组问题，有整体均分、部
14、分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象主要有以下几个命题角度：角度一整体均分问题典题 3 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法答案 90解析 先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有 A6(种)方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有A90(种)分派方法角度二部分均分问题典题 4 2017四川内江模拟某科室派出 4 名调研员到 3 个学校，调研该校
15、高三复习备考情况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A144 B72 C36 D48答案 C解析 分两步完成：第一步将 4 名调研员按 2,1,1 分成三组，其分法有种；第二步将分好的三组分配到 3 个学校，其分法有 A 种，所以满足条件的分配方案有A36(种)- 9 - / 14角度三不等分问题典题 5 若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2名，一所 3 名，则有_种不同的分法答案 360解析 将 6 名教师分组，分三步完成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C 种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C
16、种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C 种取法根据分步乘法计数原理，共有 CCC60(种)取法再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A6(种)分法，故共有 606360(种)不同的分法点石成金 解决分组分配问题的三种策略(1)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 A(n 为均分的组数)，避免重复计数(2)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数(3)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都
17、不相等，所以不需要除以全排列数考点 4 排列组合的综合应用典题 6 (1)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A300 B216- 10 - / 14C180 D162答案 C解析 分两类：第 1 类，不取 0，即从 1,2,3,4,5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有 CCA72(个)没有重复数字的四位数；第 2 类，取 0，此时 2 和 4 只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有 CC(AA)108(个)没有重复数字的四位数根据分类
18、加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72108180(个)(2)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答)答案 324解析 当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有 0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是 CAC72；若选出的三个偶数不含 0，此时千位上只能从剩余的非0 数字中选一个放上，方法数是 AC18.故这种情况下符合要求的四位数共有 721890(个)当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是 0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个
19、放上即可，方法数为 CAC72；若选出的偶数不是 0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非 0 数字中选一个放上，方法数是CCAC162.故这种情况下符合要求的四位数共有 72162234(个)根据分类加法计数原理，符合要求的四位数共有- 11 - / 1490234324(个)点石成金 利用先选后排法解答问题的三个步骤从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数和 4 个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3
20、个，有 C 种情况；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，有 C 种情况；第三步，3 个偶数和 4 个奇数进行排列，有 A 种情况所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 CCAA14 400(个)(3)3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 CCAAA5 760(个).方法技巧 1.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直接处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构
21、造模型；(10)正难则反，等价转化- 12 - / 142对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数易错防范 1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关2解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏3解组合应用题时，应注意“至少” “至多” “恰好”等词的含义4对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注
22、意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏真题演练集训 12016江苏卷(1)求 7C4C 的值；(2)设 m，nN*，nm，求证：(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C.(1)解：7C4C740.(2)证明：当 nm 时，结论显然成立当 nm 时，(k1)Ck1k！ m！km！(m1)k1！ m1！k1m1！(m1)C，km1，m2，n.又 CCC，- 13 - / 14所以(k1)C(m1)(CC)，km1，m2，n.因此，(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)(CC)(CC)(m1)C.22015重庆卷
23、端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望解：(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个” ，则由古典概型的概率计算公式有 P(A).(2)X 的所有可能值为 0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X 的分布列为X012P7 157 151 15故 E(X)012.课外拓展阅读 特殊元素(位置)优先安排法解排列组合问题典例 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一
24、排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )A360 B288 C216 D96审题视角 分两步计算：第一步，计算满足 3 位女生中有且只有两位相邻的排法，将 3 位女生分成两组，插空到排好的 3 位男生中；- 14 - / 14第二步，在第一步的结果中排除甲站两端的排法解析 3 位男生排成一排有 A 种排法，3 名女生分成两组其中 2 名排好看成一个整体有 CA 种排法，这两组女生插空到 3 名男生中有 A 种插法，于是 6 位同学排成一排且 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 CAAA432(种)其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有 A 种，两组女生插到 2 名男生中有 A 种插法于是男生甲在排头或排尾，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 2AACA144(种)所以满足条件的排法共有 432144288(种)故选 B.答案 B方法点睛该题涉及两个特殊条件：“男生甲不站两端”与“3 位女生中有且只有两位女生相邻” ，显然对于“男生甲不站两端”这类问题可利用间接法求解，将其转化为“男生甲站两端”的问题，要优先安排男生甲，然后再安排其他元素；对于“三位女生中有且只有两位女生相邻”中的相邻问题利用捆绑法；而不相邻问题可以利用插空法求解