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1、所表示的曲面称为所表示的曲面称为二次曲面二次曲面.讨论二次曲面的性质使用讨论二次曲面的性质使用截痕法截痕法：用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状曲面的性状.7.6 二次曲面一、一、椭球面椭球面1.范围范围:|x|a,|y|b,|z|c.图形在图形在 x=a,y=b,z=c 所围成的长方所围成的长方体内体内.2.对称性对称性:图形关于三个坐标面、三个坐标轴及图形关于三个坐标面、三个坐标轴及原点对称原点对称.3.截截 痕痕 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的
2、交线：的交线：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为球面球面方程可写为方程可写为二、抛物面二、抛物面（与与 同号）同号）(1)范围范围:若若p 0且且q 0,则则 图形在图形在 xOy 平面上方，否则在平面上方，否则在 xO y 平面下方平面下方.(2)对称性对称性:图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面平面
3、对称对称.1、椭圆抛物面、椭圆抛物面(3)截截 痕痕 10 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.与平面与平面 不相交不相交.20 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点 3 0 用坐标面用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.zxyo
4、xyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：特殊地：特殊地：当当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.2.双曲抛物面（马鞍面）(1)范围范围:x,y,z R,曲面可向各方向无限延伸曲面可向各方向无限延伸.(2)对称性对称性:图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面平面对称对称.(3)截 痕 (设p 0,q 0)用平面用平面z=z0 (z0 0)截曲面所得截痕为双曲线截曲面所得截痕为双
5、曲线 用平面用平面x=x0 与与 y=y0 截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为这是两条抛物线这是两条抛物线.双曲抛物面图形如下：图形如下：xyzo三、双曲面1.单叶双曲面单叶双曲面(2)对称性对称性:图形关于三个坐标轴、三个坐标面图形关于三个坐标轴、三个坐标面以及原点都对称以及原点都对称.(1)范范围围:故曲面在椭圆柱面故曲面在椭圆柱面的外部；的外部；(3)截 痕用平面用平面z=z0 截曲面所得截痕为椭圆：截曲面所得截痕为椭圆：用平面用平面x=x0,y=y 0截曲面所得截痕为：截曲面所得截痕为：这是两条双曲线这是两条双曲线.单叶双曲面 xyoz的图形如下：的图形如下：思考题思考题:的形状如何？的形状如何？2.双叶双曲面思考题思考题:的图形怎样的图形怎样？xyoz例例1 将二次曲面将二次曲面z=f(x,y)=xy用正交变换化为标准用正交变换化为标准形，并由此判断是何形，并由此判断是何 曲面？曲面？解解 z=x y 为为双曲抛物面双曲抛物面.存在正交变换存在正交变换 X=CY，其中，其中 使使