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1、2022年河南省中考数学试卷一、选 择 题（每小题3 分，共 3（）分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1.-1 的相反数是（）2A.-B.2 C.-2 D.-222.2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合人心同”的中华文化内涵.将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）3.如图，直线CD相交于点O,E O 1 C D,垂足为O.若 4 =54。，则 N 2的度数为)A.2/-6=2 B.(a+1)2=a2+C.(a2)3=a5 D.2a2-a=2ay5.如图，在菱形他CD中，对角线AC,相交于点O
2、,点 E 为 CD的中点.若OE=3,则菱形他C）的周长为（）6.一元二次方程1+乂_ 1 =0 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根7.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5 分），则所打分数的众数为（）C.3分D.4 5%8 .孙子算经中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆说明了大数之间的关系:1 亿=1 万x l 万，1 兆=1 万x l 万x l 亿.则 1 兆等于（）A.I O8 B.1 01 2C.1 0 6D.1 0249.如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正六边 形 旗 C D E
3、 尸的中心与原点O重合，AB/x轴，交 y 轴于点P.将 A Q A 尸绕点O顺时针旋转，每次旋转90。，则第20 22次旋转结束时,C.(-5-1)D.(1,扬1 0 .呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻（图 1 中的4），飞的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2）,血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是（）信息窗血液酒精浓度M=呼气酒精浓度K X2200 非酒驾（M80mg 100mL）A.呼气酒精浓度K越大，片的阻值越小B.当 K =0 时，&的 阻 值 为 1 0 0C.当 K=1 0 时，该驾
4、驶员为非酒驾状态D.当片=2（）时，该驾驶员为醉驾状态二、填 空 题（每小题3 分，共 1 5 分）1 1.请写出一个y随x 的增大而增大的一次函数的表达式:x 3 0,1 2.不 等 式 组 x 的解集为.11 21 3 .为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为.1 4 .如图，将 扇 形 沿 03方向平移，使点O 移到O B的中点0,处，得到扇形A Y/9.若NO =9 0。，OA=2,则 阴 影 部 分 的 面 积 为.1 5 .如图，在 R t A A B C 中，Z A C B =
5、90 ,A C =8 C =2 拒，点。为的中点，点 P 在 A C上，且 C P=1,将 C P 绕点C在平面内旋转，点 P 的对应点为点Q,连接A。，D Q .当Z A D Q =9 0。时，A Q 的长为.三、解 答 题（本大题共8 个小题，共 75分）1 6 .（1 0 分）（1）计算：历-（：）+2-1；（2）化简：（1-）.x x1 7 .（9分）2 0 2 2 年 3月 2 3 日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”.某中学为了解学生对“航空航天知识”的
6、掌握情况，随机抽取5 0 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：.成绩频数分布表:懒X（分）5(),冗 6 06 0,x v 7()7(),x 8 08 0 x 9()9(度*1(X)频数791 21 66b.成绩在7 0,x =&（x 0）的图象经过点A（2,4）和点3,点 8在点A的下方,xAC平分N Q A f i,交 x 轴于点C.（1）求反比例函数的表达式.（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线.（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段。4 与（2）中所作的垂直平分线相交于点。，连接Q.求证：C D H A B.1 9.（9分）开封清明上河园是依照北宋
7、著名画家张择端的 清明上河图建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁”的高度，如图，在 A处用测角仪测得拂云阁顶端。的仰角为3 4。，沿 AC方向前进1 5?到达B处，又测得拂云阁顶端。的仰角为4 5。.己知测角仪的高度为1.5?，测量点A,8与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁Z X 7 的 高 度（结果精确到 1?.参考数据：s i n 3 4 0.5 6,c o s 3 4 0.8 3,t a n 3 4 0.6 7）.2 0.（9分）近日，教育部印发 义务教育课程方案和课程标准（2 0 2 2 年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农
8、耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的2倍,4用 3 0 0 元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3 捆.（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.（2）菜苗基地每捆8种菜苗的价格是3 0 元.学 校 决 定 在 菜 苗 基 地 购 买 3两种菜苗共1 0 0 捆，且 A种菜苗的捆数不超过3种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对 A,8两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.2 1.（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 机，水柱在距喷水头产水平距离5 相处达到最
9、高，最高点距地面3.2 加；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y =a（x-/?）2 +3其中x（附 是水柱距喷水头的水平距离，y（是水柱距地面的高度.（1）求抛物线的表达式.（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m.身高1.6,的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.2 2.（1 0分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环OO与水平地面相切于点C,推杆他 与铅垂线4）的夹角为NSM）,点O,A,B,C,。在同一平面内
10、.当推杆4 5与铁环。相切于点8时，手上的力量通过切点5传递到铁环上，会有较好的启动效果.（1）求证：Z B O C+Z B A D=90 .（2）实践中发现，切点3只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点Ba是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离4）最小，测得c o s N BAO =.已知铁环的半径为2 5 c m,推 杆 的 长 为75C M,求此时A D的长.2 3.（1 0分）（2 0 2 2河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABC。，使A Q与8 c重合，得 到 折 痕 斯，把纸片展平；
11、操作二：在4）上选一点P,沿3 P折叠，使点A落在矩形内部点 处，把纸片展平，连接P M ,B M .根据以上操作，当点M在 所 上时，写出图1中一个3 0。的角：_ _ _ _.（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将 正 方 形 纸 片 按 照（1）中的方式操作，并延长P M交 8 于点。，连接5Q.如图2,当点 用 在 切 上 时，N M B Q =,N C B Q =；改变点P在 位）上的位置（点P不与点A,。重合），如图3,判断N M B Q与/C 8 Q的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用在（2）的探究中，已知 正 方 形 纸 片 的 边 长 为8 c
12、a,当 尸。=1的 时，直接写出”的长.图】图2 图32022年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（每小题3 分，共 30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.1.的相反数是（）A.-B.2 C.-2 D.-22【分析】直接利用相反数的定义得出即可.【解答】解：的相反数是：2 2故选：A.2.2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合人心同”的中华文化内涵.将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答.【解答】解：在原正方体中
13、，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，故选：D.3.如图，直线AB,CD相交于点O,E O L C D,垂足为O.若 4 =54。，则 N 2的度数为)【分析】首先利用垂直的定义得到NCO=90。，然后利用平角的定义即可求解.【解答】解：.EOLCD,NCOE=90,Z1+ZCOE+Z2=180,/.Z2=1 8 0-Z l-4cO E=180-54-90=36.故选：B.4.下列运算正确的是（）A.2百-6 =2 B.（a+1）2=a2+l C.（a2）3=a5 D.2a2-a=2a3【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，辱的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可.【
14、解答】解：A、2石-6=6,故 A 不符合题意；B、（a+1）2=a2+2a+1,故 5 不符合题意;C、（a2y =a6,故 C 不符合题意；D、2a2-a=2 a 故。符合题意.故选：D.5.如 图，在菱形9CD中，对角线AC,皮）相交于点。，点 为 8 的中点.若O E =3,则菱形A 8 C D 的周长为（）【分析】由菱形的性质可得出A C _ L B Q,A B =B C =C D=D A,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出8 的长，结合菱形的周长公式即可得出结论.【解答】解：四边形/W C D 为菱形，A C Y B D,A B =B C =C D=D A,.C O D
15、 为直角三角形.,;OE=3,点 为线段C 的中点，,-.CD=2 O E=6 .C箜形ABCD=4CD=4 x 6=2 4.故选：C.6.一元二次方程/+*_1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根【分析】根据根的判别式进行判断即可.【解答】解：在一元二次方程9+犬-1 =0中，4=1,b=l 9 c =1,=/,2-4a c =l2-4x l x（-l）=l +4=5 0.原方程有两个不相等的实数根.故选：A .7.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（）A.5 分 B.4
16、 分 C.3 分 D.4 5%【分析】根据众数的定义求解即可.【解答】解：由扇形统计图知，得 4分的人数占总人数的45%,人数最多，所以所打分数的众数为4分，故选：B.8 .孙子算经中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆.”说明了大数之间的关系:1 亿=1 万x l 万，1 兆=1 万x l 万x l 亿.则 1 兆等于（）A.1 0s B.1 01 2 C.1 01 6 D.I02 4【分析】根据同底数幕的乘法先求出1 亿，再 求 1 兆即可.【解答】解：1 亿=1 O4X1（）4-1 08,1 ；IK =1 04x l 04x l 08=1 04+4+8=1 03故选：C.9.如图，在
17、平面直角坐标系中，边长为2的正六边形A B C O E F 的中心与原点O重合，ABHx轴，交 y 轴于点P.将 以绕点O顺时针旋转，每次旋转9 0。，则第2 02 2 次旋转结束时,C.(-6,-1)D.(1,退)【分析】由正六边形的性质可得A（l,后），再根据由3 60。+9 0。=4 可知，每 4次为一个循环,由2 02 2 +4 =5 05.2,可 知 点 与 点&重 合，求出点4的坐标可得答案.【解答】解：.边长为2的正六边形/W C Q E F 的中心与原点O重合，:.OA=AB=2,ZS4 /3）,.第 2 02 2 次旋转结束时，点 A的坐标为（-1,-百）,故选：B.1 0.
18、呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻（图 1 中的K）,飞的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2）,图3A.呼气酒精浓度K越大，凡的阻值越小B.当 K =0 时，/的 阻 值 为 1 00C.当 K =1 0时，该驾驶员为非酒驾状态D.当4 =2 0 时，该驾驶员为醉驾状态【分析】观察图2 可直接判断A、B,由K =1 O 可算出用的值，从而判断C,观察图2 可得用=2 0 时 K的值，从而算出M 的值，即可判断。.【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，尺的阻值越小，故 A正确，不符合题意;由图2知，K =0 时，凡的阻值为
19、1 00,故 3正确，不符合题意；由图 3 知,当 K=1 0 时，M=2 2 00 x 1 0 x 1 0-3=2 2（mg/1 00/n L）,.当K =1 0时，该驾驶员为酒驾状态，故 C不正确，符合题意；由图2知，当=2 0时，K =4 O,M=2 2 00/4 0 x 1 0-3 =8 8（/wg/1 O O wZ,）,该驾驶员为醉驾状态，故。正确，不符合题意：故选：C.二、填 空 题（每小题3 分，共 15分）1 1.请写出一个），随x 的增大而增大的一次函数的表达式：答案不唯一，如 y =x .【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0 即可.【解答】解：例如：y=x ,或
20、 y =x +2 等，答案不唯一.1 2.不等式组 I,2【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集.【解答】解：x-3,0 尹解不等式，得：x,3,解不等式，得：x 2,该不等式组的解集是2%,3,故答案为：2 e=90,.点C、。、。在同一条直线上，由旋转得：CQ-CP=CQ=,分两种情况：当点。在 8 上，在 RtAADQ 中，DQ=CD-CQ=l,AQ=ATr+D（=也+尸=垂）,当点Q在。C的延长线上，在 RtAADQ，中，DQCD+CQ=3，/.AQ=yjAlf+DQ2=,2?+3?=713,综上所述：当4 0 0 =90。时，AQ的长为行或故答案为：石 或三、解 答
21、题（本大题共8个小题，共75分）16.（10 分）（1）计算：/27-（1）0+2-,；（2）化简：.x x【分析】（1）先算立方根、零指数累、负整数指数基，再算加减:（2）先通分，把除化为乘，再分解因式约分.【解答】解：（1）原式=3-1 +125=;2（2）原式=a+D（xT）一 z lX X_（x+l）（x -1）X=-x7=x +l .1 7.（9分）2 0 2 2 年 3月 2 3 日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”.某中学为了解学生对“航空航天知识”的
22、掌握情况，随机抽取5 0 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：.成绩频数分布表:成绩X （分）5 0 x v 6 06 0 x v 7 0 7 0 x v 8 08 0 x v 909啖 火 1 0 0频数791 21 66h.成绩在7 0,8 0 这一组的是（单位：分）：7 0 7 1 7 2 7 2 7 4 7 7 7 8 7 8 7 8 7 9 7 9 7 9根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是 7 8.5 分,成绩不低于8 0 分的人数占测试人数的百分比为.（2）这次测试成绩的平均数是7 6.4分，甲的测试成绩是7 7 分.乙 说：“甲的成绩
23、高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗？请说明理由.（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价.【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于8 0 分的人数除以被测试人数即可；（2）根据中位数的意义求解即可；（3）答案不唯一，合理均可.【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第2 5、2 6 个数据的平均数，而第2 5、2 6 个数据分别为/包=7 8.5 （分），2所以这组数据的中位数是7 8.5 分，成绩不低于8 0 分的人数占测试人数的百分比为g 2X100%=44%,5 0故答案为：7 8.5,4 4%；（2）不正确，因为甲的成绩7 7
24、分低于中位数7 8.5 分，所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；（3）测试成绩不低于8 0 分的人数占测试人数的4 4%,说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）.1 8.（9 分）如图，反比例函数y =4（x 0）的图象经过点A（2,4）和点8,点 8在点A 的下方,XA C平分NO 4 B,交 x 轴于点C.（1）求反比例函数的表达式.（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段A C的垂直平分线.（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段。4 与（2）中所作的垂直平分线相交于点O,连接CD.求证：CD/AB.【分析】(1)直接把点A的坐标代入求出k即可；(2)利用尺
25、规作出线段A C的垂直平分线m即可;(3)证明NDC4=N B A C,可得结论.【解答】(1)解：.反比例函数y=(x 0)的图象经过点A(2,4),X =2x4=8，.反比例函数的解析式为y=；(2)解：如图，直线机即为所求.(3)证明：.AC 平分 NQ48,.ZOAC=ZBAC,.直线也垂直平分线段AC,DA=DC，:.Z.OAC=ADCA,:.ZDCA=ZBAC,:.C D/A B.19.(9分)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的 清明上河图建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁ZX：的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端。的仰角为34。，沿A C方向前进15
26、机到达8处，又测得拂云阁顶端。的仰角为45。.已知测角仪的高度为1 5”，测量点A,8与拂云阁。C的底部C在同一水平线上，求拂云阁C 的高度(结果精确到 1 E.参考数据：sin34 0.56,cos34a0.83,tan34。0.67).D【分 析】延 长 E F 交。C 于 点 ，根 据 题 意 可 得：Z D H F =90 ,F=AB=15米，CH=BF=AE=L5米，设 FH=x 米，在 RtADFH中，利用锐角三角函数的定义求出F”的长，然后在RtADHE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x 的方程，进行计算即可解答.【解答】解：延 长 所 交 C于点，由题意得：Z D H F =
27、90,EF=A8=15米，CH=8P=AE=1.5 米,设 用=x 米，E H =EF+F H =(15+x)米，在 RtADFH 中，Z D F H =45,.DH=F H tan450=x(米)，在 RtADHE 中，Z D E H =34,tan 340=。0.67,E H x+15/.x 30.1,经检验：x“30.1是原方程的根，IX：=D H +C H =30A+,5 32（米）,.拂云阁”1的高度约为32米.20.（9 分）近日，教育部印发 义务教育课程方案和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采
28、购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A 种菜苗的价格是菜苗基地的*倍,4用 300元在市场上购买的A 种菜苗比在菜苗基地购买的少3 捆.（1）求菜苗基地每捆A 种菜苗的价格.（2）菜苗基地每捆8 种菜苗的价格是3 0 元.学校决定在菜苗基地购买A,8 两种菜苗共100捆，且 A 种菜苗的捆数不超过8 种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对 A,8 两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x 元，根据用300元在市场上购买的A 种菜苗比在菜苗基地购买的少3 捆，列方程可得菜苗基地每捆A 种菜苗的价格是20元；（2）设购买A 种菜苗加捆
29、，则购买5 种菜苗（100-机）捆，根据A 种菜苗的捆数不超过3 种菜苗的捆数，得 办,50,设本次购买花费w元，有w=2 0 X 0.9/n +3 0 X 0.9(1 0 0-m)=-9m+2 7 0 0 ,由一次函数性质可得本次购买最少花费2 2 5 0元.【解答】解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x 元，根据题意得：迎=等+3,x J-X4解得x =2 0,经检验，x =2 0 是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是2 0 元；(2)设购买A种菜苗m捆，则购买3种菜苗(1 0 0-捆，.4 种菜苗的捆数不超过8种菜苗的捆数，:.m,1 0 0 -z n,解得，%,5 0,设
30、本次购买花费w元，卬=2 0 x 0.9/7 7 +3 0 x 0.9(1 0 0 -加)=-9m+2 7 0 0 ,.-9 5 y+3.2,将(0,0.7)代入得：0.7 =25。+3.2,解得=，101 )1 7 7y =-(x-5)+3.2=-x+x H-,10 10 10答：抛物线的表达式为y =+X +1；10 101 7(2)当 y =1.6 时，-x2+x+=1.6 .10 10解得x=l 或 x=9,她与爸爸的水平距离为3-1 =2(/7 7)或9-3=6(/n),答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2机或6 m.22.(10 分)为弘扬民族传统体育文化，某校将传
31、统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环0O 与水平地面相切于点C,推杆A B与铅垂线AD的夹角为N E4O,点 O,A,B,C,。在同一平面内.当推杆AS与铁环O O 相切于点8时.，手上的力量通过切点8传递到铁环上，会有较好的启动效果.(1)求证：Z B O C+Z B A D =90 .(2)实践中发现，切点3 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点3是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离4)最小，测得c o s N8 =|.已知铁环。的半径为25 c 加，推杆A8的长为7 5 c m,
32、求 此 时 的 长.【分析】(1)本小题难度不大，方法颇多，方 法 1：如 图 1,过点B作 防/C D,分别交4 5于点E,交 O C 于点F .首先证明N 3 O C +N O 3 F =90。，Z A B E+Z B A D =90 ；再根据8是切点得出NO8 4 =90。.后面就很简单的证明出结论；方 法 2：如 图 2,延长08交 8 于点M .因为至 为 O O 的切线，所以根据切线性质得到，Z OS 4 =90 ,Z A B M =90.再根据四边形、三角形的内角和即可证明；方法3：如图3,过点3 作 B N/A Q,根据两直线平行，内错角相等和切线性质，可以很简单的证明问题；(
33、2)利 用(1)中 图 1的辅助线即可解答.首先根据条件M =7 5,cosZBAD=,得到5A E =45.再 利 用(1)证明出的，N O B F =Z B A D ,能得到四边形CDE 尸为矩形，所以D E =C F =5,从而得至i 4)=A E+E Z)=50 a.【解答】(1)证明：方 法 1：如 图 1,过点3 作 E F/CZ),分别交4 5 于点E,交 OC 于点F .8 与。相切于点C,.-.ZOCD=90.A D Y C D,:.ZADC=90 .-,-EF/CD,:.ZOFB=ZAEB=90 ,N B O C +N O B F =9 0 ,ZABE+A B A D=9
34、0 ,4;为 OO的切线，ZOBA=90.;.NOBF+ZABE=90,.ZOBF=90.:.NOBF+ZABE=90。,：.ZOBF=ZBAD,:.ZBOCZBAD=90；8与 OO相切于点C,/.ZOCM=90,:BO C+ZBM C=90。,A D C Df.ZADC=90.AB为 O O 的切线，/.ZOZM=90,.ZABM=90。.二.在四边形 ABMD 中，ZBAD+ZBMD=180.ZBMC+ZBMD=180,；B M C=/B A D.ZBOC+ZBAD=90；c。与 o o 相切于点c,/.ZOCD=90,AD.LCD,:.ZADC=90.:.A D/O C,:.BN/OC
35、,:.ZNBO=ZBO C.AB为 OO的切线，.NO曲=90。，.ZAO+ZAA=90。，.ZBOC+ZBAD=90.(2)解：如 图 1,在 RtAABE中,AC图3一5D.AB=75,cos NBA。=.AE=45.由（1）知，N O B F =Z B A D,3cos Z O B F =-,5在 RtAOBF 中，.03=25,:.BF=15,.-.OF=20.-.-OC=25,:.CF=5.N O C D =Z A D C =N C F E=90,.四边形C D 为 矩形，:.DE=C F =5,A D =A E +E D =50a?.23.（10分）综合与实践综合与实践课上，老师让
36、同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.（1）操作判断操作一：对折矩形纸片A fiC D,使）与3 c 重合，得到折痕E F,把纸片展平；操作二：在 AD上选一点尸，沿 8 P 折叠，使点月落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接P M ,B M .根据以上操作，当点M 在 斯 上时，写出图1 中一个30。的角：_N M B 或 NC8M或 445P或N C B M（任写一个即可）.（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将 正 方 形 纸 片 按 照（1）中的方式操作，并延长RW交 8 于点Q,连接8Q.如图2,当点M 在 E F 上时，N M B Q =,N C B
37、 Q =；改变点P 在 AD上的位置（点 P 不与点A,。重合），如图3,判断NM8Q与 NC8。的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片AfiCD的边长为8 c ro,当尸。=1的时，直接写出”的【分析】(1 )由折叠的性质可得AE=BE=4AB,ZAEF=ZBEF=90,AB=BM,2ZABP=B M ,由锐角三角函数可求NMB=30。，即可求解；(2)由“H L”可证 RtABCQ三 RtABM Q,可得 NC8Q=NM8Q=15；由“HL”可证 RlABCQ S RtABMQ,可得 NCBQ=NMBQ：(3)分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解.【
38、解答】解：(1).对折矩形纸片AE=BE=-A B,ZAEF=ZBEF=90,2.沿BP折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，：.AB=BM,Z A B P=B M ,BE 1,/s i n ZBME=-=，BM 2/.ZM S=30,:.ZABM=60,/C BM =ZABP=/C BM =30，故答案为：ZEMB或NCBM或ZABP或NCBM(任写一个即可)；(2)由(1)可知 NC8W=30。，.四边形ABC)是正方形，:.AB=BC,ZBAD=ZC =90,由折叠可得：AB=BM,ZBAD=NBMP=90,ZBM=B C,NBMQ=NC=90,又；BQ=BQ,RtABCQ RtABMQ(
39、HL),；.NCBQ=NMBQ=15。,故答案为：15,15；NMBQ=N C B Q,理由如下：.四边形ABCD是正方形，:.AB=BC,NS4D=/C =90。，由折叠可得：AB=BM,ZBAD=ZBMP=90,/.ZBM=BC,NBMQ=NC=90,又；BQ=BQ,RtABCQ=RtABMQ(HL),NCBQ=NMBQ；(3)由折叠的性质可得分=b=4c z,AP=PQ,RtABCQ 三 RtABMQ,:.CQ=MQ,当点。在线段b 上时，.FQ=cm,：.MQ=CQ=3cm,DQ=5cm,PQ2=PD2+DQ2,/.(AP+3)2=(8-A P)2+25,A n40.AP=,11当点Q 在 线 段 上 时，-：FQ=cm,MQ=CQ=5cm,DQ=3cm,PQ2=PD2+DQ2,:.(AP+5)2=(8-A P f+9,.AP=,13综上所述：A P的长为竺cvn或 竺 cm.11 13