《线性代数与空间解析几何.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数与空间解析几何.ppt（94页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、线性代数与空间解析几何哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲王宝玲2007.92007.912 一、教学内容 线性代数线性代数(抽象抽象)为了解决多变量问题为了解决多变量问题 形成的学科形成的学科.（代数为几何提供了便利（代数为几何提供了便利 的研究工具的研究工具,几何为代数几何为代数 提供了直观想象的空间提供了直观想象的空间).解析几何解析几何(直观直观)相相互互支支撑撑相相互互促促进进3二、课程特点l 内容抽象内容抽象l 概念多，符号多概念多，符号多l 计算原理简单但计算量大计算原理简单但计算量大l 证明简洁但技巧性强证明简洁但技巧性强l 应用广泛应用广泛4掌握三
2、基掌握三基基本概念基本概念(定义、符号定义、符号)基本理论基本理论(定理、公式定理、公式)基本方法基本方法(计算、证明计算、证明)提前预习提前预习体会思路体会思路多动手，勤思考多动手，勤思考深入体会思想方法深入体会思想方法培养培养自学自学能力能力，独立分析问题，独立分析问题能力能力 和独立解决问题的和独立解决问题的能力能力三、学习方法三、学习方法51.线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何习题解答习题解答哈工大数学系编（偏工）教材科有哈工大数学系编（偏工）教材科有.2.线性代数与空间解析几何学习指导线性代数与空间解析几何学习指导 俞正光俞正光(清华清华)等编，科学出版社等编，科学出版社.
3、3.线性代数复习指导线性代数复习指导恩波组编，胡金恩波组编，胡金德德(清华清华)国家行政学院出版社国家行政学院出版社.4.代数与几何考研辅导代数与几何考研辅导答疑室答疑室BX215.四、教学参考书四、教学参考书61.上课上课关手机关手机，不迟到不迟到!2.答疑时间答疑时间:每周二、四每周二、四 11:50 13:30.答疑地点答疑地点:BX215.3.交作业时间交作业时间:周一至周五周一至周五 9:00 16:00.交作业地点交作业地点:BX215(程老师程老师).(每章结束后一周内以班为单位上交）每章结束后一周内以班为单位上交）五、教学要求五、教学要求7线性代数与空间解析几何第一章n 阶行列
4、式阶行列式哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲王宝玲2007.92007.98l行列式的定义行列式的定义l行列式的性质行列式的性质l行列式的计算行列式的计算lCramerCramer法则法则9设二元线性方程组为设二元线性方程组为1011 当系数行列式当系数行列式 D 0时时,则方程组有唯则方程组有唯一解一解,其解可表示为其解可表示为:12则方程组的解为则方程组的解为例例1 1 求解方程组求解方程组 13如果定义三阶行列式如下如果定义三阶行列式如下(对角线法则对角线法则）：那么对三元一次方程组那么对三元一次方程组在系数行列式在系数行列式 D 0 时时,14其中其中例例
5、2 215问题问题1：怎样定义怎样定义n阶行列式阶行列式?例如例如 12 n 是一个是一个n阶排列阶排列,叫自然排列叫自然排列.1.1.2 1.1.2 全排列的逆序数、对换全排列的逆序数、对换16在一个排列在一个排列 中中,如果一个大如果一个大数排在小数的前面数排在小数的前面,则称这两个数构则称这两个数构成一个成一个逆序逆序.一个排列的逆序总数称一个排列的逆序总数称为为逆序数逆序数,表示为表示为l 如果如果为偶数为偶数,则称为则称为偶排列偶排列.为奇数为奇数,则称为则称为奇排列奇排列.定义定义l 如果如果17例例3 3因为因为所以所以 23541 是一个奇排列是一个奇排列.例例4 418l 对
6、换对换:在一个排列中互换两个数位置在一个排列中互换两个数位置的的 变动变动(其它数不动其它数不动).).对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.需要进行需要进行 2s+1 次相邻对换次相邻对换.定理定理1 1所以对换改变排列的奇偶性所以对换改变排列的奇偶性.19奇排列奇排列s个个偶排列偶排列t个个(1,2)(1,2)对换对换对换对换(1,2)(1,2)对换对换对换对换全部全部 n(2)阶排列中奇偶排列阶排列中奇偶排列各占一半各占一半.定理定理2 220 用排列观点总结三阶行列式用排列观点总结三阶行列式:1.1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义21定义定义记一阶行列式记一阶行列式此行列式可
7、简记此行列式可简记或或n阶行列式定义阶行列式定义:22l由由 个元素组成个元素组成;l为为 n!项代数和项代数和;l 每项为取自不同行列的每项为取自不同行列的n个元素之积个元素之积;l 行按自然顺序取时行按自然顺序取时,每项符号由列标排每项符号由列标排 列的奇偶性决定列的奇偶性决定.23证明对角形行列式证明对角形行列式,上上(下下)三角形行三角形行列式都等于其主对角元素的乘积列式都等于其主对角元素的乘积,即即例例5 524以下三角行列式为例来证明以下三角行列式为例来证明.l 先决定所有可能的非零项先决定所有可能的非零项l 其次决定非零项的符号其次决定非零项的符号25其中其中*表示此处元素可以是
8、任意的数表示此处元素可以是任意的数.例例6 626 这个行列式的值一般并不等于这个行列式的值一般并不等于当当 n=4,5 时时:当当 n=6,7 时时:问题问题 2:如何决定下面一般项的符号如何决定下面一般项的符号?27l 根据这个结论根据这个结论,也可以把行列式表示为也可以把行列式表示为:l 行列式还有其它的定义方式行列式还有其它的定义方式l 一般行列式不用定义来求值一般行列式不用定义来求值l 主要利用行列式性质求值主要利用行列式性质求值28定义定义为为D的的转转置置行行列列式式(转置转置)行列互换值不变行列互换值不变,即即，称称1.2 n 阶行列式的性质阶行列式的性质29(换法换法)换行换
9、行(列列)换号换号,即即性质性质2 230两行两行(列列)同值为零同值为零,即即推论推论31(倍法倍法)把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的所的所有元素同乘以数有元素同乘以数k,等于用数等于用数k乘以乘以这个行列式这个行列式,即即性质性质3 332如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)成比例，成比例，则则该行列式为零该行列式为零推论推论1 1如果行列式某一行如果行列式某一行(列列)有公因子有公因子k时时,则该公因子则该公因子k可以提到行列式符号的可以提到行列式符号的外面外面33(分拆分拆)如果行列式某行如果行列式某行(列列)的所有的所有元素都是两数之和，则该行列式为元素都是两数之和，则
10、该行列式为两个行列式之和两个行列式之和,即即性质性质4 4343536性质性质5 537总结行列式性质总结行列式性质性质性质1性质性质2推论推论性质性质3推论推论 性质性质4 性质性质5换行换行(列列)变号变号.两行两行(列列)同同，值为零值为零.某行某行(列列)乘数乘数 k=kD.两行两行(列列)成比例成比例,值为零值为零.D可按某行可按某行(列列)分拆成两行列式之和分拆成两行列式之和.D某行某行(列列)乘数乘数 k 加至另行加至另行(列列),行列式值不变行列式值不变.(转置转置)(换法换法)(倍法倍法)(消法消法)38计算计算例例7 7解解 通过行变换将通过行变换将D化为上三角行列式化为上
11、三角行列式3940设有四阶行列式设有四阶行列式:则展开式中则展开式中x4的系数是的系数是().(A)2;(B)2;(C)1;(D)1.解解 含含x4的项只有一项的项只有一项例例8 841已知已知计算计算例例9 942解解4344 下面讨论将下面讨论将n阶行列式转化为阶行列式转化为n-1-1阶行阶行列式计算的问题列式计算的问题,即即1.3 行列式展开定理行列式展开定理4546在行列式在行列式中中例例101047若若 D 的第的第 i 行元素除行元素除 外都是零，外都是零，引理引理行行(列列)的所有元素与其对应的代数的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和余子式的乘积之和,即即定理定理3 3484
12、9n阶行列式阶行列式 ,则则定理定理4 450证证及降阶法将及降阶法将 G G 按按 j j 行展开有行展开有第第 i 行行第第 j 行行511.定义法定义法利用利用n阶行列式的定义计算阶行列式的定义计算;2.三角形法三角形法利用性质化为三角形行列式来利用性质化为三角形行列式来 计算；计算；3.降阶法降阶法利用行列式的按行利用行列式的按行(列列)展开展开 性质对行列式进行降阶计算；性质对行列式进行降阶计算；4.加边法加边法(升阶法升阶法););5.递推公式法；递推公式法；6.6.归纳法归纳法.总结总结 n行列式的计算方法行列式的计算方法52计算计算 n 阶行列式阶行列式(行和相同行和相同)例例
13、1 1535455例例2 256计算计算n+1+1阶行列式阶行列式(爪形爪形)其中其中例例3 357解解5859证明证明n阶阶(三对角三对角)行列式行列式例例4 460对行列式阶数对行列式阶数n用数学归纳法证明用数学归纳法证明n=2 时时，结论成立结论成立.n=1 时时，结论成立结论成立.61则对于则对于n阶行列式阶行列式 按第一行展开有按第一行展开有设设n-1,-1,n-2-2时结论成立时结论成立,62证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式例例5 563用数学归纳法证明用数学归纳法证明n=2 时时，结论成立结论成立.假设对假设对n-1-1阶行列式结论成立阶行列式结论成立,
14、下证下证n阶成立阶成立 从第从第 n 行开始行开始,每一行减去前一行的每一行减去前一行的x1倍倍,目的是把第一列除目的是把第一列除1以外的元素都以外的元素都化为零化为零.然后按第一列展开然后按第一列展开,并提取各列并提取各列的公因子的公因子,可以得到可以得到:6465 或者利用递推公式或者利用递推公式 由上述递推结果即可得到结论由上述递推结果即可得到结论.661.4 1.4 克莱姆（克莱姆（Cramer)法则法则67即即6869推论推论1 170推论推论2 271例例1 17273典型例题典型例题74练练 习习若行列式若行列式D的某一行元素的代数余子式的某一行元素的代数余子式 全是零全是零,则
15、这个行列式则这个行列式D=.2.2.若若4 4阶行列式阶行列式D的某一行的所有元素及其的某一行的所有元素及其 余子式都相等余子式都相等,则则D=.3.3.在一个在一个n阶行列式阶行列式D中中,如果等于零的元如果等于零的元素多于素多于 个个,则则D =.1.1.75不计算行列式值，利用性质证明不计算行列式值，利用性质证明证证 令令4.4.76由于由于是是 的三次多项式的三次多项式,且且77因此有因此有78计算行列式的值计算行列式的值5 579解解806.6.81828384已知已知计算（计算（1 1）7.85解解=3=2586 分析分析:a相当于第相当于第2行的元素乘上的第行的元素乘上的第4 行的代数余子式行的代数余子式,根据行列式的性根据行列式的性 质质,应该为应该为0,答案为答案为(C).设设a=4A41+8A42+5A43+6A44,则则a的值为的值为:(A)-2;(B)-1;(C)0;(D)2.8 8.设有四阶行列式设有四阶行列式879.9.88解解8990 10.10.证证 设设919293预预 习习 第第 二二 章章(-)Bye!94