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1、（1）并且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数第1页/共71页复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2
2、.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:第2页/共71页yxorM(x,y)第3页/共71页例、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，参数方程为(为参数)第4页/共71页椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角一般地：一般地：在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a a、b b分别是椭圆的长半轴长和短半分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长轴长.ab.ab第5页/共71页椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角一般
3、地：一般地：在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a a、b b分别是椭圆的长半轴长和短半分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长轴长.ab.ab第6页/共71页练习 把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)第7页/共71页说明：说明：这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OMOM的倾斜角不同的倾斜角不同.双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 相相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.第8页/共71页抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)第9页/共71页小结:参数
4、方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从 整体上消去。化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。第10页/共71页 步骤：（步骤：（1 1）消参；）消参；（2 2）求定义域；）求定义域；第11页/共71页例4 思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？第12页/共71页复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方
5、程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？第13页/共71页例4 第14页/共71页小小 结结 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角一般地：一般地：在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a a、b b分别是椭圆的长半轴长和短半分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长轴长.ab.ab第15页/共71页练习 把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)第16页/共71页直线的参数方程(标准式）思考：（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？（2）参数t的取值范围是什么？（3）该参数方程形式上有什么特点？2
6、.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:第17页/共71页|t|=|M0M|xyOM0M解:所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义,要牢记第18页/共71页注意向量工具的使用.此时,若t0,则 的方向向上;若t0,0,b b0)0)为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆C C1 1,C C2.2.设设A A为圆为圆C C1 1上任一点上任一点,作直线作直线OAOA,过过A A作圆作圆C C1 1的切线的切线AAAA 与与x x交于点交于点A A,过圆过圆C C2 2与与x x轴的交点轴的交点B B作圆作圆C C2 2的切线的切线BBBB 与直线
7、与直线OAOA交于点交于点B B。过点过点AA,B B 分别作分别作y y轴轴,x x轴的平行线轴的平行线A A MM,B B MM交于点交于点MM,设设OAOA与与OXOX所成角为所成角为(0,20,2),),/2,/2,3/2)3/2)求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程,并说出点并说出点MM的轨迹。的轨迹。研究双曲线研究双曲线的参数方程的参数方程第43页/共71页 A ABBB BOOy yx xMM AA第44页/共71页baoxy)MBA事实上事实上第45页/共71页(t 是参数,t 0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4第46页/共71页例例1.1.求点求点
8、MM0 0(0,2)(0,2)到双曲线到双曲线x x2 2y y2 2=1=1上点的最小距离。上点的最小距离。第47页/共71页不妨设不妨设MM为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线则直线MAMA的方程为的方程为 解得点解得点A A的横坐标为的横坐标为 平行四边形平行四边形MAOBMAOB的面积为的面积为 由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形MAOBMAOB的面积恒为定值，的面积恒为定值，与点与点MM在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关第48页/共71页说明：说明：这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OMOM的倾斜角不同的倾斜角不
9、同.双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 相相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.第49页/共71页例3第50页/共71页 例例4 4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A A2 2A A1 1B BA Ay yx xOO证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为取顶点取顶点A A2 2(a,0),(a,0),弦弦AB AB OxOx，弦弦ABAB对对A A1 1张直角，张直角，同理对同理对A A2 2也张直角也张直
10、角第51页/共71页MMOOy yx xBBAA 例例5 5 已知双曲线，已知双曲线，A A，B B是双曲线同支上相异两点，线段是双曲线同支上相异两点，线段ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与x x轴相交于点轴相交于点P ,P ,求证：求证：，解：设解：设A A，B B坐标分别为坐标分别为则中点为则中点为MM于是线段于是线段ABAB中垂线方程为中垂线方程为将将 代入上式代入上式,(A A，B B相异相异)，第52页/共71页 例例6 6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。第53页/共71页第54页/共71页抛物线的参数方
11、程第55页/共71页MMF FOOY YX XA A前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻 t t 为参数的抛物线的参数方程为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程为例，其中为例，其中p p为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。第56页/共71页 设设M(x,y)M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OMOM为终边的角记作为终边的角记作 显然，当显然，当 在在 内变化时，点内变化时，点MM在抛物线上运动，并且在抛物线上运动，并且对于对于 的每一个值，在抛物
12、线上都有唯一的点的每一个值，在抛物线上都有唯一的点MM与之对应，因此，与之对应，因此，可以取可以取 为参数来探求抛物线的参数方程为参数来探求抛物线的参数方程.因为点因为点MM在在 的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得由方程由方程(为参数为参数)这是抛物线这是抛物线(不包括顶点不包括顶点)的参数方程的参数方程.第57页/共71页如果令如果令则有则有（t t为参数）为参数）(为参数为参数)当当t=0t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),(0,0),因此，当因此，当 时，时，（t t为参数）为参数）就表示整条抛物线参数就表示
13、整条抛物线参数 t t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数倒数第58页/共71页C练习第59页/共71页 例例1 1 如图，如图，OO为原点，为原点，A,BA,B为抛物线为抛物线 上异于顶点的两动点，且上异于顶点的两动点，且OAOA OBOB，OMOM ABAB于于MM，求点，求点MM的轨迹方程的轨迹方程第60页/共71页当点当点A,BA,B在何位置时在何位置时,AOB,AOB面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？第61页/共71页第62页/共71页 练习 已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1C2
14、，求m的取值范围。代入得 cos2+4cos+2m-1=0所以 t2+4t+2m-1=0 在-1,1内有解；第63页/共71页 3 3 已知已知A,B,CA,B,C是抛物线是抛物线 y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的三个点，且上的三个点，且BCBC与与x x轴垂直，直线轴垂直，直线ABAB和和ACAC分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于D,ED,E两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分DE.DE.练习第64页/共71页 4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线
15、OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点坐标为同理B点坐标(2pk2,-2pk)第65页/共71页 5 5 已知椭圆已知椭圆 上任意一点上任意一点MM，(除短轴端点外除短轴端点外)与短轴端点与短轴端点B B1 1,B,B2 2的连线的连线分别与分别与x x轴交于轴交于P,QP,Q两点，两点，OO为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|OP|OQ|为定值。为定值。第66页/共71页 练习练习 对于一切实数，若对于一切实数，若 直线直线 与曲线与曲线 恒有公共点，则恒有公共点，则mm的范围是：的范围是：A B C D直线恒过直线恒过点点当直线与曲线恒有公
16、共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足第67页/共71页第68页/共71页MM如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作x轴垂线轴垂线,垂足为N,过点B作y轴垂线轴垂线,BMAN,垂足为M,x xOOy yA AN NB B设以设以OxOx为始边，为始边，OAOA为终边的角为为终边的角为，点点MM的坐标是的坐标是(x,y)(x,y)。那么点那么点A A的横坐标为的横坐标为x x，点，点B B的纵坐标为的纵坐标为y y。由于点由于点A,BA,B均在角均在角 的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有:y yNMNMx
17、xONON 这是中心在原点这是中心在原点O,O,焦点在焦点在x x轴上轴上的椭圆的参数方程。的椭圆的参数方程。常数常数a a、b b分别是椭圆的长半轴分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定在椭圆的参数方程中，通常规定参数参数 的范围为的范围为|OA|cos|OA|cosacosacos，|OB|sin|OB|sinbsinbsin 第69页/共71页OAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程:是AOX=,不是MOX=.称为点称为点MM的离心角的离心角 第70页/共71页感谢您的观看！第71页/共71页