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1、12.1 引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统用微分方程描述。为在频域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时域函数转换到频域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，系统用差分方程描述。第1页/共122页2 频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。第2页
2、/共122页32.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义(2.2.1)为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：(2.2.2)第3页/共122页4 为求FT的反变换，用e jn乘(2.2.1)式两边，并在 -内对进行积分，得到(2.2.3)(2.2.4)式中 因此 第4页/共122页5 上式即是FT的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例
3、如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。第5页/共122页6 例 2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT 解：(2.2.5)设N=4，幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。第6页/共122页7 图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线 第7页/共122页82.2.2 序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立 M为整数(2.2.6)因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这样X(ej)可以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。第8页/共122页9图 2.
4、2.2 cosn的波形 第9页/共122页10 2.线性 那么 设 式中a,b为常数 3.时移与频移 设X(e j)=FTx(n)，那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)第10页/共122页11 4.FT的对称性 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)第11页/共122
5、页12 对比上面两公式，左边相等，因此得到 xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)第12页/共122页13 将x0(n)表示成实部与虚部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到 xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)-xoi(-n)(2.2.15)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。第13页/共122页14 例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性
6、 解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此x(n)=x*(-n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。第14页/共122页15 对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)利用(2.2.16)和(2.2.17)两式，得到(
7、2.2.18)(2.2.19)第15页/共122页16 利用上面两式，可以分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)(2.2.10)式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足 Xe(ej)=X*e(e-j)(2.2.21)Xo(ej)=-X*o(e-j)(2.2.22)同样有下面公式满足：(2.2.23)(2.2.24)第16页/共122页17 (a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到 X(e j)=Xe(e j)+
8、Xo(e j)式中 第17页/共122页18 上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明Xe(ej)满足(2.2.21)式，有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ej)满足(2.2.22)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。第18页/共122页19 最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：第19页/共122页20
9、将上面两式分别进行FT，得到FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)因此对(2.2.25)式进行FT得到：X(ej)=XR(ej)+jXI(ej)(2.2.26)(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。第20页/共122页21 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是
10、奇函数，用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)第21页/共122页22 按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到 h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：(2.2.27)第22页/共122页23(2.2.28)实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)(2.2.30)第23页/共122页24(2.2.31)例 2
11、.2.3 x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)按(2.2.2)式得到第24页/共122页25按照(2.2.28)式得到第25页/共122页26图 2.2.3 例2.2.3图 第26页/共122页27 5.时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n),则 Y(e j)=X(e j)H(e j)(2.2.32)证明令k=n-m 第27页/共122页28 该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算
12、，也可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。第28页/共122页29 6.频域卷积定理 设y(n)=x(n)h(n)(2.2.33)第29页/共122页30 7.帕斯维尔(Parseval)定理(2.2.34)第30页/共122页31 帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(e j)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。最后表2.2.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。第31页/共122页32表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 第32页/共122页332.3 周期序列的离散傅里叶
13、级数 及傅里叶变换表示式 2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数(2.3.1)式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和 第33页/共122页34 (2.3.2)式的证明，作为练习自己证明。因此 上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，可表示成(2.3.2)-k (2.3.3)取整数 第34页/共122页35 上式中 也是一个以N为周期的周期序列，称为 的离散傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。如对(2.3.4)式两端乘以 ，并对
14、k在一个周期中求和，得到同样按照(2.3.2)式，得到 (2.3.5)将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：第35页/共122页36 (2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2 N-1，幅度为 。其波分量的频率是2/N，幅度是 。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。(2.3.6)(2.3.7)第36页/共122页37 例 2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8，求 的DFS。解：按照(2
15、.3.4)式第37页/共122页38 第38页/共122页39 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中，其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数，强度是2，即 (2.3.8)对于时域离散系统中，x(n)=e jon，2/o为有理数，暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样，也是在=0处的单位冲激函数，强度为2，但由于n取整数，下式成立 取整数第39页/共122页40 上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2如科2.3.2所示。但这种假定如果成立，要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证，按照(2.2.4)式因此e j0n的FT为 (2
16、.3.9)第40页/共122页41图 2.3.2 的 FT 第41页/共122页42 观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数，等式右边为 ，因此得到下式：对于一般周期序列，按(2.3.4)式展开DFS，第k次谐波为 ，类似于复指数序列的FT，其FT为 ，因此 的FT如下式第42页/共122页43 式中k=0,1,2 N-1,如果让k在之间变化，上式可简化成(2.3.10)第43页/共122页44 表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换 第44页/共122页45对(a)式进行FT，得到第45页/共122页46 例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：将例2.3.1中得到的 代入
17、(2.3.10)式中得到其幅频特性如图2.3.3所示。第46页/共122页47例 2.3.3令 ，2/0为有理数，求其FT。解：将 用欧拉公式展开(2.3.11)按照(2.3.9)式，其FT推导如下：第47页/共122页48 上式表明cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。第48页/共122页49图 2.3.4 cos0n的FT 第49页/共122页502.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2)第50页/共122页51 这里t与的域
18、均在之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：采样信号 和连续信号xa(t)，它们傅里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式描述，重写如下：第51页/共122页52 下面我们研究如果时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有有下面关系式成立：x(n)=xa(nT)(2.4.3)注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重写如下：第52页/共122页53 X(e j)与Xa(j)之间有什么关系，数字频率与模
19、拟频率(f)之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(2.4.3)式开始研究。将t=nT代入(2.4.2)式中，得到(2.4.4)第53页/共122页54 在第一章中曾得到结论，如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系，如(1.2.10)式所示，重写如下：=T 式中T是采样周期T=1/fs，将(1.2.10)式代入(2.4.5)式得到 现在对比(2.4.1)式和(2.4.6)式，得到(2.4.6)(2.4.7)第54页/共122页55 上面(2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换X(ej)和模拟信号xa(t)的傅
20、里叶变换Xa(j)之间的关系式，我们将(2.4.7)式与(1.5.5)式对比，得到结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的FT之间的关系一样，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓。第55页/共122页56 例 2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采相信号 和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：(2.4.8)第56页/共122页57 Xa(j)是=2f0处 的 单 位 冲 激 函 数，强 度 为，如 图2.4.2(a)所示。以fs=200
21、Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ，按照(1.5.2)式，与xa(t)的关系式为 的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以s=2fs为周期，将Xa(j)周期延拓形成，得到：第57页/共122页58(2.4.9)如图2.4.2(b)所示。将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)按照(2.4.7)式，得到x(n)的FT，只要将=/T=fs代入 中即可。第58页/共122页59 将fs=200Hz，f0=50Hz代入上式，求括弧中公式为零时值，=2k/2，因此X(ej)用下式表示：(2.4.10)第59页/共122页60 图 2.4.2 例2.4.1
22、图第60页/共122页612.5 序列的Z变换 2.5.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为(2.5.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式(2.5.2)第61页/共122页62 使(2.5.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示 这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用双边Z变换对信号进行分析和变换。(2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即(2.5.3)第62页/共122页63图 2.5.1 Z变换的收敛域 第
23、63页/共122页64 对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：(2.5.4)第64页/共122页65 式中z=e j表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，|z|1 第65页/共122页66 2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的
24、。1.有限长序列 如序列x(n)满足下式：x(n)n1nn2 x(n)=0 其它第66页/共122页67 即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为 设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与丙点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：第67页/共122页68 n10，n20时，0z n10时，00时，0z 例 2.5.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：第68页/共122页69 这是一个因果的有限长序列，
25、因此收敛域为0z。2.右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。第69页/共122页70 第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域定为Rx-|z|。第70页/共122页71 例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列 左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为 第71页/共122页72 如果n20,z=0点收敛
26、，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0|z|0，则收敛域为0|z|Rx+。例 2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：第74页/共122页75 第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变
27、换如下式：|a|z|a|-1 如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0aa，求其逆Z变换x(n)。第79页/共122页80 为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n0时，n=0不是极点。n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。n0 时，第80页/共122页81 n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，此处n0，只要N-N0，(2.5.10)式就满足。图 2.5.4 例2.5.6中n|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)
28、|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a-1|种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此 第84页/共122页85 最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和第85页/共122页86 最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，
29、按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=a x(n)=ResF(z),a=an第86页/共122页87 n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)=x(n)=a|n|a-n n0 第87页/共122页88 1-az-1 第88页/共122页89 例 2.5.9 已知求 其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数 第89页/共122页90 3.部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式
30、展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式 第90页/共122页91 观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。(2.5.11)(2.5.12)(2.5.13)(2.5.14)求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。第91页/共122页92 例2.5.10已知 ，求逆Z变换。解 第92页/共122页93 因为收敛域为2|
31、z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。第93页/共122页94 表2.5.1 常见序列Z变换 第94页/共122页95第95页/共122页96 2.5.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),R m-|z|R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。2.序列的移位 设X(z)=ZTx(n),R
32、x-|z|R x+则ZTx(n-n0)=z-n0X(z),R x-|z|R x+(2.5.16)第97页/共122页98 3.乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+y(n)=anx(n),a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z)|a|R x-|z|a|R x+(2.5.17)第98页/共122页99 4.序列乘以n设 则(2.5.18)第99页/共122页100 5.复序列的共轭 设则 证明(2.5.19)第100页/共122页101 6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)(2.5.20)7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z
33、变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则(2.5.21)第101页/共122页102 8.序列卷积 设 则 第102页/共122页103 例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。第103页/共122页104由收敛域判定y(n)=0,n0。n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a第104页/共122页105将y(n)表示为 9.复卷积定理如果 ZTx(
34、n)=X(z)，R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z),R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则第105页/共122页106W(z)的收敛域(2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(2.5.24)(2.5.25)(2.5.26)第106页/共122页107 例 2.5.12已 知 x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若 w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：第107页/共122页108 W(z)收 敛 域 为|a|z|；被 积 函 数 v平 面 上 收 敛 域 为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,
35、c内极点z=a。第108页/共122页109 10.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。那么 v平面上，c所在的收敛域为第109页/共122页110 2.5.5 利用Z变换解差分方程 在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为(2.5.30)1.求稳态解 如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对(2.5.30)式求Z变换，得到第110页/共122页111式中(2.5.31)(2.5.32)第111页/共122页112 2.求暂态解 对于
36、N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因 果 序 列，即 x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。第116页/共122页1172.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j)(2.6.1)一般称H(e j)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。第117页/共122页118 设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分
37、方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(2.6.2)如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与H(z)之间关系如下式：(2.6.3)第118页/共122页119 2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因 果(可 实 现)系 统 其 单 位 脉 响 应 h(n)一 定 满 足 当 n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求 ，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|，0r1 第11
38、9页/共122页120 例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。第120页/共122页121 (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列。第121页/共122页课件122感谢您的观看。第122页/共122页