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1、圆锥曲线的圆锥曲线的参数方程参数方程椭圆的参数方程椭圆的参数方程为为参参数数） (sincosryrx为为参参数数） (sincosrbyrax复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a, b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a, b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的交点,过点过点A作作ANOx,垂
2、足为垂足为N,过点过点B作作BMAN,垂足为垂足为M,)(sincos为参数为参数的参数方程为的参数方程为 byaxM0,2 )OAMxyNB椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1bya2222 x椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=, 不是不是MOX=.12222 byax sincosbyax2 , 012222 aybx
3、sincosaybx练习练习 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy(1)22116yx (2)3 cos5 sinxy(3)8 cos10 sinxy(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx)(sin2cos3为参数为参数 yx9322331tan 6 sin2cos3yx)1,233( xyOM(3cos ,2sin)3cosy2sinx5min d14922 yx14922 yxyXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy
4、 例例2、已知椭圆、已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。双曲线的参数方程双曲线的参数方程 )0, 0( 12222 babyax,1上上在圆在圆因为点因为点CA ,sin,cos baA的坐标为的坐标为 ,sin,cos baOA 所所以以 sin,cosaaxAA , AAOA 因因为为从从而而所所以以, 0 AAOA . 0sincoscos2 aaxa记记解解得得.cos ax .sec,seccos1 ax 则则,的终边上的终边上在角在角因为点因为点 B.tan,tan byby 即即由由三三角角函函数数定定义义有有的轨迹的参数方程为
5、的轨迹的参数方程为点点所以所以M, 1cossincos1222 因为因为, 1tansec22 即即,的的轨轨迹迹的的普普通通方方程程为为后后得得到到点点从从消消去去参参数数所所以以M ,这是中心在原点这是中心在原点.轴轴上上的的双双曲曲线线焦焦点点在在x .23,2,2 , 0 且且的的范范围围为为通通常常规规定定参参数数 由圆的参数方程得点由圆的参数方程得点.tan,sec byax 为参数为参数 baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosasec ,asec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数所
6、以的轨迹方程是为参数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数, t 0)化为普通方程化为普通方程, 画出方程的曲线画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是 参 数表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.练习练习:的两个焦点坐标。的两个焦点坐标。、求双曲线、求双曲线 tan34sec323 yx( 2 15,0)13yx 3sec2()_tanxy、双曲线为参数 的渐近线方程为4 ?,.,0,122222以以发发
7、现现什什么么结结论论由由此此可可的的面面积积探探求求平平行行四四边边形形两两点点近近线线交交于于分分别别与与两两渐渐行行线线作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平过过点点为为原原点点上上任任意意一一点点为为双双曲曲线线，设设如如图图例例MAOBBAMObabyaxM AMBOxyAMBOxy.xaby 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为解解 ,tan,sec ba )sec(tan axabby 代代入入把把xaby )tan(sec2 axA )tan(sec2 axBB点点横横坐坐标标同同理理 aAOx 设设ab tan 2sin|OBOASMAOB 平行四边形平行四边形 2sin
8、coscos BAxx 2sincos4tansec2222 a.22tan222ababaa sec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：30,2 )22通常规定且，。22221xyab22sec1tan 222222minmin(sec ,tan )sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,34431QOQOQPQ 解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时22221:(2)11OxyPxyQPQ例 、已知圆上一点与双曲线上一点，求 、两点距离的最小值例例3),tan,sec( aaB)tan,sec( aa
9、A 则则222ayx ,sectan,sectan22aaakaaakBAAA 122 BAAAkk)0, 0( 12222 babyax)0 ,(0 xabax220| )tan,sec( ba)tan,sec( ba)tan(tan2 b)sec(sec2( a )sec(sec2)tan(tan)sec(sec)tan(tan2 axbaby)0(,0 xP)sec(sec2220 abaxabax220| 2|secsec| )10000(215001002gttgtytx 为参数，且为参数，且pxy22 )2,2( tan xypxy22 tan2tan22pypx tan1 t),
10、 0()0 ,( t ptyptx222 tan2tan22pypx),( t ptyptx2222121212121212121,1,)(,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx 、，、所在直线的斜率是所在直线的斜率是则弦则弦所对应的参数分别是所对应的参数分别是，上异于原点的不同两点上异于原点的不同两点为参数为参数、若曲线、若曲线212221212122221ttptptptptkMM 的轨迹方程。的轨迹方程。的中点，求点的中点，求点为线段为线段点点，上的动点，给定点上的动点，给定点为抛物线为抛物线、设、设PMMPMxyM002)0 , 1(22 C练习练习，和和别是别
11、是两点对应的参数方程分两点对应的参数方程分解：由于解：由于2121,ttMM的坐标分别为的坐标分别为和和则可得点则可得点21MM，)2 ,2(),2 ,2(22221211ptptMptptM)0(22 ppxy1, 0)2()2(21212221 ttttptpt所以所以即即),(,yxBAM的坐标分别为的坐标分别为解：设点解：设点)0,)(2 ,2(),2 ,2(2121222121 ttttptptptpt且且)2 ,2(),2 ,2(),(222121ptptOBptptOAyxOM 则则)(2),(2(122122ttpttpAB , 0, OBOAOBOA所以所以因为因为三点共线，
12、三点共线，且且BMAyptxptMB,)2 ,2(222 , 0, OBOMABOM所所以以由由0)(2)(2122122 ttpyttpx, 0)(21 yttx)0(21 xxytt即即),2,2(121ptyptxAM 的轨迹方程的轨迹方程这就是点这就是点即即Mxpxyx)0(0222 )2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 02)(2121 xtpttty化简，得化简，得02)( xpxyy.42pAOB的面积最小，最小值为的面积最小，最小值为 12)2()2(21121221 ttpptptOA12)2()2(22222222 ttpptptOB)1()1(22
13、221212 ttttpSAOB2222212 ttp4)(22212 ttp24p 轴对称时，轴对称时，关于关于，即当点，即当点当且仅当当且仅当xBAtt,21 ）点）点）为半径的圆（除去（为半径的圆（除去（为圆心，为圆心，）的轨迹方程是以（的轨迹方程是以（另一个交点另一个交点的两根，的两根，为方程为方程即即为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为以以为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为则以则以（）设）设（法（法0 , 00 ,)0(0212)(022,022022)2 ,2(),2 ,22222221222212222212122222121ppQxpxyxpxyxttyxpytpxtttyp
14、txptyxOByptxptyxOAptptBptptA 练习练习 已知椭圆已知椭圆C1: 及抛物及抛物线线C2: y2=6(x-3/2)；若；若C1C2，求，求m的取值范围。的取值范围。)(sin3cos2为参数为参数 ymx代入得代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1, 1内有解；内有解；。平平分分线线段段所所以以抛抛物物线线的的顶顶点点的的中中点点为为原原点点因因为为DEODE),0 , 0(),2 ,2)(2 ,2(,222121ptptptptBA的坐标分别为的坐标分别为证明：设点证明：设点)2,2(222ptptC 的坐标为的坐标为则
15、点则点)2(1221211ptxttptyAB 的方程为的方程为直线直线)0 ,2(21tptD 的坐标为的坐标为所以点所以点)2(1221211ptxttptyAC 的方程为的方程为直线直线)0 ,2(21tptE的坐标为的坐标为所以所以练习练习 4 经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的顶点的顶点O任作两条互相任作两条互相垂直的线段垂直的线段OA和和OB，以直线，以直线OA的斜率的斜率k为参数，求线为参数，求线段段AB的中点的中点M的参数方程。的参数方程。解：直线解：直线OA的方程为的方程为y=kx，直线，直线OB的方程为的方程为xky1- 由由y2=2px和和y=kx，得，得A点坐标
16、为点坐标为)2,2(2kpkp同理同理B点坐标点坐标(2pk2,-2pk)(22为为参参数数kpkkpypkkpx 则则的坐标为的坐标为设点设点),(yxM,2222222pkkppkkpx pkkppkkpy 222的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的中点的中点所以，线段所以，线段MAB12222 byax1 kxy), 0(sincos5为参数为参数 mmyx)5 ,1()5,0( ,55 , 1 ,1A B C D)1 ,0(1 m1 m直线的参数方程直线的参数方程请同学们回忆请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式两点式:112121yy
17、xxyyxx 点斜式点斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式一般式:0()AxByCA B， 不不同同时时为为零零2121yyxx tan 000()Mxy 已已知知一一条条直直线线过过点点， ，倾倾斜斜角角 ，求求这这条条直直线线的的方方程程. .00tan()yyxx 解解：直直线线的的普普通通方方程程为为00sin()cosyyxx 把把它它变变成成00sincosyyxx 进进一一步步整整理理，得得：00.sincosyyxxtt令令该该比比例例式式的的比比值值为为 ，即即00cos()sinxxttyyt 整整理理，得得到到是是参参数数M0(x0，y0)M(x,y)e (
18、cossin ) ，00000()()()M Mx yxyxxyy，解：在直线上任取一点解：在直线上任取一点M(x，y)，则，则(cossin)ele 设设是是直直线线 的的单单位位方方向向向向量量，则则，00/M MetRM Mte因因为为，所所以以存存在在实实数数，使使，即即00()(cossin)xxyyt，00cossinxxtyyt所所以以，00cossinxxtyyt即即，00cossinxxttyyt 所所以以，该该直直线线的的参参数数方方程程( (为为为为参参数数) )xOy0M Mtelt 由由，你你能能得得到到直直线线 的的参参数数方方程程中中参参数数的的几几何何意意义义吗
19、吗？| t | = | M0M |M0Me00| |M MteM Mte解解：，|1ee又又因因为为 是是单单位位向向量量，0| | |.M Mtet所以，直线参数方程中参数所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点M到定点到定点M0的距离的距离.这就是这就是 t 的几何的几何意义，要牢记意义，要牢记xOy21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直线线与与抛抛物物线线交交于于， 两两点点，求求线线段段的的长长度度和和点点， 到到 ，两两点点的的距距离离之之积积. .分析分析:3.点点M是否在直线上是否在直线上1.用普通方程去解还用普通方程
20、去解还是用参数方程去解；是用参数方程去解；2.分别如何解分别如何解.ABM(-1，2)xyO解：因为把点解：因为把点M的坐标代入直的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所线方程后，符合直线方程，所以点以点M在直线上在直线上.31cos4()32sin4xttyt 为为参参数数34 易易知知直直线线的的倾倾斜斜角角为为，所所以以直直线线的的参参数数方方程程可可以以写写成成：21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直线线与与抛抛物物线线交交于于， 两两点点，求求线线段段的的长长度度和和点点， 到到 ，两两点点的的距距离离之之积积. .M(-1，2)ABxOy212()22
21、2xttyt 即即为为参参数数22220.yxtt 把把它它代代入入抛抛物物线线方方程程，得得1221021022tt解解得得，t由由参参数数 的的几几何何意意义义得得12|10ABtt，121 2| | | |2.MAMBttt tM(-1，2)ABxOy12121212()0.(1)(2)f x yMMttM MM MMt 直直线线与与曲曲线线，交交于于，两两点点，对对应应的的参参数数分分别别为为 ，曲曲线线的的弦弦的的长长是是多多少少？线线段段的的中中点点对对应应的的参参数数 的的值值是是多多少少？121212(1)| |(2).2M Mttttt ；001212121212cos1.(
22、sin().|.|.|.|xxttyytattABA BAttBttCttDtt 直直线线为为参参数数）上上有有参参数数分分别别为为 和和 对对应应的的两两点点 和和 ，则则 ， 两两点点的的距距离离为为B 1212121212cos2()sin()|.2222xattybtB CttBCMttttttttABCD . .在在参参数数方方程程为为参参数数 所所表表示示的的曲曲线线上上有有， 两两点点，它它们们对对应应的的参参数数值值分分别别为为 、 ，则则线线段段的的中中点点对对应应的的参参数数值值是是B1123.()3522 30(15)_.xttytxy 一一条条直直线线的的参参数数方方程
23、程是是为为参参数数 ，另另一一条条直直线线的的方方程程是是，则则两两直直线线的的交交点点与与点点 ，间间的的距距离离是是4 312444022043120lxylxylxy. .求求直直线线 ：与与 ：及及直直线线 ：所所得得两两交交点点间间的的距距离离. .9 17145. 动点动点M作匀速直线运动，它在作匀速直线运动，它在x轴和轴和y轴方轴方向的分速度分别是向的分速度分别是3cm/s和和4cm/s，直角坐标，直角坐标系的长度单位是系的长度单位是1cm，点，点M的起始位置在点的起始位置在点M0(2，1)处，求点处，求点M的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.32()41xttyt 为为参参数数3
24、25()415xttyt 为为参参数数 sin2036()()cos20. 20. 70.110.160 xttytABCD . .直直线线为为参参数数 的的倾倾斜斜角角是是el 我我们们知知道道， 是是直直线线 的的单单位位方方向向向向量量，那那么么它它的的方方向向应应该该是是向向上上还还是是向向下下的的？还还是是有有时时向向上上有有时时向向下下呢呢？0tM M我我们们是是否否可可以以根根据据 的的值值来来确确定定向向量量思思考考的的方方向向呢呢？0sin0sin0eeee 由由于于 是是直直线线的的倾倾斜斜角角，因因此此，当当时时，又又因因为为表表示示 的的纵纵坐坐标标，所所以以的的纵纵坐
25、坐标标都都大大于于 ，那那么么 的的终终点点就就会会都都在在第第一一，二二象象限限，所所以以 的的方方向向就就总总会会向向上上. .000000.tM MtM MtMM 此此时时，若若，则则的的方方向向向向上上；若若，则则的的方方向向向向下下；若若，则则点点与与重重合合例例: 动点动点M作等速直线运动，它在作等速直线运动，它在 x 轴和轴和 y 轴方轴方向分速度分别为向分速度分别为 9，12，运动开始时，点，运动开始时，点 M 位于位于A(1，1)，求点，求点 M 的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程. 19()112xttyt为为参参数数请思考请思考: 此时的此时的t有没有明确的几有没有明确的几
26、何意义何意义?没有没有直线的参数方程可以写成这样的形式直线的参数方程可以写成这样的形式:220221| |cossin.1abttM Mababt 当当时时， 有有明明确确的的几几何何意意义义，它它表表示示， 此此时时我我们们可可以以认认为为，为为倾倾斜斜角角. .当当时时， 没没有有明明确确的的几几何何意意义义. . 那那么么， 如如何何转转化化，可可以以使使参参数数具具有有几几何何意意义义呢呢？00()xxattyybt 为为参参数数 cos42cos7.()sin2sin()()53.664425.3366xtxtytyABCD直直线线为为参参数数 与与圆圆为为参参数数 相相切切，则则直
27、直线线倾倾斜斜角角 为为或或或或或或或或 2248.()410 xattxyxybt 若若直直线线为为参参数数 与与曲曲线线相相切切，则则这这条条直直线线的的倾倾斜斜角角等等于于_._.233或或222(2 1)1164yxMlA BMABl例例经经过过点点， 作作直直线线 ，交交椭椭圆圆于于 ， 两两点点. . 如如果果点点恰恰好好为为线线段段的的中中点点，求求直直线线 的的方方程程. .22121222cos(2 1)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80|4(cos2sin).3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt 解解：设设过过点点， 的的直直线线 的的参参数数方
28、方程程为为为为参参数数 代代入入椭椭圆圆方方程程得得由由 的的几几何何意意义义知知，因因为为点点在在椭椭圆圆内内，这这个个方方程程必必有有两两个个实实根根，所所以以1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy 因因为为点点为为线线段段的的中中点点，所所以以，即即，于于是是直直线线 的的斜斜率率为为，因因此此直直线线 的的方方程程为为，即即例例3 当前台风中心当前台风中心P在某海滨城市在某海滨城市O向东向东300km处处生成，并以生成，并以40km/h的速度向西偏北的速度向西偏北45度方向移动度方向移动. 已知距台风中心已知距台风中心250km以内的地方都属于台
29、风侵以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭台风侵袭?PMOyx(300 0)250OOPxPOkmOMOOO解解：取取 为为原原点点，所所在在直直线线为为 轴轴，建建立立直直角角坐坐标标系系，如如图图，则则点点 的的坐坐标标为为， ，以以 为为圆圆心心，为为半半径径作作圆圆 ，当当台台风风中中心心移移动动后后的的位位置置在在圆圆内内或或以以圆圆 上上时时，城城市市 将将受受到到台台风风侵侵袭袭. .222250()30040cos135(0)40sin13530020 2(0).20 2OxytMx yMxtlttyt
30、xtttyt 圆圆 的的方方程程为为，设设经经过过时时间间 后后，台台风风中中心心的的坐坐标标为为， ，根根据据条条件件知知台台风风中中心心移移动动形形成成的的直直线线 的的方方程程为为为为参参数数，即即为为参参数数，222(30020 220 2 )(30020 2 )(20 2 )25015 25 715 25 7442.08.62MttOOttttth 当当点点，在在圆圆 内内或或在在圆圆 上上时时有有，解解得得由由计计算算器器计计算算得得， 的的范范围围约约为为，所所以以，大大约约在在后后该该城城市市开开始始受受到到台台风风侵侵袭袭. .思考：思考：在例在例3中，海滨城市中，海滨城市O
31、受台风侵袭大概持续多长时受台风侵袭大概持续多长时间？间？如果台风侵袭的半径也发生变化如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径比如：当前半径为为250km，并以，并以10km/h的速度不断增大的速度不断增大)，那么，那么问题又该如何解决？问题又该如何解决？1. 直线参数方程直线参数方程2. 利用直线参数方程中参数利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化的几何意义，简化求直线上两点间的距离求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用注意向量工具的使用.00cos()sinxxttyyt 是是参参数数探究探究:直线的直线的参数方程形式参数方程形式是不是唯一的是不是唯一的| t | = | M0M |00()xxattyybt 为为参参数数221abt当当时时，才才具具有有此此几几何何意意义义其其它它情情况况不不能能用用. .