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1、一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式 1.公式推导 函数 的 Laplace 变换 就是函数 的 Fourier 变换，即 在 的连续点 t 处，有 (2)根据 Fourier 逆变换，(1)由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知，推导 第1页/共25页一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式 1.公式推导 在 的连续点 t 处，有 (2)根据 Fourier 逆变换，推导 (3)将上式两边同乘 并由 有 即得 第2页/共25页称(B)式为反演积分公式。定义 该直线处于 的存在域中。注 反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 c P227(9.16)式
2、 一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式 2.反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对:第3页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法1.留数法 利用留数计算反演积分。则 设函数 除在半平面 内有有限个孤立奇点 定理 且当 时，外是解析的，证明 (略)P227定理 9.2 (进入证明?)第4页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法2.查表法 此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。利用 Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的 Laplace变换来求逆变换。大多数情况下，象函数 常常为(真)分式形式：其中，P(s)和 Q(s)是实系数多项式。由
3、于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法 很容易得到象原函数。常用 (真分式的部分分式分解)第5页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法2.查表法 几个常用的 Laplace 逆变换的性质 第6页/共25页二、求 Laplace 逆变换的方法2.查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换 第7页/共25页(1)(单根)解 方法一 利用查表法求解 有 (2)由 2 3 第8页/共25页解 方法二 利用留数法求解 (1)为 的一阶极点，(2)第9页/共25页(重根)(1)解 方法一 利用查表法求解 1 -1 -1 有 (2)由 P228 例9.17 第10页/共25页解 方法二
4、利用留数法求解 (1)分别为 的一阶与二阶极点，(2)第11页/共25页(1)解 方法一 利用查表法求解 (复根)令 得 令 得 2 第12页/共25页解 (1)方法一 利用查表法求解 (重根)2 (2)由 得 第13页/共25页解 方法二 利用留数法求解(略讲)(1)为 的一阶极点，(2)第14页/共25页解 方法一 利用查表法求解 方法二 利用留数法求解 分别为 的一阶与二阶极点，第15页/共25页解 方法三 利用卷积定理求解 方法四 利用积分性质求解 第16页/共25页 轻松一下第17页/共25页利用留数计算反演积分的定理证明 附：证明 如图，作闭曲线 大时，可使 的所有奇点包含 当 R
5、 充分 在 C 围成的区域内。R L CR 解析 由留数定理有：由若尔当引理(5.3),当 时，即得 (返回)第18页/共25页将上式两边同乘以 得 1.Q(s)含单重一阶因子的情况 若 Q(s)含单重一阶因子 即 则 将实系数真分式 化为部分分式 附：令 即得 第19页/共25页2.Q(s)含多重一阶因子的情况 若 Q(s)含多重一阶因子 即 则 将上式两边同乘以 得 将实系数真分式 化为部分分式附：第20页/共25页2.Q(s)含多重一阶因子的情况 两边逐次求导，并令 即得 令 即得 将实系数真分式 化为部分分式附：第21页/共25页将实系数真分式 化为部分分式附：上面讨论了 含单重和多重
6、一阶因子的情况，如果是 在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。即如果复数 为 的零点，那么它的共轭复数 也必为 的零点。因此，必含有(实的)由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。二阶因子 第22页/共25页则 将上式两边同乘以 得 3.Q(s)含单重二阶因子的情况 将实系数真分式 化为部分分式附：若 Q(s)含单重二阶因子 即 令 有 第23页/共25页3.Q(s)含单重二阶因子的情况 将实系数真分式 化为部分分式附：令 有 则 求出系数 C 和 D 后，则 的逆变换不难得到：4.Q(s)含多重二阶因子的情况 (略)(返回)第24页/共25页感谢您的欣赏第25页/共25页