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1、- 1 - / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布概率随机变量及其分布 11-611-6 几何概型学案理几何概型学案理考纲展示 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义考点 1 与长度(角度)有关的几何概型1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果_；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有_答案：(1)有无限多个 (2)等可能
2、性3几何概型的概率计算公式P(A).提醒 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用教材习题改编在区间3,5上随机取一个数 x，则 x1,3的概率为_答案：1 4解析：记“x1,3”为事件 A，则由几何概型的概率计算公式可得 P(A).几何概型的特点：等可能性；无限性给出下列概率模型：- 2 - / 12在区间5,5上任取一个数，求取到 1 的概率；在区间5,5上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；在区间5,5上任取一个整数，求取到大于 1 的数的概率；向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 与正方形 ABCD 的中心的距离不超过 1 cm 的概率其中，是几
3、何概型的有_(填序号)答案：解析：在区间5,5内有无限多个数，取到 1 这个数的概率为 0，故是几何概型；在区间5,5和1,1内有无限多个数(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型；在区间5,5内的整数只有 11 个，不满足无限性，故不是几何概型；在边长为 5 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且点 P 落在这两个区域内的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型典题 1 (1)在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log 1”发生的概率为( )A. B. C. D.1 4答案 A解析 不等式1logx1 可化
4、为 log2loglog ，即x2，解得 0x，故由几何概型的概率公式，得 P.(2)2017河北衡水一模在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点- 3 - / 12C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形的面积大于 20 cm2 的概率为( )A. B. C. D.4 5答案 C解析 设|AC|x，则|BC|12x，所以 x(12x)20，解得 2，三棱锥 SABC 的高与三棱锥 SAPC 的高相同作 PMAC 于 M，BNAC 于 N，则 PM，BN 分别为APC 与ABC 的高，所以，又，所以，- 5 - / 12故所求的概率为(即为长度之比)考点 3 与面积有
5、关的几何概型(1)教材习题改编如图所示，圆中阴影部分的圆心角为 45，某人向圆内投镖，假设他每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为_答案：1 8解析：所求概率为.(2)教材习题改编如图所示，在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 m，n，则图形 面积的估计值为_答案：ma2 n解析：由题意知，不规则图形 的面积正方形的面积mn，所以不规则图形 的面积正方形的面积a2.几何概型：构成事件区域的长度(面积或体积)；几何概型的概率公式设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数，则斜边长小于的概率为_答案：9 64- 6
6、 - / 12解析：设两条直角边长分别为 a，b，由已知可知 a2b2 2，如图所示，所以所求概率P.考情聚焦 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一主要有以下几个命题角度：角度一与平面图形面积有关的问题典题 3 (1)2017广东七校联考如图，已知圆的半径为10，其内接三角形 ABC 的内角 A，B 分别为 60和 45，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形 ABC 内的概率为( )A. B.3 34C. D.163 3答案 B解析 由正弦定理2R(R 为圆的半径)Error!那么 SABC1010sin 75101025(3)- 7 - / 12于是，豆子落在三角形 ABC 内的概
7、率为.S ABC 圆的面积(2)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)的图象上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. B. C. D.1 2答案 B解析 由图形知 C(1,2)，D(2,2)，S 矩形 ABCD6.又 S 阴31，P.角度二与线性规划交汇命题的问题典题 4 (1)在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“xy”的概率，p2 为事件“xy”的概率，则( )Bp2p1Ap1p2 Dp1p2 C.p2p1 答案 D解析 如图，满足条件的 x，y 构成的点(x，y)在
8、正方形 OBCA 内，其面积为 1.事件“xy”对应的图形为阴影ODE，其面积为，故 p1；事件“xy”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，故p2，则 p1p2，故选 D.(2)2017山东枣庄八中模拟在区间1,5和2,6内分别取一- 8 - / 12个数，记为 a 和 b，则方程1(ab)表示离心率小于的双曲线的概率为( )A. B. C. D.31 32答案 B解析 e2125，24，2，即 ab2a.作出表示的区域如图，并作出直线 b2a 与 ba.S 阴443342，所求概率 P.角度三与定积分交汇命题的问题典题 5 2015福建卷如图，点 A 的坐标为(1,0)，点 C 的坐标
9、为(2,4)，函数 f(x)x2，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案 5 12解析 S(4x2)dx， 所求概率 P.点石成金 求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.方法技巧 判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系- 9 - / 12(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体
10、积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域易错防范 1.准确把握几何概型的“测度”是解题的关键几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果真题演练集训 12016新课标全国卷某公司的班车在7：30,8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )A. B. C. D.3 4答案：B解析：由题意画图，由图得等车时间不
11、超过 10 分钟的概率为.22016新课标全国卷从区间0,1随机抽取 2n 个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为( )A. B. C. D.2m n答案：C- 10 - / 12解析：设由构成的正方形的面积为 S，xy1 构成的图形的面积为 S，所以，所以 ，故选 C.32015陕西卷设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为( )B.A. 1 D.C. 1 2答案：D解析：|z|1，即(x1)2y21，表示的是圆及
12、其内部，如图所示当|z|1 时，yx 表示的是图中阴影部分，其面积为S1211.又圆的面积为 ，根据几何概型公式，得概率 P.42016山东卷在1,1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交”发生的概率为_答案：3 4解析：圆(x5)2y29 的圆心为 C(5,0)，半径 r3，故由直线与圆相交可得r，即3，整理得 k2，得k.故所求事件的概率 P.课外拓展阅读 转化与化归思想在几何概型中的应用典例 甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去两人能会面的概率为_- 11 - / 12审题视角 (1)考虑甲、乙两人
13、分别到达某处的时间在平面直角坐标系内用 x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用 0 分到 60 分表示 6 时到 7 时的时间段，则横轴 0到 60 与纵轴 0 到 60 的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在 6 时到 7 时时间段内到达的时间(2)两人能会面的时间必须满足：|xy|15.这就将问题化归为几何概型问题解析 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|xy|15.在如图所示的平面直角坐标系中，(x，y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形区域，而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示由几何概型的概率公式，得P(A)602452 602.所以两人能会面的概率是.答案 7 16方法点睛本题通过设置甲、乙两人到达约定地点的时间这两个变量 x，y，将已- 12 - / 12知转化为 x，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x，y)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解