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1、1 函数的应用专题训练 1.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为()A.(-14,0)B.(0,14)C.（14,12）D.（12,34）2.某商场在销售空调旺季的 4天内的利润如表所示.时间 1 2 3 4 利润/千元 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的()A.y=log2x B.y=2x C.y=x2 D.y=2x 3.函数 f(x)=|lg x|-(12)x的零点个数为()A.3 B.0 C.1 D.2 4.已知 1是函数 f(x)=ax2+bx+c(abc)的一个零点,若存在实数 x0,使得 f(x0)0,
2、则 f(x)的另一个零点可能是()A.x0-3 B.x0-12 C.x0+32 D.x0+2 5.若 ab2时,f(x)=12f(x-2).方程f(x)=15的所有实数根之和是()A.8 B.13 C.18 D.25 2 7.某品牌牛奶的保质期 y(单位:天)与储存温度 x(单位:)满足函数关系y=akx+b(a0,a1).该品牌牛奶在 0 的保质期为 270天,在 8 的保质期为 180天,则该品牌牛奶在 24 的保质期是()A.60天 B.70 天 C.80 天 D.90 天 8.若函数 f(x)=x-ax(aR)在区间(1,2)上有零点,则实数 a的取值范围为 .9.函数 f(x)=(l
3、g x)2-lg x 的零点为 .10.已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间-1,1上有零点,则a的取值范围是 .11.设函数 f(x)=|x-a|-2x+a,若关于 x 的方程 f(x)=1 有且仅有两个不同的实数根,则实数a的取值构成的集合为 .12.设函数 f(x)=a2x-2-x(aR).(1)若函数 y=f(x)的图象关于原点对称,求函数 g(x)=f(x)+32的零点 x0;(2)若函数 h(x)=f(x)+4x+2-x在 x0,1的最大值为-2,求实数 a的值.13.某地为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,大力开展植树造林.假
4、设一片森林原来的面积为a亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的2倍时,所用时间是10年.(1)求森林面积的年增长率;(2)到今年为止,森林面积为原来的2倍,则该地已经植树造林多少年?3 (3)为使森林面积至少达到 6a亩,至少需要植树造林多少年?(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)14.为了支持一家小微企业发展,某科创公司研发了一种玩具供其生产销售.根据测算,该企业每月生产x套玩具的成本 p由两部分费用(单位:元)构成:固定成本(与生产玩具套数 x 无关),总计 2万元;生产所需成本(5x+1200 x2)元.(1)该企业每月生产多少套玩
5、具时,可使得平均每套所需的成本费用最少?此时每套玩具的成本费用是多少?(2)因“疫情”防控的需要,要求企业的复工复产逐步进行.假设复工后,企业每月生产 x套,每套售价定为30+x100(单位:元),且每月生产出的玩具能全部售出.如果企业的月产量与复工率成正比,且该企业复工率达 100%时的月产量为 4 000 套,问:该企业的复工率至少达到多少时,才能确保月利润不少于 10万元?4 15.已知函数 f(x)=log2x1x+1,g(x)=3ax+1-a,h(x)=f(x)+g(x).(1)当 a=1时,判断函数 h(x)在(1,+)上的单调性及零点个数;(2)若关于 x 的方程 f(x)=lo
6、g2g(x)有两个不相等实数根,求实数 a的取值范围.16.已知 a,b,cR,a+b+c=0,若函数 f(x)=3ax2+2bx+c(a0)的两个零点是 x1,x2,则1|2x1-1|+1|2x2-1|的最小值是()A.36 B.33 C.3 D.23 17.(2018 年 4 月浙江学考)设 a 为实数,若函数 f(x)=2x2-x+a 有零点,则函数 y=ff(x)零点的个数是()A.1或 3 B.2或 3 C.2 或 4 D.3或 4 18.设定义域为 R的函数 f(x)=|lg|x-1|,x1,0,x=1,则关于 x的方程f(x)2+bf(x)+c=0有 7个不同实数解的充要条件是(
7、)A.b0 B.b0 且 c0 C.b0且 c=0 D.b0且 c=0 19.(2021温州期末测试)已知 aR,函数 f(x)=x 7,x a,x2-4x,xa.(1)若函数 y=f(x)恰有 2个零点,求实数 a的取值范围;(2)若 f(f(x)f(x),求实数 x 的取值范围.5 答案及解析 1.C 因为函数 f(x)=ex+4x-3 在 R 上连续且单调递增,且()=+-3=-20,所以函数的零点在区间（,）上,故选 C.2.B y=log2x,当 x=1 时,y=0,x=2 时,y=1,与表格相差比较大,A 不正确;y=2x,满足 x=1 时,y=2,x=2 时,y=4,x=3 时,
8、y=8,x=4 时,y=16,结合表格可知函数的表达式,比较接近,B正确;y=x2,当 x=1时,y=1,x=2 时,y=4,x=3 时,y=9,x=4 时,y=16,与表格相差比较大,C不正确;y=2x,当 x=1 时,y=2,x=2 时,y=4,x=3 时,y=6,x=4 时,y=8,与表格相差比较大,D 不正确.故选 B.3.D 由 f(x)=|lg x|-()=0 得|lg x|=(),分别作出函数 y=|lg x|与 y=()的图象(图略),由图象可知两个函数有 2 个交点,即函数 f(x)=|lg x|-()的零点个数为 2,故选 D.4.B 因为 1 是函数 f(x)=ax2+b
9、x+c 的一个零点,所以 a+b+c=0,又 abc,所以a0,c|b|,可得-,则另一零点 x2=2（-）-1(-2,0),且 x0(x2,1),所以选 B.5.A 由于 ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,因此有 f(a)f(b)0,f(c)f(b)0 时,f(x)在(1,2)上为增函数,则 1-a0,得 1a4.9.1 或 10 由题知(lg x)2-lg x=0,得 lg x(lg x-1)=0,lg x=0 或 lg x=1,x=1 或 x=10.10.1,+)f(x)=2ax2+2x-3-a 图象的对称轴为直线 x=-.当-1,即 0a时,需(),(),即 ,则 a.当-1-
10、时,需(),(),解得 a1,实数 a 的取值范围是1,+).11.,+,2 由方程 f(x)=1,得|x-a|+a=+1 有两个不同的解,令 h(x)=|x-a|+a,g(x)=+1,当 xa 时,h(x)=x,当 x0,x=-1.函数 g(x)的零点为-1.(2)h(x)=a2x-2-x+4x+2-x,x0,1,令 2x=t1,2,h(x)=H(t)=t2+at,t1,2,对称轴 t=-,当-,即 a-3 时,H(t)max=H(2)=4+2a=-2,a=-3;当-,即 a0,解得 x1.(1)由于 f(x)=log2+=log2（1-+）,y=1-+在(1,+)上单调递增,根据复合函数单
11、调性可知,f(x)在(1,+)上单调递增,当 a=1时,g(x)=3x在(1,+)上单调递增,所以 h(x)在(1,+)上单调递增.由于h(1.1)=3.3-log2210,h(1.1)h(2)0,所以h(x)在区间(1,+)上零点个数为 1.(2)方程 f(x)=log2g(x)可化为 log2+=log2(3ax+1-a),即+=3ax+1-a,化简得-=(3x-1)(x+1)(x1),画出y=(3x-1)(x+1)(x1)的图象(图略)知,要使-=(3x-1)(x+1)有两个解,则需-4,解得-a0,所以 a,记两根为 x1,x2(x10,此时 t=x2是方程 2t2-t+a=0 的根,
12、即 f(x)=x2,此时方程有两个不等的实根;11 又因为 x1=,f(x)min=f（）=a-,则 f(x)min-x1=a-=-(1-)-1f(x)min,此时 f(x)=x1有两个不等的实根;因此 y=ff(x)有 4 个零点.故选 C.18.C 设 f(x)=t 如下图,由函数图象得:(1)当 t0 时,方程 f(x)=t有不同的实数解 4 个;(2)当 t=0 时,方程 f(x)=t有不同的实数解 3 个;(3)当 t0 时,方程 f(x)=t没有实数解.所以,关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是方程x2+bx+c=0有两个根,其中一个根等于 0,另
13、一个根大于 0.此时应 b7,若 2 个零点分别为 0,7 时,可得 0u,必无解,当 ua 时,u2-4uu,u5 或 u0,情况一:当 a0 时,可得 ua,即 f(x)a,12 xa 时,x-7a,则 ax7+a,xa 时,x2-4xa2-4a0a,无解,因此实数 x的取值范围是a,7+a).情况二:当 0a4时,可得 u0,即 f(x)0.xa 时,x-70,则 ax7,xa 时,x2-4x0,则 0 xa,因此实数 x的取值范围是0,7.情况三:当 4a5时,可得 u0,即 f(x)0,xa 时,x-70,则 ax7,x5 时,可得 5ua 或 u0,即 5f(x)a 或 f(x)0.xa 时,5x-7a 或 x-70,则 12x7+a 或 x7,xa 时,5x2-4xa 或 x2-4x0 或 5x2+或 2-+0,故 2+a,因此 i.5a7时,实数 x 的取值范围是(2-+,-10,45,2+)a,712,7+a);ii.当 7a12 时,实数 x 的取值范围是(2-+,-10,45,2+)12,7+a),iii.当 a12时,实数 x 的取值范围是(2-+,-10,45,2+)a,7+a)13