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1、6.3二项式定理二项式定理16.3.1 二项式系数的性质9二项式定理A基础练一、选择题1 . （2021 .北京高二期末）在（x-0）4的展开式中，产的系数为（）A . 6B . 12C . 24D . 48【答案】B【详解】（X-虎）4展开式的通项为Qx4T（后由4 =2,解得=2,那么/的系数为0=6x2 = 12,应选：B2.化简1 + 3工+ 3/+工3=（）A. x4A. x4B.(X + 1)3C. (x + 1)4【答案】BW1 l + 3x+3x2+x3-l3+C-x-l2 + Cx2-l + Cx3=( + l)3.3. （2021 .山东荷泽三中高二月考）二项式定理，又称牛
2、顿二项式定理，由艾萨度克牛顿于1664年 、1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法那么，在的二项式展开式中，x的系数为（）A. 105D.45C.一4【答案】【详解】【详解】X2展开式的通项为几1 =C&2（5/（gxkk产3令10 3左=1,解得左=3,所以二项式展开式中，工（i V 的系数为c；-V 2）3. （2021 .黑龙江大庆市铁人中学高二月考）xeR, 3x工 的展开式中二项式系数的和 I为128,那么展开式中二的系数是（）XA. 7A. 7B. -7C. 21D. -21【答案】C【答案】C【详解】由题意，二项式3x-v的展开式中二
3、项式系数的和为128,可得2 =128,解得 =7,/所以二项式3x-121-5，那么展开式的通项为却=。；（3尤）”（=（T）3。二当r=6时，可得（=（-1）63。上一3=21r3,所以展开式中的系数是21 .应选：C.X4. （2021 山东泰安一中高二月考） &（/ 17。12-=-ax7 x,其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又10+ x2展开式中第6项的系数/、10+ x2展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以/最大，应选：D5 .（多项选择题）（2021 .全国高二单元测）对于（。+力 （N*）展开式的二项式系数以下结论正确的选项是B Cn +Cn =C,7
4、+C.当为偶数时，C + C： + C；+ C；=2 D. C：)+ C： + C；+ C：=2T【答案】ABC【详解】对于A,由组合数的运算直接可得C；=C,；f ,故A正确；对于B,由杨辉三角直接可得 C： + C；，= C故B正确；对于C,二项式展开式中，令a = b = l,不管为奇数还是偶数， 都可得C： + c： + d + + C； = 2，故c正确；对于D,由选项c可知c； + c； + c； + + C； = 2， 故D错误.应选：ABC.（多项选择题）（2021 .湖北宜昌市高二月考）关于多项式的展开式，以下结论正确的选项是（）5 ）A.各项系数之和为1B.二项式系数之和为
5、26C.存在常数项D. /的系数为12【答案】ABC（D 6【详解】对于A,令x = l,那么可得各项系数之和为7-1 =1,故A正确；对于B,二项式系数之 11 ）利为C： + C； + C：+建=26,故B正确；对于C, 士-X的展开式的通项公式为 1讨=玛（2 丫 =（_1）26-，玛2-6,令2r6 = 0,解得r=3,即常数项为第四项， 故C正确；对于D,却=（126一玛”-6,令26 = 4,解得r=5,那么/的系数为 （1。26-5屐=T2,故D错误应选:ABC.二、填空题27. （2021 山东济宁市高二月考）（X-一）的展开式中各项的二项式系数的和为128,那么这个展 x开式
6、中V项的系数是.【答案】842 【详解】依题意，2=128,解得=7, （x-）的展开式的通项为x9&=（/-（y = （-2）rC；x7-2r（r gr 7）,由 7 2厂=3 得r=2,所以所求展开式中x9 97 6/项的系数是(2)2。； =4= 84.2 , 18. (2021 重庆市第18. (2021 重庆市第1中学校高二月考）的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，那么展开式的常数项为.【答案】10【详解】因为（+卷）的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以Cj = C：,解得 =5,4+之）展开式的通项公式为.5即r 2#2. z-.2020.2020 C2
7、021.2021(l-Z) 1 C202/+ C2021f I- C202i t C2021z两者相加时，的奇数次器抵消，偶数次募系数相同, 所以y = 2（1 + C；o2, + .+ C；2020）,那么t偶数次鬲的最大值为1,所以最大值为：2（1+021+大；。21 +；：+/；）9 2021= 2x = 22021.2三、解答题11.（2021.江苏省苏州第十中学校高二期中）在（石-步的展开式中,（填写条件前的序号）条件第5项的系数与第3项的系数之比是14： 3；条件第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；条件 c;-2 =10.（1）求展开式中二项式系数最大的项;（2）求展开式中含
8、N的项.【答案】(1) _252xl (2) X5-a3n-5k【详解】通项公式为+1k = 0,l,2,L,=c：(尸(-)k = (fk假设填条件,(1)休日（-DC：/ 依您忌倚心它二7所以3xn4!x(n-4)!,整理得( 10)5 + 5) = 0,所以 =10或 =-5 （舍）,、i因为 = 10,所以的展开式共有11项,所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,30-255所以(=(+ =(1)50江=252#30-5（2）通项公式为（=（_）忆6/ 30 5Z厂八令=5 ,得攵=0,6所以展开式中含炉的项为炉.假设填条件，（1）依题意得C： + C；2=55,所以+ C；=55,
9、所以 + 叱3 = 55,即2+_iio = o，2所以 =10或 =一11 （舍）,/ 1、1。因为 = 10,所以 五-一厂 的展开式共有11项,所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，30-255所以（=匕尸（一1）5。工=一252#305A(2)通项公式为+ =(一i)&c一一30-5 p=5 ,30-5 p=5 ,得左=0,所以展开式中含炉的项为 假设填条件,依题意得 cC；2=10,那么 c；+C；=1O,所以一怨=此所以I。因为 =10 ，所以的展开式共有11项,所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,30-255所以=加=(T)二 -252正30-5攵通项公式为71=(1)忆如
10、二令双二生=5,得攵=o, 6所以展开式中含炉的项为15.12. (2021.全国高二单元测)(3x-l)的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求lx 的展开式中：(1)所有二项式系数之和；(2)二项式系数最大的项；(3)系数的绝对值最大的项.【答案】(1) 1024； (2) 8064； (3)第4项与+i =1536。/.【详解】解：(1)由题意C：=C：，解得几=5.二项式系数和为2i=1024/ 1、1。(2)由于2 = 10为偶数，所以2x-上 的展开式中第6项的二项式系数最大, I x)即小=4（2九）5- = -8064.(3)设第+ 1项的系数的绝对值最大,4. （2021
11、 云南高二期末）xnX5的展开式中常数项为（A. 10B. -10C. 5D. -5【答案】B【详解】要求【详解】要求因为1X X、5的展开式中的常数项，只需求x1a的展开式中7的系数为（1） C：=10,所以的展开式中的系数.的展开式中常数项为-10.5.（n（多项选择题）（2021 江苏苏州市高二月考）假设%- 的展开式中存在常数项，那么的取值可以是A.A.B. 4C. 5D. 6【答案】BD【详解】因为【详解】因为nXn的展开式的第 + 1项为了川=Cnx（T）3=CW（n ，假设X的展开式中存在常数项，那么只需九一2r = 0,即 =2，乂 neN*，reN，所以只需为正偶数即可，故A
12、C排除，BD可以取得；应选：BD.6.（多项选择题）（2021 全国高二专题练习）假设二项式（x +展开式中的常数项为15,那么实数机的A. 1C. 2【详解】二项式% +6展开式的通项为，Tr+i = C6rx6-rX 2 mr ,值可能为（）B. -1D. -2【答案】AB3令6-5 =0,得厂=4,常数项为。6，/=15，%/=i，得加二1,故答案为土1.二、填空题( 1 丫7.展开 2x-I )c 5 g 2 80 40 10X10【答案 1 32% 80r H- H-XXX( Y那么工+1 = Go .(2x)m-= (1)- Go . x,0-2r.品232。20川.品232。20
13、川I xj11-r 2r即2(r + l)10-r811 r = 3, (x 2)9的展开式中/的系数为c；(4)3=一84n = l.（1、510. （2021 云南省保山第九中学高二月考）10. （2021 云南省保山第九中学高二月考）x2+23-1的展开式的常数项是U ）【答案】3【详解】（炉+2）【详解】（炉+2）hl-X2、5一厂-1的展开式通项为Ra =G 7.(_1)_=仁.(_1广21。所以，（Y+2）与-1的展开式通项为J =斐.(-iyT。+2C.(l)/T。= c；(l)”4+ 2C(T。=428 = 0,可得210 = 0因此，（炉+2）因此，（炉+2）的展开式的常数项
14、为C；（if +2C；（以=3.三、解答题（2021 湖北荆门市高二月考）A；=30C；,设x）= x-（1）求的值；（2）求了。）的展开式中的常数项.【详解】4 n 30n!n30n!（1）由4=30C”得：（北 4）（联 SA，（小 以 5）- 120（一 5）!解得:n = 8.4k由8- 7=0得左=6,即的展开式中的常数项为28.10. （2021 .江西高二期末）在二项式 G- 的展开式中，（1）求展开式中含d项的系数：（2）如果第次项和第左+ 2项的二项式系数相等，试求攵的值.【详解】设第左+1项为=3（2）%6.1&,3令6 k = 3,解得左=2,故展开式中含/项的系数为G；
15、 （2）2 = 264.第次项的二项式系数为，第左+ 2项的二项式系数为G”,，故弘一1=左+1 或 3l1+h1=12,解得k=或k=3.一、选择题1.A. 256B. 240B提高练（2021 .四川南充高二期末）在的展开式中,常数项为（C. 192D. 160【答案】B【详解】：二项式【详解】：二项式展开式的通项为3令6 r = 0,解得 =4,所以看讨=C%(2)4=240,应选：B + (X + 1),2. （2021 .深圳市龙岗区龙城高级中学）（x 2）9=g+q（x + l） + %（% + l）2+.A. 27B. -27C. 324D, -324【答案】B【详解】（X2）9
16、=（%+1） 3，那么其展开式的通项为：7；+1=C；（x+1/（-3） 当,=8时，7；=C；（x + l）8（3）=_27（%+1）、所以8=27.（13.（2021 .福建三明市高二期末）2+-L-2的展开式中常数项是（） xA. -252B. -220C. 220D. 252【答案】A【详解】由（V+l ZyuCr Ly。，可得二项式（x-L严的展开式通项为 XXXX令10 2 = 0,解得r=5,所以展开式的常数项为（1）5。禽二252.4. （2021 江西吉安高二期末）2- （1 +。）6展开式中项的系数为160,那么=（） X 7A. 2B. 4C. -2D. -2y2【答案】
17、C【详解】二项式（1 +0）6展开式的通项为I；* =C：xl6f （阪丫 =晨优了，令r=3可得二项式（1 + ay）6展开式中V的系数为C3,（1 台2 - -r （l + y）展开式中厂2,3的系数为（_1）c3=160, X ）可得/=8,解得 =2,应选：C.5.（多项选择题）（2021 .全国高二专题练）假设（3.匠-2五）的展开式中有且仅有三个有理项，那么正整 数的取值为（）A. 4B. 6C. 7D. 8【答案】BD【详解】（3 丘26）的通项公式是515 72-2 rTr+= C；（3 /y-r. （2x5）-= C 3-（2）r xk5 一 2r设其有理项为第+ 1，那么%
18、的乘方指数为，6依题意 一为整数,注意到04尸，对照选择项知72 = 4、6、8,6逐一检验： =4时，r=1、4,不满足条件； =6时，=0、3、6,成立； =8时，厂=2、5、8,成立，应选：BD.6.（多项选择题）（2021 重庆西南大学附中高二期末）。+ %2）（2 +工）4的展开式中（）A. /的系数为40B.尤3的系数为32C.常数项为16D.常数项为8【答案】AC【详解】（1 + /）（2 +司4=（2 + +/（2 +司4,展开式中/的系数分为两局部，一局部是（2 + J 中含/的系数.2 = 8,另一局部是（2 + x中含x项的系数C：23 =32,所以含丁的系数是 8 +
19、32 = 40,故A正确；展开式中常数项只有（2 + x展开式的常数项24=16,故C正确.二、填空题（1 V7 . （2021 .江苏省新海高级中学高二期末）4以- 的展开式中炉的系数为70,那么。= 、7 x）【答案】4【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得二 C；（4 办）二 C；（4 办）3k=（4广（一球”3令8 k = 2,解得攵=4,2所以展开式中2项为小=或（4）4%2,其系数为C；（4a）4=70,解得a = g8 .（2021 全国高二课时练）在，+2x+4的展开式中，的系数为【答案】60【解析】V = C；，+ 2x）3 /,而在（x2 + 24中T = C 严（2x
20、） J C卜2%尸6-k = 5.k = , . = 3x2/,贝ijq二10x3x2/=60/丁 ,f产 的系数为 6。9. （2021 湖南师大附中高二期末）二项式（G-（左 1且% 乂）展开式的第4项是常数项，那么左的值是【答案】4(2Q由=0得上=4.k2(2Q由=0得上=4.k2h（2021 .全国高二课时练）假设（/+）6的展开式中v项的系数为20,那么的最小值x【答案】2hh【解析】,展开式的通项为小=玛（初2（丫 =6 一万，令12 3r=3,得XXr=3,所以，由得=1,从而4+22 = 2,当且仅当。=人时，/+/的最小值为2.三、解答题11 V10. （2021 全国高二
21、单元测）在一元2一7 的展开式中，第9项为常数项.求: （2 G）（1）的值;(2)展开式中X5的系数；(3)含光的整数次基的项的个数.【详解】2n-k22n-k2( 俨(1 Vi、-%二项展开式的通项公+1=。,心%2J I I(1)因为第9项为常数项，即当攵=8时，2n- - k=0,解得=10.252(2)令 2几-k=5，得仁一(271-5)=6,25所以R的系数为(J， 2 /105(3)要使2小？鼠即超为整数，只需左为偶数，由于60, 1, 2, 3,.，9, 10, 22故符合要求的有6项，分别为展开式的第1, 3, 5, 7, 9, 11项.(3)要使2小？鼠即超为整数，只需左
22、为偶数，由于60, 1, 2, 3,.，9, 10, 22故符合要求的有6项，分别为展开式的第1, 3, 5, 7, 9, 11项.12. (2021 上海市嘉定区封浜高级中学高二期末)1H0、的二项展开式中，第三项的系数为7.数为7.(1)求证：前三项系数成等差数列;(2)求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项).【详解】(1)= 7.C： = 28.但1）= 28. =8 ,（负值舍去） 42= 7.C： = 28.但1）= 28. =8 ,（负值舍去） 42所以前三项分别为7； = C；(五所以前三项分别为7； = C；(五所以前三项系数分别为1, 4, 7,Q2x4 = l+7.
23、前三项系数成等差数歹！J.所以前三项系数分别为1, 4, 7,Q2x4 = l+7.前三项系数成等差数歹！J.(2)r = 042.,7,8Ar = 0,4,8,展开式中工的指数为整数,所以展开式中所有有理项为:dTs256CsX - 256x2 ,二项式系数的性质A基础练一、选择题1. （2021 .浙江丽水高级中学高二月考）在（。+3的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等,A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【详解】由得。：二。可知 = 1 + 5 = 6,应选：A.2. （2020.全国高二专题练）的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,那么=（）A. 4A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【详解】二项式【详解】二项式+n的各项系数的和为（1 + 3） =4,二项式的各项二项式系数的和为2，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，4所以一=2 =64,几=6.应选：C.2