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1、第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解学学习习目目标标1理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数(难点)温故知新、巩固基础NO.1P50 一般地，对于二次函数一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使，我们把使ax2+bx+c=0的实数的实数x叫做二次函数叫做二次函数y=ax2+bx+c的的零点零点.对于一般函数对于一般函数y=f(x)，我们把，我们把使使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.特殊一般函数零点的概念初步探索、直观感知NO.
2、2初步探索初步探索 直观感知直观感知1.求下列方程的根求下列方程的根 x-2=0 x2-2x-3=0 log2x=0 2.依次画出对应的函数的图象依次画出对应的函数的图象 y=x-2 y=x2-2x-3 y=log2x1-1-2-1210方程的根方程的根就是对应函数就是对应函数图象与图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标xyO-13问题问题1：方程的根方程的根与相应函数图象与相应函数图象有什么联系有什么联系?321-1-1210等价关系方程方程f(x)=0有有有有实数解实数解实数解实数解 函数函数y=f(x)的的有有有有零点零点零点零点 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴轴有公共点有公共点
3、有公共点有公共点练习练习1：求下列函数的零点：求下列函数的零点合作互动、探究新知NO.3探究：探究：如图所示，有位同学想过河，渡过河流的路线有如图所示，有位同学想过河，渡过河流的路线有 哪些？请动手画一画。哪些？请动手画一画。B x A若将河流抽象成若将河流抽象成x轴，前后的两个位置视为轴，前后的两个位置视为A、B两点，请大家用两点，请大家用连续不断连续不断的曲线画出她的可能路径的曲线画出她的可能路径.B x y Oba端点函数值异号端点函数值异号即即f(a)f(b)0 若所画曲线能表示为函数，设若所画曲线能表示为函数，设A点横坐标为点横坐标为a,B点横坐标为点横坐标为b。A思考：这些函数图象
4、与 x 轴轴有什么关系有什么关系？思考：怎样用数学符号表示零点存在的条件？思考：如图所示，这些函数图象有零点吗？0yx0yx思考：思考：如果如果f(a)f(b)0，但，但图象是图象是不不连续的连续的,函数函数f(x)一定有零点一定有零点?端点函数值异号端点函数值异号f(a)f(b)0函数图象函数图象是连续是连续函数有零点函数有零点注注:只有上述两个条件同时满足只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点才能判断函数在指定区间内存在零点.函数零点存在定理如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是一条一条连续不断连续不断的曲线，且有的曲线，且有 f(a)f(
5、b)0，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内至少有一个至少有一个零点，即存在零点，即存在 c (a,b)，使得，使得 f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解 练习练习1：求零点所在的区间：求零点所在的区间（1）若函数 y=f(x)在区间a,b上满足 f(a)f(b)0，则 y=f(x)在区间(a,b)内一定 有零点.（）（2）若函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且 f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点.（）练习练习2：判断下列命题是否成立：判断下列命题是否成立函数图象连续不可少函数图象连续
6、不可少函数零点存在定理只能用来函数零点存在定理只能用来判断函数是否存在零点，判断函数是否存在零点，但但不能判定函数零点不能判定函数零点的个数的个数.拓展延伸、思维提升NO.4单调函数单调函数0yx问题问题3：什么情况下有唯一一个零点？什么情况下有唯一一个零点？探究：探究：已知函数已知函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象如上的图象如下图，则下图，则函数函数 y=f(x)在区间在区间 a,b内有几个零点内有几个零点?五个五个1-1-2-1210321-1-1210问题问题3：什么情况下有唯一一个零点？什么情况下有唯一一个零点？探究：探究：已知函数已知函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的
7、图象如上的图象如下图，则下图，则函数函数 y=f(x)在区间在区间 a,b内有几个零点内有几个零点?函数图象连续函数图象连续f(a)f(b)0函数在区间内函数在区间内单调单调函数有函数有唯一唯一零点零点 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并上的图象是连续不断的一条曲线，并且且f(a)f(b)0,且是单调函数且是单调函数,那么这个函数在那么这个函数在(a,b)内必有唯一的内必有唯一的一个零点一个零点.函数零点存在定理的推论x0246105y241086121487643219由上表和右图可知，定义域内是连续的由上表和右图可知，定义域内是连续的f(2)0，
8、即即f(2)f(3)0，由函数零点存在定理可知，由函数零点存在定理可知，这个函数在区间这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点内至少有一个零点.解：用计算工具作出解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象.容易证明，函数容易证明，函数f(x)=lnx+2x-6，x(0，+)是是增函数，所以它只有一个零点增函数，所以它只有一个零点.函数函数f(x)=lnx+2x-6是否有是否有零点零点?如何判断？若零点存在，有几个零点？如何判断？若零点存在，有几个零点？解法解法1y=-2x+6y=lnx60 x1 2 3 4y由图可知由图可知,这两个函数的图象只有一个交点这两个函数的图象只有
9、一个交点,即方程只有一根即方程只有一根.即求方程即求方程 lnx=的解的个数，的解的个数，即判断函数即判断函数y=lnx与函数与函数y=-2x+6图像的交点个数图像的交点个数.解：求函数解：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点即的零点即求方程求方程lnx+2x6=0的解的解.所以函数所以函数f(x)=lnx+2x-6只有一个零点只有一个零点.函数函数y=f(x)-g-g(x)的的零点零点零点零点 方程方程f(x)-g-g(x)=0的的实数解实数解实数解实数解;方程方程f(x)=g g(x)的的实数解实数解实数解实数解;函数函数y=f(x)的图象与的图象与y=g g(x)的图象的图象公共点的公
10、共点的横坐标横坐标横坐标横坐标.解法解法2函数函数f(x)=lnx+2x-6是否有是否有零点零点?如何判断？若零点存在，有几个零点？如何判断？若零点存在，有几个零点？【变式提升变式提升】求函数求函数f(x)=2-x-x零点的个数零点的个数 y=x 1O Ox1 2 3 4y在同一坐标系中画出这两个函数的图象，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图可知，这两个函数的图象只有一个交点，由图可知，这两个函数的图象只有一个交点，即方程即方程2-x=x只有一解，即函数零点只有只有一解，即函数零点只有1个个.解：解：求函数求函数f(x)=2-x-x零点的个数零点的个数，即求方程，即求方程 的根的个数，的
11、根的个数，即判断函数即判断函数y=x 与与 的图象交点个数的图象交点个数.2.2.零点存在定理：零点存在定理：零点存在定理：零点存在定理：如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是一条一条连续不断连续不断的曲的曲线，且有线，且有 f(a)f(b)0，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内至少有一个至少有一个零点，即存零点，即存在在 c (a,b)，使得，使得 f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解课堂小结1.1.函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：对于一般函数对于一般函数y=f(x)，我们把，我们把使使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.方程方程f(x)=0有有有有实数解实数解实数解实数解 函数函数y=f(x)的的有有有有零点零点零点零点 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴轴有公共点有公共点有公共点有公共点作业布置教材教材P144，练习，练习T1,2本节课到此结束，谢谢大家！本节课到此结束，谢谢大家！