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1、人教人教A版版 选择性必修选择性必修 第一册第一册1.2 空间向量基本定理第一章空间向量与立体几何 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？情境导学 我们知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？学习目标问题探究定理解析定理辨析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.2.一个
2、基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.(4)若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.()答案:(1)(2)(3)(4)做一做2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案:C 典例解析跟踪训练 反思感悟用基底表示
3、空间向量的解题策略1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.归纳总结例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且(1)证明:EFB1C;(2)求EF与C1G所成角的余
4、弦值.典例解析延伸探究：设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MFB1C.应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).归纳总结1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是()答案:C 解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.当堂达标当堂达标答案:A 3.下列说法正确的是()A
5、.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中基向量与基底e,f,g中基向量对应相等答案:C 解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.5.若a,b,c是空间的一个基底,试判断a+b,b+c,c+a能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数,使得a+b=(b+c)+(c+a),即a+b=a+b+(+)c.a,b,c是空间的一个基底,a,b,c不共面.即不存在实数,使得a+b=(b+c)+(c+a),a+
6、b,b+c,c+a不共面.故a+b,b+c,c+a能作为空间的一个基底.1利利用用向向量量的的线性性运运算算和和空空间向向量量基基本本定定理理表表示示向向量量是是向向量量应用用的的基基础2利利用用共共线向向量量定定理理、共共面面向向量量定定理理可可以以证明明一一些些平平行行、共共面面问题；利利用数量用数量积运算可以解决一些距离、运算可以解决一些距离、夹角角问题3利用向量解立体几何利用向量解立体几何题的一般方法：把的一般方法：把线段或角度段或角度转化化为向量表示，向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或向量的运算或证明去解决明去解决问题其其中合理中合理选取基底是取基底是优化运算的关化运算的关键课堂小结课堂小结人教人教A版选择性必修版选择性必修第一册第一册