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1、水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念第1页/共61页以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为第2页/共61页解解根据题意有所求方程为第3页/共61页根据题意有化简得所求方程解解第4页/共61页例例4 4 方程 的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底解解第5页/共61页以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程
2、）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程第6页/共61页二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴播放播放第7页/共61页旋转过程中的特征：如图将 代入第8页/共61页将 代入得方程第9页/共61页解解 圆锥面方程第10页/共61页例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转双曲面第11页/共61页旋转椭球面旋转抛物面第12页/共61页播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲
3、线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.第13页/共61页柱面举例抛物柱面平面第14页/共61页从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面 /轴双曲柱面 /轴抛物柱面 /轴第15页/共61页二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面形状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加
4、以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四、二次曲面第16页/共61页（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与三个坐标面的交线：第17页/共61页椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面 的交线为椭圆同理与平面 和 的交线也是椭圆.第18页/共61页椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为与平面 的交线为圆.第19页/共61页球面球面截面上圆的方程方程可写为第20页/共61页（二）抛物面（二）抛物面（与 同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面 与曲面
5、相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.第21页/共61页与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭圆的中心中心都在 轴上.与平面 不相交.（2）用坐标面 与曲面相截截得抛物线第22页/共61页与平面 的交线为抛物线.它的轴平行于 轴顶点（3）用坐标面 ，与曲面相截均可得抛物线.同理当 时可类似讨论.第23页/共61页特殊地：当 时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）与平面 的交线为圆.当 变动时，这种圆的中心中心都在 轴上.第24页/共61页双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：图形如下：xyzo（与 同号）设第25页/共61页
6、（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点 的椭圆.第26页/共61页与平面 的交线为椭圆.截得中心在原点的双曲线.实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.当 变动时，这种椭圆的中心中心都在 轴上.（2）用坐标面 与曲面相截第27页/共61页双曲线的中心中心都在 轴上.与平面 的交线为双曲线.（3）用坐标面 ，与曲面相截均可得双曲线.第28页/共61页双叶双曲面双叶双曲面第29页/共61页曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线).五、小结椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）第30页/共61页思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？第31页/共61页思考题解答思考题解答平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程第32页/共61页练练 习习 题题第33页/共61页第34页/共61页第35页/共61页练习题答案练习题答案第36页/共61页感谢您的观看！第61页/共61页