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1、 数学建模示例数学建模示例 示例之二：七桥问题示例之二：七桥问题示例之四：椅子问题示例之四：椅子问题示例之一示例之一:从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起示例之三：雨中行走问题示例之三：雨中行走问题第1页/共21页通常通常,1,1公斤面公斤面,1,1公斤馅公斤馅,包包100100个汤圆（饺子）个汤圆（饺子）今天，今天，1 1公斤面不变，馅比公斤面不变，馅比 1 1公斤多了，问应多公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？问问题题*圆面积为圆面积为S S的一个皮，包成体积为的一个皮，包成体积为V V的汤圆的汤圆;*若分成若分成n n个
2、皮，每个圆面积为个皮，每个圆面积为s s，包成体积为包成体积为v vV和 nv哪个大?示例之一示例之一:从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起SsssVvvv(共n个)(定性分析定性分析)V比nv大多少?(定量分析定量分析)第2页/共21页假设假设1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状一样模型模型应用应用若若100100个汤圆（饺子）包个汤圆（饺子）包1 1公斤馅公斤馅,则则5050个汤圆个汤圆(饺子饺子)可以包可以包 公斤馅公斤馅R大皮半径V是nv是倍1.41.4r小皮半径两个k1（和k2）一样(1),(2),(3)第3页/共21页示例之二示例之二:七桥问题七桥问题问问题题 1818世世纪
3、纪的的德德国国有有个个哥哥尼尼斯斯堡堡城城，在在流流贯贯全全城城的的普普雷雷尔尔河河两两岸岸和和河河中中两两个个岛岛之之间间架架设设了了七七座座桥桥，把把河河的的两两岸岸和和两两岛岛连连接接起起来来。当当时时流流行行着着一一个个难难题题：能否有这样一种走法，它通过每座桥一次且仅一次。能否有这样一种走法，它通过每座桥一次且仅一次。第4页/共21页第5页/共21页一一个个图图中中存存在在一一笔笔画画的的充充要要条条件件是是必必须须同同时满足：时满足：(1)(1)从从图图中中任任意意一一点点出出发发，通通过过某某些些边边一一定能到其它任意一点，即线图是连通的。定能到其它任意一点，即线图是连通的。(2
4、)(2)与与图图中中每每一一顶顶点点(可可能能有有两两点点例例外外)相相连的边必须是偶数条。连的边必须是偶数条。从线图可知不存在一笔图从线图可知不存在一笔图,因而因而七桥问题无解七桥问题无解欧拉指出欧拉指出第6页/共21页第7页/共21页示例之三：雨中行走问题示例之三：雨中行走问题1.1.问题问题 人人们们外外出出行行走走，途途中中遇遇雨雨，未未带带雨雨伞伞势势必必淋淋雨雨。自自然然就就会会想想到到，走走多多快快才才会会少淋雨呢少淋雨呢?第8页/共21页 2 2、假设、符合说明、假设、符合说明 严严格格说说该该问问题题比比较较复复杂杂，我我们们这这里里只只讨讨论论简简单单情情形形，只只考考虑虑
5、人人在在雨雨中中沿沿一一直直线线从从一一处处向向另另一一处处行行进进时时，雨雨的的速速度度已已知知，问问行行人人走走的的速速度度多多大大才才能能使使淋雨量最少淋雨量最少?为了使问题解决时简单，适当选择坐标系，用为了使问题解决时简单，适当选择坐标系，用 表示人的速度，表示人的速度，表示雨速，表示雨速，表示行表示行走的距离，则行走的时间为走的距离，则行走的时间为 。由于人体外表形状。由于人体外表形状比较复杂，我们假设人体为长方体，其前、侧、顶的比较复杂，我们假设人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为面积之比为1：第9页/共21页3 3、建立模型、建立模型由上面的假设可知单位时间淋雨量为由上面的假设
6、可知单位时间淋雨量为总淋雨量为总淋雨量为其中其中 。因此，雨中行走问题可抽象成如下的数学问题：因此，雨中行走问题可抽象成如下的数学问题：已知已知 ，求，求 为何值时为何值时 最小最小?第10页/共21页4 4、求解、讨论、求解、讨论下面分几种情况讨论：下面分几种情况讨论：（1 1）时时第11页/共21页当当 时，如下图。时，如下图。当当 时，如下图时，如下图易知，仅当易知，仅当 时，时，才使才使 取最小值，取最小值，第12页/共21页(2)时时结论结论：仅当仅当 时，应取时，应取 可以使前后不淋雨，可以使前后不淋雨，则总淋雨量最小，其它情况下都应使尽可能地大。则总淋雨量最小，其它情况下都应使尽
7、可能地大。由图形可知，不论由图形可知，不论 为为何何值值都都无无最最小小值值。同同样样，我我们们还还可以对可以对 和和 时的情形进行讨论时的情形进行讨论。第13页/共21页示例之四：椅子问示例之四：椅子问题题问题：问题：问题源于日常生活中，把四只脚椅子放在不问题源于日常生活中，把四只脚椅子放在不平面地，通常只有三只脚着地，放不稳，但只需稍平面地，通常只有三只脚着地，放不稳，但只需稍挪动几下，就可以使四脚同时着地，放稳。现在的挪动几下，就可以使四脚同时着地，放稳。现在的问题是要证实这种现象。问题是要证实这种现象。（1 1）模型准备）模型准备 问题已经很清楚问题已经很清楚,不需要作其他的准备不需要
8、作其他的准备.下面我们用数学工具来证实，为此，需要对下面我们用数学工具来证实，为此，需要对椅子和地面作一些必要的假设。椅子和地面作一些必要的假设。第14页/共21页（2 2）模型假设）模型假设 (1)(1)对椅子：对椅子：假设椅子四只脚一样长，椅脚与地面接假设椅子四只脚一样长，椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈正方形。触处视为一个点，四脚的连线呈正方形。(2)(2)对地面：对地面：地面高度是连续变化的，沿任何方向都不地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面为连续曲面。会出现间断，即地面为连续曲面。(3)(3)对椅子与地面相对关系：对椅子与地面相对关系：对于椅子脚的间距和椅对
9、于椅子脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，因而能使椅子在脚的长度而言，地面是相对平坦的，因而能使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。任何位置至少有三只脚同时着地。第15页/共21页（3 3）模型建立）模型建立中心问题是用数学语言把椅子四脚同时着地的条件和中心问题是用数学语言把椅子四脚同时着地的条件和 结论表示出来。结论表示出来。ABCDOxyDBCA引入变量引入变量 表示位置表示位置引入函数表示椅子脚到引入函数表示椅子脚到地面的距离地面的距离 A、C B、D第16页/共21页由假设由假设2 2可知，可知，为的连续函数为的连续函数由假设由假设3 3可知，对任一可知，对任一 ，和至少有一个为零和至少有一个为零数学模型就是这样一个数学命题数学模型就是这样一个数学命题:在上述条件下在上述条件下,要证：要证：第17页/共21页不妨设：时，不妨设：时，（4 4）模型求解）模型求解模型求解：即要证明上述命题模型求解：即要证明上述命题 令令 是连续是连续且且将椅子旋转将椅子旋转 ，则对角线，则对角线ACAC与与BDBD互换互换 这样就证明了这一个数学命题这样就证明了这一个数学命题,数学模型求解完毕数学模型求解完毕.第18页/共21页（7 7）模型应用）模型应用（5 5）模型分析）模型分析（6 6）模型检验）模型检验第19页/共21页第20页/共21页感谢您的观看。第21页/共21页