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1、 第1页（共31页）2022 年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1（3 分）（2022河南）的绝对值是（）A B C2 D2 2（3 分）（2022河南）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A46107 B4.6107 C4.6106 D0.46105 3（3 分）（2022河南）如图，ABCD，B75，E27，则D 的度数为（）A45 B48 C50 D58 4（3 分）（2022河南）下列计算正确的是（）A2a+3a6a B（3a）26a2 C（x
2、y）2x2y2 D32 5（3 分）（2022河南）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 6（3 分）（2022河南）一元二次方程（x+1）（x1）2x+3 的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 7（3 分）（2022河南）某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3元、2 元、1 元某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）第2页（共31页）A1.95 元 B
3、2.15 元 C2.25 元 D2.75 元 8（3 分）（2022河南）已知抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，则 n的值为（）A2 B4 C2 D4 9（3 分）（2022河南）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AD4，BC3 分别以点 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（）A2 B4 C3 D 10（3 分）（2022河南）如图，在OAB 中，顶点 O（0，0），A（3，4），B（3，4），将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点
4、O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）第3页（共31页）二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。）11（3 分）（2022河南）计算：21 12（3 分）（2022河南）不等式组的解集是 13（3 分）（2022河南）现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 14（3 分）（2022河南）如图，在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且
5、 OCOA若 OA2，则阴影部分的面积为 15（3 分）（2022河南）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且BEa连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）（2022河南）先化简，再求值：（1），其中 x 17（9 分）（2022河南）如图，在ABC 中，BABC，ABC90，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是上不与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G（
6、1）求证：ADFBDG；（2）填空：若 AB4，且点 E 是的中点，则 DF 的长为 ；第4页（共31页）取的中点 H，当EAB 的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形 18（9 分）（2022河南）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下：a七年级成绩频数分布直方图：b七年级成绩在 70 x80 这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上
7、信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 人；（2）表中 m 的值为 ；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；第5页（共31页）（4）该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数 19（9 分）（2022河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像
8、顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度（精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67，1.73）20（9 分）（2022河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元（1）求 A，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 21（10 分）（2022河南）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具对于 m 的取值范围，
9、小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy4，即 y；由周长为 m，得 2（x+y）m，即 yx+满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标（2）画出函数图象 函数y（x0）的图象如图所示，而函数yx+的图象可由直线yx平移得到 请在同一直角坐标系中直接画出直线 yx 第6页（共31页）（3）平移直线 yx，观察函数图象 当直线平移到与函数 y（x0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为 ；在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应
10、的周长 m 的取值范围（4）得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 22（10 分）（2022河南）在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C重合的任意一点 连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP（1）观察猜想 如图 1，当 60时，的值是 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由（3）解决问题 当 90时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线
11、 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时的值 第7页（共31页）23（11 分）（2022河南）如图，抛物线 yax2+x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C 直线 yx2 经过点 A，C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B到该直线的距离都相等 当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：ykx+b的解析式（k，b 可用
12、含 m 的式子表示）第8页（共31页）2022 年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1（3 分）（2022河南）的绝对值是（）A B C2 D2【考点】绝对值 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可【解答】解：|，故选：B 2（3 分）（2022河南）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A46107 B4.6107 C4.6106 D0.46105【考点】科学记数法表示较小的数 【分析】本题用科学记数法的知识即可解答【解
13、答】解：0.00000464.6106 故选：C 3（3 分）（2022河南）如图，ABCD，B75，E27，则D 的度数为（）A45 B48 C50 D58【考点】平行线的性质 【分析】根据平行线的性质解答即可 第9页（共31页）【解答】解：ABCD，B1，1D+E，DBE752748，故选：B 4（3 分）（2022河南）下列计算正确的是（）A2a+3a6a B（3a）26a2 C（xy）2x2y2 D32【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的加减法 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；【解答】解：2a+3a5a，A
14、 错误；（3a）29a2，B 错误；（xy）2x22xy+y2，C 错误；2，D 正确；故选：D 5（3 分）（2022河南）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同【考点】平移的性质；简单组合体的三视图 【分析】根据三视图解答即可 第10页（共31页）【解答】解：图的三视图为：图的三视图为：故选：C 6（3 分）（2022河南）一元二次方程（x+1）（x1）2x+3 的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根
15、【考点】根的判别式 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式【解答】解：原方程可化为：x22x40，a1，b2，c4，（2）241（4）200，方程由两个不相等的实数根 故选：A 7（3 分）（2022河南）某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3元、2 元、1 元某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元【考点】扇形统计图；加权平均数 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是 510%+315%+255%+120%2.25（元），第11页（共31页）
16、故选：C 8（3 分）（2022河南）已知抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，则 n的值为（）A2 B4 C2 D4【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据（2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴 x1，再由对称轴的 x即可求解；【解答】解：抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴 x1，1，b2；yx2+2x+4，将点（2，n）代入函数解析式，可得 n4；故选：B 9（3 分）（2022河南）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AD4，BC3 分别以点 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线
17、 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（）A2 B4 C3 D【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图基本作图 【分析】连接 FC，根据基本作图，可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分线的性质得出 AFFC再根据 ASA 证明FOABOC，那么 AFBC3，等量代换得到 FCAF3，利用线段的和差关系求出 FDADAF1 然后在直角FDC 中利用勾股定理求出 CD的长 第12页（共31页）【解答】解：如图，连接 FC，则 AFFC ADBC，FAOBCO 在FOA 与BOC 中，FOABOC（ASA），AFBC3，FCAF3，FDADA
18、F431 在FDC 中，D90，CD2+DF2FC2，CD2+1232，CD2 故选：A 10（3 分）（2022河南）如图，在OAB 中，顶点 O（0，0），A（3，4），B（3，4），将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（）第13页（共31页）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化旋转 【分析】先求出 AB6，再利用正方形的性质确定 D（3，10），由于 70417+2，所以第 70 次旋转结束时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O
19、 顺时针旋转2 次，每次旋转 90，此时旋转前后的点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点 D 的坐标【解答】解：A（3，4），B（3，4），AB3+36，四边形 ABCD 为正方形，ADAB6，D（3，10），70417+2，每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，每次旋转 90，点 D 的坐标为（3，10）故选：D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。）11（3 分）（2022河南）计算：21 1 【考点】实数的运算；负整数指数幂 【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个
20、考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：21 2 1 故答案为：1 12（3 分）（2022河南）不等式组的解集是 x2 【考点】解一元一次不等式组 第14页（共31页）【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式1，得：x2，解不等式x+74，得：x3，则不等式组的解集为 x2，故答案为：x2 13（3 分）（2022河南）现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出 1 个球
21、，摸出的两个球颜色相同的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得【解答】解：列表如下：黄 红 红 红（黄，红）（红，红）（红，红）红（黄，红）（红，红）（红，红）白（黄，白）（红，白）（红，白）由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为，故答案为：14（3 分）（2022河南）如图，在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOA若 OA2，则阴影部分的面积为+【考点】扇形面积的计算 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然
22、后根据图形可知阴影部分的面积是AOD 的 第15页（共31页）面积与扇形 OBC 的面积之和再减去BDO 的面积，本题得以解决【解答】解：作 OEAB 于点 F，在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOAOA2，AOD90，BOC90，OAOB，OABOBA30，ODOAtan302，AD4，AB2AF226，OF，BD2，阴影部分的面积是：SAOD+S扇形OBCSBDO+，故答案为：+15（3 分）（2022河南）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且BEa连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩
23、形 ABCD 的边上，则 a 的值为 或 【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】分两种情况：点 B落在 AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得 ABBE，即可求出 a 的值；点 B落在 CD 边上，证明ADBBCE，根据相似三角形对应边成比例即可求出 a 的值【解答】解：分两种情况：当点 B落在 AD 边上时，如图 1 第16页（共31页）四边形 ABCD 是矩形，BADB90，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 AD 边上，BAEBAEBAD45，ABBE，a1，a；当点 B落在 CD 边上时，如图 2 四边形 ABCD 是矩形，BADBCD90，ADBCa 将ABE
24、 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 CD 边上，BABE90，ABAB1，EBEBa，DB，ECBCBEaaa 在ADB与BCE 中，ADBBCE，即，解得 a1，a20（舍去）综上，所求 a 的值为或 故答案为或 第17页（共31页）三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）（2022河南）先化简，再求值：（1），其中 x【考点】分式的化简求值 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（），当 x时，原式 17（9 分）（2022河南）如图，在ABC 中，BABC，ABC90，以 AB 为直径的半圆 O 交
25、AC 于点 D，点 E 是上不与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G（1）求证：ADFBDG；（2）填空：若 AB4，且点 E 是的中点，则 DF 的长为 42；取的中点 H，当EAB 的度数为 30 时，四边形 OBEH 为菱形 【考点】圆的综合题 第18页（共31页）【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得ADBAEB90，再应用同角的余角相等可得DAFDBG，易得 ADBD，ADFBDG 得证；（2）作 FHAB，应用等弧所对的圆周角相等得BAEDAE，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得 BEOB，结合三角函数特
26、殊值可得EAB30【解答】解：（1）证明：如图 1，BABC，ABC90，BAC45 AB 是O 的直径，ADBAEB90，DAF+BGDDBG+BGD90 DAFDBG ABD+BAC90 ABDBAC45 ADBD ADFBDG（ASA）；（2）如图 2，过 F 作 FHAB 于 H，点 E 是的中点，BAEDAE FDAD，FHAB FHFD sinABDsin45，即 BFFD AB4，BD4cos452，即 BF+FD2，（+1）FD2 FD42 故答案为 连接 OE，EH，点 H 是的中点，OHAE，AEB90 BEAE 第19页（共31页）BEOH 四边形 OBEH 为菱形，BE
27、OHOBAB sinEAB EAB30 故答案为：30 18（9 分）（2022河南）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下：a七年级成绩频数分布直方图：b七年级成绩在 70 x80 这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级 平均数 中位数 七 76.9 m 第20页（共31页）八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 23 人；
28、（2）表中 m 的值为 77.5；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9 分的人数【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数 【分析】（1）根据条形图及成绩在 70 x80 这一组的数据可得；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数所占比例可得【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含
29、 80 分）的有 15+823 人，故答案为：23；（2）七年级 50 人成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据分别为 78、79，m77.5，故答案为：77.5；（3）甲学生在该年级的排名更靠前，七年级学生甲的成绩大于中位数 78 分，其名次在该年级抽查的学生数的 25 名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数 79.5 分，其名次在该年级抽查的学生数的 25 名之后，甲学生在该年级的排名更靠前（4）估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 400224（人）19（9 分）（2022河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，
30、炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度（精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67，1.73）第21页（共31页）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】由三角函数求出 AC82.1m，得出 BCACAB61.1m，在 RtBCD 中，由三角函数得出 CDBC105.7m，即可得出答案【解答】解：ACE90，CAE34，CE55m，tanCAE，AC82.1m，AB21m，BCACAB61.1m
31、，在 RtBCD 中，tan60，CDBC1.7361.1105.7m，DECDEC105.75551m，答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51m 20（9 分）（2022河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元（1）求 A，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【分析】（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价
32、为 y 元，根据题意列出方程组，即可求解；（2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30z）个，购买奖品的花费为 W 元，根据 第22页（共31页）题意得到由题意可知，z（30z），W30z+15（30z）450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；【解答】解：（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，根据题意，得，A 的单价 30 元，B 的单价 15 元；（2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30z）个，购买奖品的花费为 W 元，由题意可知，z（30z），z，W30z+15（30z）450+15z，当 z8 时，W 有最小值为 570 元，即购买 A
33、奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少；21（10 分）（2022河南）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy4，即 y；由周长为 m，得 2（x+y）m，即 yx+满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标（2）画出函数图象 函数y（x0）的图象如图所示，而函数yx+的图象可由直线yx平移得到 请在同一直角坐标系中直接画出直线 yx（3）平移直线 yx，观察函数图象 当直
34、线平移到与函数 y（x0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为 8；在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围 第23页（共31页）（4）得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 m8 【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）x，y 都是边长，因此，都是正数，即可求解；（2）直接画出图象即可；（3）把点（2，2）代入 yx+即可求解；在直线平移过程中，交点个数有：0个、1 个、2 个三种情况，联立 y和 yx+并整理得：x2mx+40，即可求解；（4）由（3）可得【解答】解：（1）x，y 都是边长，因此，都是正数，故
35、点（x，y）在第一象限，答案为：一；（2）图象如下所示：第24页（共31页）（3）把点（2，2）代入 yx+得：22+，解得：m8，即：0 个交点时，m8；1 个交点时，m8；2 个交点时，m8；在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况，联立 y和 yx+并整理得：x2mx+40，m2440 时，两个函数有交点，解得：m8；（4）由（3）得：m8 22（10 分）（2022河南）在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C重合的任意一点 连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP（1）观察猜想 如图 1，当 60时
36、，的值是 1，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由（3）解决问题 当 90时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时的值 【考点】相似形综合题 第25页（共31页）【分析】（1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O证明CAPBAD（SAS），即可解决问题（2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E证明DABP
37、AC，即可解决问题（3）分两种情形：如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H证明 ADDC 即可解决问题 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC 解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O PADCAB60，CAPBAD，CABA，PADA，CAPBAD（SAS），PCBD，ACPABD，AOCBOE，BEOCAO60，1，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60，故答案为 1，60 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC
38、于点 E 第26页（共31页）PADCAB45，PACDAB，DABPAC，PCADBA，EOCAOB，CEOOABB45，直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 （3）如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H CEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH，POAFOH，第27页（共31页）HAPO，APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA，ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5，ADBACB90，A，D，C，B 四点共圆，DACDBC22.5，DCAA
39、BD22.5，DACDCA22.5，DADC，设 ADa，则 DCADa，PDa，2 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC，设 ADa，则 CDADa，PDa，PCaa，第28页（共31页）2+23（11 分）（2022河南）如图，抛物线 yax2+x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C 直线 yx2 经过点 A，C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使
40、点 M，B，B到该直线的距离都相等 当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：ykx+b的解析式（k，b 可用含 m 的式子表示）【考点】二次函数综合题 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，C 的坐标，根据点 A，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）由 PMx 轴可得出PMC90，分MPC90及PCM90两种情况考虑：（i）当MPC90时，PCx 轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 P的坐标；（ii）当PCM90时，设 PC 与 x 轴交于点 D，易证AOCCOD，利用相似三角形的性质可求出点 D 的坐标，根据
41、点 C，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 PC 的解析式，联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点 P 的坐标综上，此问得解；利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点 B，M 的 第29页（共31页）坐标，结合点 C 的坐标可得出点 B的坐标，根据点 M，B，B的坐标，利用待定系数法可分别求出直线 BM，BM 和 BB的解析式，利用平行线的性质可求出直线 l 的解析式【解答】解：（1）当 x0 时，yx22，点 C 的坐标为（0，2）；当 y0 时，x20，解得：x4，点 A 的坐标为（4，0）将 A（4，0），C（0，2）代入 yax2+x+c，得：，解得：，抛物线的解析式为 yx2+x2（2）PMx 轴，PMC90，分两种情况考虑，如图 1 所示（i）当MPC90时，PCx 轴，点 P 的纵坐标为2 当 y2 时，x2+x22，解得：x12，x20，点 P 的坐标为（2，2）；（ii）当PCM90时，设 PC 与 x 轴交于点 D OAC+OCA90，OCA+OCD90，OACOCD 又AOCCOD90，AOCCOD，即，OD1，点 D 的坐标为（1，0）第31页（共31页）