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1、2021 届高三阶段性测试试卷数学一、单项选择题： （每小题 5 分，共 40 分）1.已知集合ln 2Mx yx，1Nx yx，全集I R，则图中阴影部分表示的集合（）A.1,B.1,2C.1,D.2,【答案】D2.已知复数12iz 、212iz （i为虚数单位） 、3z在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点） ，则复数3z的模为（）A.10B.5C.5D.10【答案】A3.函数 f x在, 上的图象大至如下，则下列函数中哪个函数符合函数 f x图象特征（）A. 2cosxxxxf xeeB. sinxxxxf xeeC. sinxxxf xe
2、eD. sinxxxxf xee【答案】B4.周髀算经中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、 芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论，已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为10.5尺和4.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（）A.37B.47C.1321D.57【答案】D5. 232345012345112xxaa xa xa xa xa x，则3a的值为（）A.10B.20C.24D.32【答案】A6.044sin40tan的值为（）A.22B.32C
3、.2D.3【答案】D7.九章算术是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著，在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某鳖臑ABCD的外接球半径为1，则该鳖臑ABCD的体积最大值为（）A.439B.4327C.934D.3316【答案】B【解析】方法一：如图补一个长方体，长宽高分别为, ,a b c22212abc2224abcsin cosa，2sin sinb，2cosc241311sincos sincos263A BCDC ABDVVbcabc222222sinsin sin2sincos1coscos33332coscos3令cost， 323f
4、 ttt 223103ftt，33t ， f t在0,3，3,13 max2334 339327f t即max4 327V.方法二：22242 baabc222cab 231112262126Vcccabcc 31212fccc 2123012fcc23c f c在20,3，2,23 max1484 3122733 3f c.方法三：2224abc求max16abc23abc时取最值12224 3627333此方法不严谨.8.已知抛物线22yxmx与x轴交于,A B两点，点C的坐标为3,1，圆Q过, ,A B C三点， 当实数m变化时， 存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值， 则此定直线l方
5、程为 （）A.30 xyB.310 xy C.310 xy D.30 xy【答案】A【解析】设圆：220 xyDxEyF,A B两点是抛物线与x轴的交点且都在圆上Dm，2F 此时圆：2220 xymxEy过点3,1C38Em 圆22:3820Q xymxmy即228230 xyyxy m:30l xy.二、多选题： （选错不得分，漏选得 2 分，每题 5 分，共 20 分）9.在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，E、F分别为1BB、1DD的中点，则下列结论中正确的是（）A.平面1ABD 平面11A ACCB.直线1BC与平面11ACC A所成角为30C.直线1AE与直线AC所成角为
6、45D.四棱锥1AAECF的体积为13【答案】ABD10.函数 f x是定义在R上的奇函数， 当0 x 时， 1xf xx， 则下列结论正确的是 （）A.当0 x 时， 1xf xx B.关于x的不等式 210f xfx的解集为1,3C.关于x的方程 f xx有三个实数解D.12,x xR， 212f xf x【答案】BD11.已知0,0ab，下列说法成立的是（）A.2222ababB.2lnlnlnababC.若4b ab，则58abD.存在,0a b使得25lg23llg2gbaab【答案】AC【解析】2222222222202222abababaabbaabbab2222abab，A 对
7、12ab时2ln0ab，20lnlnln2ba，B 错4b ab，4abb844554abbbbbb，C 对125llg10gbaablg1213lg225lg12l3lg2gbaab无解，D 错.12.随着高三毕业日期的逐渐临近，有2n n个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）A.当4n 时，每个人抽到的卡都不是自己的概率为38B.当5n 时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C.甲和乙恰好交换了卡片的概率为111nnD.记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为na，则1*21,nnnanaanN【答案】
8、ACD【解析】法一：44938pAA 对1555938CpAB 错对于甲来说，选到乙卡片的概率1n再对于乙来说选到甲卡片的概率11n甲、乙两人卡片互换的概率为111111nnnn2n 时，21a 3n 时，32a 4n 时，49a ，满足42321aaa5n 时，544a ，满足5343 1aaa猜想211nnnanaa可验证4541baaa作为小题，可知 D 成立法二：对于 A，443 338PA，A 正确；对于 B，1555938CPA，B 错；对于 C，甲、乙恰好交换卡片的概率为22111(1)1nnnnAAn nnn，C 正确；对于 D，设2n 个人为, , , ,a b c d ，2
9、n 张卡片为, , ,A B C D 若a拿b的卡B，b也拿a的卡A，则天然只剩下几个人拿卡，自然就是na种了若a拿b的卡B，b没拿a的卡A，则显然与1n 个人拿卡一样，也就是1na种了而a不一定拿B，只要是, ,B C D （1n 个）中的一个就可以了在1nnaa前再乘上1n 即可，21(1)()nnnanaa，选 ACD.三、填空题： （每题 5 分，共 20 分）13.ABC中，1AB ，3AC ，120B，2BDDC ， 则AB AD 的值为_.【答案】4314.直线1x 是函数 03sinf xx图像的一条对称轴，给出的一个可能的值为_.【答案】6（答案不唯一）15.已知反比例函数0
10、kykx的图象是双曲线，两坐标轴是它的渐近线，那么4yx对应的双曲线的集点坐标为_.【答案】 2 2, 2 2 , 2 2,2 2【解析】双曲线：4yx的两渐近线关于yx对称双曲线4yx的焦点在yx上设1,Fmm，2,F m m在双曲线4yx上任取一点，4,P xx222212416422PFxmmxm xmxxx22244228xm xmxx2248xmmx22248PFxmmx12PFPF为定值280m ，2 2m 12 2, 2 2F，22 2,2 2F.16.法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个何定理：“以任意三角形的三条边为边外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰
11、为另一等边三角形的顶点”.在三角形ABC中，角60A，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O、2O、3O，若三角形123OO O的面积为32，则三角形ABC的周长最小值为_.【答案】3 2【解析】法一：连接12,O A O A，则12120O AO22222123333112()333323OOcbcbbcbc22223 13()64 32bcbcbcbc而222292abcbcabc292aabca ，26a，令3 2cosa，13cos33，记13cos3，2121cos3，3sin3 2cosabc3 3sin()，其中tan2，显然3 3sin()在12(
12、, 上，3 2abc .法二：如图建系ABcACb112,2Occb，213,2Obbb123212133222OO OSOO122OO22213246bcbc226bbcc即26bcbc2222222cos3abcbcAbcbcbcbc22236182bcbcbc2182abc2182abcbcbc又2264bcbcbbc2 2bc 2f x 29xx，2 2Ox 2fx222222921 102 999xxxxxxx 3x f x在0, 3单调递增，3,2 2单调递减 min2 23 2fxf.四、解答题；大题共 6 小题.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10
13、分）数列 na的前n项和为nS，11a ，对任意的*nN有0na ，21nnas.（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列 nb，152b ，*n N，1112nnnnbba，求数列 nb的通项公式.【解析】 （1）214nnas，21114nnas得到11124nnnnnaaaaa，所以221111122nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa因为10nnaa所以12nnaa所以数列 na为等差数列，又因为11a 所以21nan.（2）因为*n N，1112nnnnbba所以11112122nnnnnanbb所以 11232211nnnnnbbbbbbbbbb132212353522222
14、nnnn所以1221212353252222nnnnnb所以得到21221112222121232211122222212nnnnnnnnnnb .18. （ 本 题 满 分 12 分 ） 在 cossincAAb， sincos2cBbCb， sintancos2sinBCBA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知_，2c ，3cos5B .（1）求cos A的值； （2）求ABC的面积.【解析】选设0sinsinsincbctCBC 所以sinctC，sinbtB因为cossincAAb，得sincossinsintCAAt
15、B，得coscossinsinsinsinsincoscossinCACABACACAC所以sinsinsincosACAC所以tan1C 因为0,C所以4C所以22cossin22CC.（1）因为3cos5B 所以4sin5B 0coscossinsinc3o5s422225 21cosABCBCBC.（2）因为0,A所以27 2sin1cos10AA，因为sinsinaCAC所以27 22102a得7 25a 1 7 24282255251sin2ABCSacB 选设0sinsinsincbctCBC 所以sinctC，sinbtB因为sincos2cBbCb所以sinsinsincos2
16、 sintCBtBCtB即sincos2CC得2sin24C所以sin14C因为0,C4C下同（1）.选sintancos2sinBCBA则sincossincos2sincosBCCBAC所以sin2sincosBCAC即sinsin2sincosAAACsin0A所以2cos2C 又因为0,C所以4C下同（1）.19. （本题满分 12 分） 如图， 四棱锥CABDE中，AEBD，22AEBD， 点F是AB的中点，点G在线段DC上，且2DGGC.（1）求证：BG平面CEF；（2）若AE 平面ABC，AEAB，2ACCB，求二面角FECD的正弦值.【解析】 （1）延长EF，DB交于点K连接K
17、C因为AEBD，所以AEBK，所以1AEAFBKFB12BDBDBKAE又因为2DGGC所以BDDGBFGC，所以BGCK又因为CK 平面CEF，BGCEF， 所以BG平面CEF.（2）以C为原点，CA 为x轴的正方向，以CB 为y轴的正方向，以过C点且垂直于面ABC为z轴的正方向，建立如图所示的空间之间坐标系.0,0,0C，2,0,0A，0, 2,0B，22,022F，2,0,2E，0, 2,1D设1111,nx y z为平面ECF的法向量；2,0,2CE ，22,022CF ，11220n CExz，1122022n CFxy ，取11x ，则11y ，122z 设2222,nxy z 为
18、 平 面ECD的 法 向 量 ；2,0,2CE ，0, 2,1CD ，222220nCExz ，22220nCDyz，取22x则21y，22 z12121222 70cos,=35572 n nn nn n，设二面角FECD的平面角为，则2123 105sin1cos3,5 n n.20.（本题满分 12 分）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图（引体向上个数只记整数）.学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组.（1）第一小组决定从单次完成1 15个的引体向
19、上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，单次完成11 15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上15个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的22列联表.学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？参考公式及数据：22n adbcKabcdacbd20P Kk0.500.400.250.1
20、50.100.050.0250.010.0050.0010k0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828【解析】 （1）0.02:0.03:0.062:3:6所以211211，311311，611611，即从15中选2个，610个中选3个，11 15个中选6个，又因为单次完成11 15个引体向上的人共有54001200.06 人，记“单次完成11 15个引体向上的甲被抽中”为事件A，则 51196120C61C12020p A .X的分布列如下：X012P39311C28C551229311C C24C552129311C C3C55所以28243
21、3060125555555511E X （2）因为222400 5000 10000808.8897.879300 100 1502509n adbcKabcdacbd所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.21.（本题满分 12 分）已知椭圆22:143xyC，点00,P x y为椭圆C在第一象限的点，1F，2F为椭圆左右焦点，点P关于原点的对称点为Q.（1）设点Q到直线1PF，2PF的距离分别为12,d d，求12dd取值范围；（2）已知椭圆在00,P x y处的切线l的方程为00143x xy y，射线1QF交l于点R.求证：11FRPRPF .【解析】法一： （1）12PQF
22、PQFSS11211222PFdPF dl1212111241dPFaPFdPFPFPF又因为2222210000000311113242442PFxyxxxxx因为00,2x 所以12,3PF ，所以12,113dd.法二：当01x 时，2001PFykx所以020:11yPFyxx即00010y xxyy1001PFykx所以010:11yPFyxx即00010y xxyy又所以 00000001222220000012231131242yxxyyyydyxxxx002122yx 00000000222222000000122213112312242yxxyyyyydyxxxxx又所以10
23、20048144dxdxx因为00,11,2x 所以121 33,13 55dd当01x 时可得31,2P，31,2Q ，13:134304PFyxxy165d ，122325ddd综上121,13dd.（2）法一：设直线l的倾斜角为，设直线1FQ的倾斜角为，设直线1PF的倾斜角为，则1FRP，1RPF所以1100000000003tantan411233tan31tantan14141lFQlFQxykkyxxxk kxyyx 11tantantantan1tantan1PFlPFlkkkk0000000000314123334141yxxyxxxyyx 11tnntaaFRPRPF又因为1
24、FRP，10,RPF所以11FRPRPF .法二：因为1001FQykx则010:11yFQ yxx0200000011484143Ryyxxxxxxx xy y222200000122000124141111111RRRxxxyyRFxxxxxx20000001234124142xxxxxx2222210000000311113244442PFxyxxxxx所以11RFPF所以11FRPRPF .22.（本题满分 12 分）函数 1siosncfxxx， 1xg xa e（1）当0a 时，函数 F xf xg x在0,2x有极值点，求实数a的取值范围；（2）对任意实数0,x，都有 f xg
25、x恒成立，求实数a的取值范围.【解析】 （1） sin1cos1xF xxxa e 2cos1sinsin2coscos1cosxxFxxxxxaexxae 4cossinsinsin4cos1xxF xxxxaexxae ，因为0,2x所以sin0 x ，cos0 x ，又0a 所以 0Fx所以 Fx在0,2上递减， 020Fa，2102Fae 所以20a .（2） 01sin1cosxG xg xf xa exx因为02F所以2011a a所以0a ，当0,2x时 22coscos1xG xgxfxaexx sin4cos10 xGxgxfxaexx，所以 G x在0,2上递增 02GA，2102Gae 当 020Ga即2a 时，00,2x使得00G x所以当00,xx时 0G x，函数 G x在区间00,x递减，又因为 00G所以当00,xx时 0G x 与条件 0G x 矛盾 002Ga时，即2a 时， 222cosc22coscos1os1xxexG xxaexx又因为22192coscos12 cos48xxx ，1c s1o,x 所以22coscos19,28xx 而0 x 时22xe ，所以 0G x所以函数 G x在区间0,单调递增，又因为 00G所以 0G x 综上：2a .