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1、1所涉及到的函数的所涉及到的函数的 Laplace 在下面给出的基本性质中，在下面给出的基本性质中，且且 变换均假定存在，它们的变换均假定存在，它们的增长指数增长指数均假定为均假定为 c。对于涉及到的一些运算对于涉及到的一些运算(如如求导求导、积分积分、极限极限及及求和求和等等)的次序交换问题，均不另作说明。的次序交换问题，均不另作说明。9.2 Laplace 变换的性质第1页/共35页2性质 证明 (略略)一、线性性质与相似性质 1.线性性质 P216 P216 第2页/共35页3解第3页/共35页4解第4页/共35页5令 证明 性质 一、线性性质与相似性质 2.相似性质(尺度性质)P217
2、 第5页/共35页6二、延迟性质与位移性质1.延迟性质 则对任一非负实数 有 设当 t 0 时 性质 令 证明 P222 P222 第6页/共35页7二、延迟性质与位移性质1.延迟性质 则对任一非负实数 有 设当 t 0 时 性质 可见，在利用本性质求逆变换时求逆变换时应为：因此，本性质也可以直接表述直接表述为：注意 在延迟性质中专门强调了当在延迟性质中专门强调了当 t 0 时时 这一这一约定约定。第7页/共35页8已知解 方法一方法一 方法二方法二 两种方法为什么会得到不同的结果？两种方法为什么会得到不同的结果？根据延迟性质延迟性质有 方法二方法二 先平移再充零先平移再充零 P222 例例9
3、.12 方法一方法一 先充零再平移先充零再平移 第8页/共35页9解 由于 根据延迟性质延迟性质有 设 求 例 P223 例例9.13 修改修改 第9页/共35页10证明 (略略)例如 性质 2.位移性质 P223 二、延迟性质与位移性质第10页/共35页11因此当 时，有 三、微分性质性质 证明 由 有 即得 1.导数的象函数 P217 P217 第11页/共35页12 Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程方程(组组)的初值问题。的初值问题。9.4 将专门介绍将专门介绍 ）（三、微分性质1.导数的象函数 性质 其中，应理解为 一般
4、地，有 第12页/共35页13解 利用导数的象函数性质来求解本题利用导数的象函数性质来求解本题 以及 有 由 故有 P218 例例9.7 第13页/共35页14由 有 证明 三、微分性质2.象函数的导数 性质 一般地，有 同理可得 P218 第14页/共35页15根据象函数的导数象函数的导数性质有 解 已知 P219 例例9.8 第15页/共35页16根据线性性质线性性质以及象函数的导数象函数的导数性质有 解 已知 P219 例例9.9 第16页/共35页17根据位移性质位移性质有 解 已知 再由象函数的导数象函数的导数性质有 第17页/共35页18四、积分性质1.积分的象函数 性质 证明 令
5、 由微分性质微分性质有 则 且 即得 P219 P219 第18页/共35页19四、积分性质1.积分的象函数 性质 一般地，有 第19页/共35页20再由积分性质积分性质得 根据微分性质微分性质有 解 已知 第20页/共35页21一般地，有 四、积分性质2.象函数的积分 性质 证明 (略略)第21页/共35页22根据象函数的积分象函数的积分性质有 已知 解 即 在上式中，如果令在上式中，如果令 s=0，则有，则有启示 在在 Laplace 变换及其性质中，如果取变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值，为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。就可以用来求一些函数的广义积分。利用拉氏变
6、换利用拉氏变换计算广义积分计算广义积分P220 例例9.10 第22页/共35页23 部分部分基本性质汇总基本性质汇总线性性质 相似性质 延迟性质 第23页/共35页24微分性质积分性质 部分部分基本性质汇总基本性质汇总位移性质 第24页/共35页25证明 记为记为 其中，令令 即得 性质 五、周期函数的像函数P223 第25页/共35页26函数 的周期为 解 故有 P224 例例9.14 第26页/共35页27六、卷积与卷积定理1.卷积 当 时，如果函数满足：按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指 则有 显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。P224 第27页
7、/共35页28解 P224 例例9.15 第28页/共35页29六、卷积与卷积定理2.卷积定理 定理证明 左边=D (跳过跳过?)?)第29页/共35页30定理 六、卷积与卷积定理2.卷积定理 证明 左边=令令 记为记为 其中 左边=右边。第30页/共35页31故有 解 由于 P225 例例9.16 第31页/共35页32利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：在在 Laplace 变换及其性质中，如果取变换及其性质中，如果取 s 为某些为某些特定特定的值，的值，就可以用来求一些函数的广义积分。就可以用来求一些函数的广义积分。注意在注意在 使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下一下 s 的取值范围以及广义积分的存在性。的取值范围以及广义积分的存在性。P221 注注 第32页/共35页33由 解 得 利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：P221 例例9.11(1)第33页/共35页34已知 解 由积分性质积分性质有 即得 (返回返回)利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：P221 例例9.11(2)第34页/共35页35感谢您的观看。第35页/共35页