《6.3 二项式定理 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6.3 二项式定理 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (教师版).docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、二项式定理知识剖析1二项式展开式(a + 匕)n = C an + C an b + + CJ an-rbr + + 式 bn(n e N*)2二项展开式的通项公式Tr+1 =牖 a br3二项式系数表(杨辉三角)(a + b)，展开式的二项式系数，当九依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1,除1以外的每 一个数都等于它肩上两个数的和.1(a 4 *)11(a +4二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(；飕=晶-m),直线r =T是图象的对称轴.(2)增减性与最大值:nn-i n+1当九是偶数时，中间一-项以取得最大值；当日是奇数时，中间两项，C
2、3，C取得最大值.(3)二项式系数和:。+程+鬣+ G +/=2%奇数项的系数等于偶数项的系数等于2时1,PS (1 + %)n =/ + 盘 x + + C： / + + Cxn令= 1,则2八=以+禺+鬣+， + +或，令 = 一1,则或一禺+ % + + (-1)4=0,奇数项的系数等于偶数项的系数等J-2-1.特别提醒.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式7；+i = C4 炉.另外二项展开式的二项式系数与该项的 (字母)系数是两个不同的概念，前者只是指琢，而后者是指字母外的部分.1 .在使用通项公式+1 =品an-r /时，要注意通项公式是表示第r+1项，而不是第r项.化为熟悉的问题
3、是求解数学题的常用思考模式.【典题 2若(1 + %) + (1 + x)2 4- 4- (1 4- x)n = a0 + axx + a2x2 + + anxn,且% + a? + + an-i =125-n,则下列结论正确的是()A. n = 6B. (l + 2x尸展开式中二项式系数和为729C. (1 +x) 4-(1 + x)2 + (1 +展开式中所有项系数和为126D. Qi + 2。2 + 3q3 HF nan = 321【解析】对于4(1 + %) + (1 + %)2 + + (1 + x)n = a。+ arx + a2x2 + + anxn,.较易得到 a()= n,
4、0n =1,令无=1,可得2 4- 22 + 4- 2n = a。+ % + a2 + + an = n + (125 n) + 1 = 126= 2一：)= 126 = n = 6,故4正确； 12对于B,(1 + 2尸展开式中二项式系数和为2 = 26 = 64,故8错误；对于C,(1 + x) + (1 + x)2 + + (1 + x)n 展开式中所有项系数和=2 + 22 + + 271 = 126,故C正确；对于。，v (1 + %) + (1 + %)2 + + (1 + x)6 = a0 + axx + a2x2 + a6x6,两边求导得1 + 2(1 + X) + 3(1 +
5、 x)2 -F 6(1 + x)s =% + 2a2x + 3a3x2 + + 6a6x5令 = 1 得% + 2a2 + 3a3 + - + 6a6 = 1 + 4 + 12 + 32 + 80 + 192 = 321,故。正确.故选:ACD.【点拨】对于D选项，% + 2a2 + 3。3 +九品，每项的以前还有个系数，在原展开式中令x取什么值都无法得到这形式，对展开式两边取导数再给工取数是个巧妙的方法.巩固练习1()多选题已知(2 + %)(1 2%) = Q()+ %+。5好 + 06”，则( )A.劭的值为2B.的值为16C. % + g +。3 +。4 +。5 +。6 的值为-5D.
6、 % + % +。5 的值为 12。【答案】ABC【解析】:已知(2 + x)(l 2x)5 =劭 + axx + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6, 令等式中的尸0,可得ao=2,故A正确.45的值，即展开式中.V5的系数，为2 X (-2)5/ + (-2)4噂=16,故45=16正确.在所给的等式中，令入 =1 ,得 ao+a 1 +2+。3+。4+。5+。6= - 3，乂 40=2,0+42+43+44+45+46=-5,故 C 正确；在所给的等式中，令A- 1 ,得40 。1+2 S+4L5+6=243，由得：0+S+的=-123,。错误.故选：ABC
7、.2()多选题已知(2广=a0 4- Qi(x1) 4-。2(%l)? + +a10(x1)10,则下列结论正确的有()A. a0 = 1B. a6 = -210c. + 患 + 詈+瑞=一非爱D.。0 +。2 +。4 +。8 +。10 = 512【答案】ACD【解析】 (x - 2) ,o=o+i (x 1)+2 (x - 1) 2+, - +ao (x 1) 10,令x= 1,得o= 1，故A正确,令 x=2, 得 a()+a 1+C12+, , +ag+a 10=0,0+210令 X=0,得 CIO - 4|+2+-49+410 = 2? 所以 的+42+44+46+48+410= o
8、=512,故。正确；令%=看得即+号+费+罪=(护,所以杂1+疆=-1=-黑|，故C正确,*.* (x - 2) ,0= (x - 1) - l=ao+ai (.x - I) +。2 (x - 1) 2+- - -+aQ (.x - 1) 10,。6=。8(-1)4 = 210,故 4 错误，故选：ACD.8239?()多选题已知(2%3)(%2)= a0 + (% 1) 4- a2x 1) +%(%1) + +。9(%-I)，则下 列结论正确的是()A. % + a? + +。9 = 1B. a5 = 84C. + % + + 黄=1D. % + 2a2 + + 9ag = 0【答案】ACD
9、【解析】：(2r3)(x2)8=ao+m(x1)+。2。 l)2+3(x 1)3+.+。9(工一1)、 令 x=l,得 o=1,令 X=2,得 ()+。|+。2+。9=0，所以。|+。2+。9=1，故 A 正确； 由(一3)(42)任2(.11)-1(.1- 1)-18,所以05 = 2 x 或 x (1)4 _ 出 x (-1)3 = 196,故 B 错误；令工=|，得(2 X 1- 3)(|- 2)8 =。0 +。1(| - 1) +。2(| - 1)2 +。3(| - 1尸 + + 的(| - 1)9, 所以劭+? +号+ + , = (),又40=1，所以？+ M+- +穿=1，故C正
10、确； 设Kt)=(2x3)(x2)8=4o+0(X 1)+。2(% - 1)2 + 3(x - I)3 + +- I)9,则/(x)=2(x2)+8(2x3)(% 2)7 = % + 2a2(x 1) + 3a3(x - l)2 + + 9a9(x - l)8, 令 X=2,得 4|+242+.+99=0，故。正确， 故选：ACD.【题型五】其他应用【典题1证明32*2 -8九一9能被64整除m G N).【证明】32n+2 8n -9 = 9n+1 -8n -9 = (8 + l)n+1 一8九 一9=8n+1 + C+1 - 8n + + 82 + +C+1 -8+1 -8n -9=8n+
11、1 + 己+i 8n + + C；l - 82 + 8(n 4-1) + 1 - 8n -9=8n+i + 盘+/ 8n + + 82=82(8它1 + C,；+18n-2 + + CM；)=64(8n-1 + 盘+i8-2 + . + fn-1) 8n-1 + CW18nt + . + 品3；是整数,. 32n+2 _8rl -9能被64整除.【点拨】这是整除与余数的问题，由于证明中的除数是64,则要在32n+2-8n9中尽量找到与其有关信息， 没直接信息与64有关，而322=91 = (8+1尸中含有8的信息，这就找到了可靠的突破口，可往下演算 尝试.【典题2】求0.9986的近似值，使误
12、差小于0.001.【解析】0.9986=(1 -0.002)6 = 1 + 6*( -0.002)+ 15*( -0.002)，. +( -0.002)6 1 + 6*( -0.002) =0.988.【点拨】这是求近似值，由于0.998接近1,则由0.9986 = (1 0.002)6进行演算.【典题3】求证：然+ 3盘+ 5鬃+(2+1)印=(71 + 1)2,【证明】设5 =。1? + 3玛+ 5鬣+ +(2+1)谶把式右边倒转过来得又=(2n + 1)”+ (2n -+ 3C7； +以，又由CH = C厂血可得Sn = (2n + 1)魂+ (2n - 1)禺+ 3C +谶 +得 2S
13、n = (2n + 2)(C,? + 盘 + + 优 1 + 魂)=2(n + 1) 2%:.Sn = (n + 1) - 2nt即以 + 3盘 + 5 鬣 + + (2n + 1)C = (n + l)2n,原等式得证.【点拨】这是证明“左式=右式的题型，方法很多，直接把左式化简得到右式，本题就是这样，它借鉴了数列中的“倒序相加法”，主要是留意到组合数的性 质制=C厂R左式，右式同步化简，化简为同一结果，则左式二右式；数学归纳法对于与正整数八有关的等式或不等式均较为友好.【典题4】用二项式定理证明：2n n2(n 5).【证明】YnNS,，n2之3,由二项式定理可得2n-2 = (1 + 1
14、)n-2 = * + 啜-2 + 鬃一 ？ + + 呜= l + (n2)+ 21Z+ + ck/n l+i2z = 9 +2.2n n2 = 4 2n-2 n2 4g - y + 2 n2 = n2 6n + 8 = (n 3)2 1.2当n 5时，(九一3)1 3 0,n 5时，2n 【点拨】不等式的证明常用的方法有放缩法，而二项式的展开式是放缩法中的一种方式，展开式中有多项, 那可有选择的把“影响大的项”留下，去除“影响小的项“，从而达到放缩的FI的，留“几项”就看放缩的要求了, 在求近似值也是类似的方法.巩固练习1()若九是正奇数，则7 +盘7吁1 +量7时2 + . +盘-17被9除
15、的余数为()A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】是正奇数，则7 + 盘7吁1 + C7n-2 + . += 7n+ 盘7T + 鬣 7n-2 + + Cn-17 + 第=(7 + l)n -1=(9 -l)n -1=9n 一魂 9T + 鬣 9n-2 - .+ 党T 9 一谓一 1,它被9除的余数为-党-1 二 -2,即它被9除的余数为7,故选：C.)用二项式定理证明：1M-1能被100整除.【证明】11,0-1=(10+1),0-1=(10,0+C/o*109+- + C*10+l)-l=10,0+C；o-109+C-lO8+.+102= 100(10s+0*107+Cf010
16、64-.+ l).能被100整除.3( )求1.028的近似值(精确到小数点后三位).【答案】1.17解析】1.028=( 1 +0.02)8= +c8x0.02+C82x0.022+. -1+0.16+0.01121.17.4()求和=CR + 4 盘 + 7(?2 + 10 或 + + (3n + 1)谓.【答案】(3+ 2)x2一】【解析】* 67m=3/1+ 1为等差数列，.的+。尸。|+。”-1=，而 =制-火，(运用反序求和方法)，,/ W =第 + 4盘 + 7鬣 + + (3n - 2)4-1 + (3n 4-1)印，=(3n + 1)印 + (3n - 2)册一1+ (3n
17、- 5)-2 + + 4碍 + 以 IV = (3n + 1)或 + (3n - 2)出 + (3n - 5)C厂？ + + 4盘 + 勰，+得2 = (3n + 2)(G? + 魂 + 鬣 + + 党)=(3n + 2) x 2n,：.W = (3n + 2) x 2nt.(1 k+1 1+总 之2.【证明】由题意可得，&+1为正整数，即为自然数，(1 +启用=*I + C曷岛+ % 岛丫 + C靖岛广工以+】+4+】充=1=2,当上0时，取等号，即(1 +士产22成立. Kv k6 ()记f(a)为(ax + 1产二项展开式中的二项的系数，其中a w 1,2,3,，九, n 3.求f(D，
18、f(2)，f(3)(2)证明:S2=1 /(a) = C?t+1(n3 + n2).【答案】/(I)=鬃，/(2) = 8鬣，/(3) = 27或(2)见解析【解析】(ar+l)二项展开式中的项的系数为*a3.，加)=C然3,则门1)=盘,/2) = 8第，-3) = 27瑞;证明：(2)由得，f(Q)=盘(13+23+.+&.首先利用数学归纳法证明13 + 23 + 33 + . + /=立誓(论3).当 72=3 时，13 + 23 + 33 = 36 =4假设当二4心3且AeN*)时，结论成立，即13 + 23 + .+炉=比竺之.4那么,当=2+1时，产+23+炉+伏+1)3=+ (忆
19、 + 1)3 =(4 + 1)2 x= g)丁+ 2)二对任意不小于3的正整数，均有13 + 23 + 33 +砂=也誓，4=)二出工也誓=心匚署必也誓=(，L2)n(D x (n3 + n2)=4+(/ + n2).故Ehi f(a)=第+1(几3 + n2).经典例题【题型一】二项式展开式【典题1】若（/ +2）6的展开式中，/的系数是一RO,则（）A. a = -1B.所有项系数之和为1C.二项式系数之和为64D.常数项为一320【解析】由7；+=展（产）6T（*）/=（6 Cl -2-3,，令 12 3r = 3,得r = 3.Cf = -160 得Q = 5 故4正确;+，取X =1
20、,可得所有项系数之和为。0 +。6 =（1 - 2）6 = 1,故8正确;二项式系数之和为26 = 64,故C正确；（二项式系数和：或+ % +髭+6+ C = 2n）由123厂=0,得r = 4,展开式的常数项为（一2）4.点=240,故。错误.（常数项即变量x的指数为0）故选：ABC.【点拨】先写出展开式的通项，并把其化为最简的形式；每项的二项式系数用与其系数不是同一概念的.【典题2】在二项式（2 %+1厂的展开式中，系数最大项的系数是（）C.240C.240A.20B.160【解析】二项式（2 x + I）6的展开式的通项为几+i =您（2%尸 =26-9设为=26：则皿=互岑=注=工依
21、26f 瑞2 瑞 2（k+l）当kN 2时，某即臂1 九C.若a = -2, n = 10,则第7项的系数最大D.若。=一或，n=7,则所有奇数项系数和为239【答案】BCD【解析】二项式的展开式的通项为心对于4若0,且Q 士对任意的厂都成立， n-r*an,故3正确；当好一2, =10,则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，所以，只需比较(-2)。, *(-2)2,味)(一2)6, Cfo(-2K，C猾(-2)1。即可,可得，。*(-2)6最大，即展开式中第7项的系数最大，故C正确；当即一企，=7,则奇数项系数和为：0(-口)。+ C兴一鱼产+C寅一贞)4 + (-a)6 =23
22、9,故。正 确：故选：BCD.?()多选题设(1 + 2x)5 = a0 + axx + a2x2 4- a3x3 + a4x4 4- a5x5,则满足嫌=2aH1册+1 的正整数九 的值可能为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】BC【解析】二项式的展开式的通项T n+1 = C(2xy = C2nxn,所以斯=C2n,要使W = 2a篦_1册+1，则(喏2n尸=2Gl 2nT C”2n+1,即(&)2=2X而急R X正嬴而X 2-,化简得n25n+6=0,解得n=2或3,故选：BC.尔 )已知二项式(2x +白产(n N)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2： 5,按要求完成
23、以 下问题：求九的值；(2)求展开式中常数项：(3)计算式子C6 + 铲 +盘24 + c123 + 铲 +琮21+ 一 2。的值.【答案】(1) 6 (2) 60(3) 729【解析】二项式(2% +蠢)n(nWN)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是最：鬣=2： 5, 求得n = 6.(2)展开式的通项公式为哈26)6-芝 令6-募=0,求得4,可得常数项为422=60.(3 底 26 + *5 + (?224 + f323 + C422 + 琮 2+ 尊 2。=(2+1 )6=36=729.【题型二】两个二项式相乘【典题1】已知(1+委)(2%-6的展开式中各项系数的和为3,则下列
24、结论正确的有()A. a = 2B.展开式中常数项为64C.展开式系数的绝对值的和2187D.若r为偶数，则展开式中系数是尹系数的2倍【解析】对于A,令乃=1,可得(1 +(2%一36的展开式中各项系数的和为(1 + q)x 1 = 3,a = 2,故A正确；对于B,易知(2%-6展开式中通项为G+i = C式= (-l)r26-rCrx6-2r其中 r = 0,1,23456,即(2% - -)6 = a0x6 4- axx4 + a2x2 + a3x + a4x2 + a5x4 + a6x6则(1 +(2x -= (1 + )(a0x-6 + axx4 + a2x2 + a3x + a4x
25、2 + a5x4 + a6x6),则展开式中常数项为1 % + 2a2，由 J = (一l)r26T6-2r,易得%=48,% =-160,则与 + 2a? =-64,故8错误； 对于C,(1 +今(2%-6的展开式中各项系数绝对值的和，即项(1 +劫3 +6的各系数和，令 = 1,为(1+ 2),36 = 2187,故C正确；对于。由(1 + ?)(2% -= (1 + )(a0x-6 + atx4 + a2x2 + a3x + a4x2 + a5x4 + a6x6),当r = 一6时，工-6的系数是的+ 2alf %-8的系数是2即，而由。，故。不正确.故选：AC.【点拨】对于二个二项式模
26、型”多项式(Q + b)n”，比如对于B选项，想象下对(2% - /展开后的形式：(1 + )(2x - J =(1 +f(A + A + A)若要继续展开最后得到常数项，那只有1乘以(2x-f6的常数项和2乘以作一36的项, 即所求的常数项=1 % + 2a2.【典题2 (1-4)6(1 +石厂的展开式中/的系数为.【解析】(1 _ Vx)6(l + Vx)4 = (1 - /x)(l + /x)4(l - /x)2=(1 x)4(l - Vx)2 = (1 x)4(l + x 2Vx),则/的项为 lx (?4(-%)2 + %C：(r) = 2x2,即/的系数为2,故选：B.【点拨】式子
27、复杂，若能化简为熟悉的模型“多项式(Q +匕)“，在求解过程中更便于思考.巩固练习1()(/+ 6%+1)(16的展开式中的常数项为()A. -19B. -55C. 21D. 56【答案】B【解析】(/+ 6x4- 1)(1 一6的展开式中的常数项为立(一1A+6X程x(l)+以=-2036+仁一55, 故选：B.2(*)已知正整数71 2 7,若(-3)(1x)”的展开式中不含力的项，则九的值为()A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】正整数论7,若(1一(1一工厂的展开式中不含/的项，则(1 一”的展开式中的含V的项和含X5的项的系数和为0,即一党 + Cn =0,故选：B.
28、3(*) (1 一 %) (% + ： +2尸的展开式中工的系数是()A. 10B. 2C. -14D. 34【答案】C【解析】v (1 - x) (% 4- + 2)4 =( 1 x)*(Vx + -)8二(1 一工)(。?/+程/+或/+武3)，故展开式中x的系数是Cl-C = -14,故选：c.牛 ） （%+ （2%的展开式中各项系数的和为2,则其中正确命题的序号是（）A. a = 1B.展开式中含36项的系数是一32C.展开式中含T项D.展开式中常数项为40【答案】AD【解析】令尸1则有1+4 = 2,得。=1,故二项式为（/+）- 9 5,（Zt-i） 5通项公式为（-1）呼上产21
29、r依次为o, 1, 2, 3, 4, 5（x+3）5的展开式中含/项系数为）5通项展开式式中小项系数的与项的系数之和,令5-2r=5解得/*=（）,所以（2x-）5通项展开式式中9项系数（1）。25c5=32,令5-2，=7解得r=-1,不合题意，展开式中含4项的系数是32,（x+i）（合一,）5的展开式中含I项系数为 ）5通项展开式式中/2项系数的与常数项之和， 人人人令5-2,= -2,解得,=彳 不合题意，令5-2/=0,解得/=不合题意，则展开式不含/I项，（x+b 一 1）5的展开式中含常数项为_1） 5通项展开式式中/I项系数的与x项的系数之和,令52r=l,解得r=3,令52r=
30、L解得r=2,所以其常数项为-22XC53+23C52=40.故选：AD.【题型三】多项式展开式【典题1】-4x + /的展开式中2项的系数为（）A. 840B. -600C. 480D. 一360【解析】12-4%+ 5丫 = 口2 +（_轨+5,它展开式通项为Tr+=星炉。-2（一对于（一轨+，它展开式通项为仃（-4）1口，其中r、k为非负整数且（特别注意“的限制范围）多项式展开式中的靠指数为10 2r + r -2k = 10 r 2k,求/的系数，则令10 r2k = 2,可得舍去），上：；口（舍去），二： （舍去），舍去），（.r = 8 5 lr = 6 5 r = 4= 2 k
31、lr = o 得 Q0 +。2 +。3 +。4 + Qs +。6 = 24 = 16,令 t = - 1,得 % +。2 。3 +。4 +。6 = 0J. % +。3 +。5 = = 8, % + 曲=0，C正确：对于令 = -1, 得 Q() Q +。2 。3 +。4。5 +。6 = 0 = Q() +。2 + Q4 +。6 =+。3 +又 Q。= 0,二 Q2 + Q4 +。6 = Q1 +。3 +。5，。正确，故选：ACD.【点拨】对手类似系数问题，常令 = 0/ = 1,% = -1或根据等式结构取其他特殊值，这样往往能够得 到展开式中某些系数的关系，这个要多尝试：题目中等式右边(它是以+ 1展开的)，不是我们熟悉的按工来展开，那可以用换元法，把不熟悉的问题转