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1、会计学1西安交大高数西安交大高数318洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容第1页/共48页1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理第2页/共48页2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.第3页/共48页3 3、柯西中值定理、柯西中值定理推论推论第4页/共48
2、页4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.第5页/共48页5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理第6页/共48页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式第7页/共48页6 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法第8页/共48页定义定义(2)函数的
3、极值及其求法函数的极值及其求法第9页/共48页定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.第10页/共48页定理定理(第一充分条件第一充分条件)定理定理(第二充分条件第二充分条件)第11页/共48页求极值的步骤求极值的步骤:第12页/共48页步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点
4、及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题第13页/共48页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义第14页/共48页第15页/共48页定理定理1 1第16页/共48页方法方法1:1:方法方法2:2:第17页/共48
5、页利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5)函数图形的描绘函数图形的描绘第18页/共48页第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势其他变化趋势;第五步第五步第19页/共48页(6)弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式第20页/共48页定义定义第21页/共48页例例1 1解解二、典型例题第22页/共48页这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.第23页/共48页例例2 2解解第24页/共48页例例3 3证证由介值定理由介值定理,第25页/共48页注意到注意到
6、由由,有有+,得得第26页/共48页例例4 4证证第27页/共48页例例5 5证证第28页/共48页 ,则有则有第29页/共48页例例6 6解解第30页/共48页若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有于是有第31页/共48页解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为第32页/共48页例例7 7解解奇函数奇函数第33页/共48页第34页/共48页列表如下列表如下:第35页/共48页极大极大值值拐点拐点极小极小值值第36页/共48页作图作图第37页/共48页测测 验验 题题第38页/共48页第39页/共48页第40页/共48页第41页/共48页第42页/共48页第43页/共48页第44页/共48页第45页/共48页测验题答测验题答案案第46页/共48页七、七、第47页/共48页