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1、会计学1西安交大高数西安交大高数42问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法一、第一类换元法第1页/共38页在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理第2页/共38页第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.定理定理1 1第3页/共38页例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）第4页/共38页例例2 2 求求解解一般地一般地第5页/共
2、38页例例3 3 求求解解第6页/共38页例例4 4 求求解解第7页/共38页例例5 5 求求解解第8页/共38页例例6 6 求求解解一：一：第9页/共38页解二：解二：第10页/共38页例例7 7 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.第11页/共38页例例8 8 求求解解第12页/共38页例例9 9 求求解：解：类似地可推类似地可推出出第13页/共38页例例1010 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）第14页/共38页解解（二）（二）类似地可推类似地可推出出第15页/共38页例例
3、11 求求解：解：第16页/共38页积积 分分 公公 式式第17页/共38页问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法第18页/共38页证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第19页/共38页第二类积分换元公式第二类积分换元公式第20页/共38页例例1010 求求解解 令令第21页/共38页例例1111 求求解解 令令第22页/共38页例例1 12 求求解解 令令第23页/共38页说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几
4、例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令第24页/共38页 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例1 13 求求令令解一：解一：第25页/共38页解二：解二：令令第26页/共38页例例1414 求求解解 令令第27页/共38页说明说明(3)(3)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例1515 求求解解令令第28页/共38页第29页/共38页三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、根式代换三角代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)第30页/共38页练练 习习 题题第31页/共38页第32页/共38页第33页/共38页第34页/共38页练习题答案练习题答案第35页/共38页第36页/共38页第37页/共38页