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1、1.2 空间向量基本定理共线向量定理共线向量定理:共面向量定理共面向量定理:复习对任意两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是如图，设 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量 ，能否用 表示呢？OijpPk新知因此，如果 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实组 ，使得 .我们称 分别为向量 在 上的分向量.思考 你能证明唯一性吗？证明：假设这种表示形式不唯一，即 还可以表示成 ，那么 .可得 .由向量 不共面可以得到 探究 在空间中，如果用任意三个不
2、共面的向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结论吗？新知空间向量基本定理 如果三个向量 不共面,那么对任意一个空间向量 ,存在唯一的有序实数组 ,使得我们把 叫做空间的一个基底，都叫做基向量.所有空间向量组成的集合就是新知单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示.空间向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量 ，使 ，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.(1)构成空间的基底是唯一的吗？(2)基底选定后，空间中向量用基底表示，表示形式唯一吗？(3
3、)基向量可以为零向量吗？思考答案：不唯一答案：唯一答案：不可以.因为零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面.新知A 例1 如图1.2-2，是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 用向量 表示 .分析：是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底 ，可以用基底 表示出来.解：用基底表示向量(分解向量)的步骤：定基底找目标下结论用基底表示向量(分解向量)的步骤：定基底找目标下结论在几何体中求空间向量的数量积、证明平行与垂直，求两条直线的夹角分解向量，转化为已知模和夹角的向量的数量积最后利用数量积的定义求解1、空间向量基本定理2、用基底表示向量的步骤：定基底、找目标、下结论3、在几何体中求空间向量的数量积、证明平行与垂直，求两条直线的夹角分解向量，转化为已知模和夹角的向量的数量积利用数量积的定义求解课本P14练习2