《2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题(解析版).pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题 一、单选题 1下列选项中，与36C相等的是（）A35C B35A C25A D4!【答案】C【分析】先求出36C的值，然后逐个求解判断即可【详解】36C20，对于 A，3512C00，所以 A 错误，对于 B，35A5436020，所以 B 错误，对于 C，25A5420，所以 C 正确，对于 D，4!4 3 2 12420 ，所以 D 错误，故选：C 2平行六面体1111ABCDABC D中，11,2,3,1,2,4ACC，则点1A的坐标为（）A0,4,7 B2,0,1 C2,0,1 D2,0,1【答
2、案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.【详解】设1,A x y z，11,2,3,1,2,4ACC，又11ACAC，1,2,31,2,4xyz ，解得2,0,1xyz，即12,0,1A.故选：B.3掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1,2,3,4），掷出点数的数学期望为（）A2 B2.5 C3 D3.5【答案】B【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率，由期望公式求解即可.【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子，掷出点数的可能取值为1,2,3,4，且掷出每第 2 页 共 17 页 种点数的概率均为14，则掷出点数的数学期望为112342.54，故选：B 45(2)xy
3、的展开式中，含32x y的系数为（）A80 B80 C40 D40【答案】A【分析】在二项展开式的通项公式中,令y的幂指数等于2,求出r的值，即可求得展开式中含32x y的系数【详解】依题意可知,555155(2)()2(1)rrrrrrrrrTCxyCxy ,故含32x y系数为352280C.故选:A.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5在四面体OABC中，,OAa OBb OCc，点M在OA上，且2,OMMA N为BC中点，则MN（）A121232abc B211322abc C111222abc D221332abc【答案】B【分析
4、】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可【详解】解：点M在线段OA上，且2OMMA，N为BC中点，23OMOA，111()222ONOBOCOBOC，122113122223abcMNONOMOBOCOA 故选：B 6由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字且 1，3 不相邻的六位数的个数是（）A36 B72 C600 D480【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480AA个.故选：D.第 3 页 共 17 页【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.7 直三棱柱111A
5、BCABC中，11111,2BCAACBCCC AMMBA NNC，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A3010 B22 C110 D25【答案】A【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示，以C为原点，以1,CA CB CC分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，设12ACBCCC，可得2,0,0A，0,2,0B，1,1,2M，1,0,2N.1,0,2AN ，1,1,2BM 1430cos,1056AN BMAN BMAN BM 故 BM 与 AN 所成角的余弦值为3010 故选：A.8甲乙丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后
6、，发现有,A B两支正在等待检测的队伍，则甲乙丙三人不同的排队方案共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况3 人到A队伍检测，2 人到A队伍检测，1 人到A队伍检测，0 人到A队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.第 4 页 共 17 页【详解】先进行分类：3 人到A队伍检测，考虑三人在A队的排队顺序，此时有33A6种方案；2 人到A队伍检测，同样要考虑两人在A队的排队顺序，此时有23A6种方案；1 人到A队伍检测，要考虑两人在B队的排队顺序，此时有23A6种方案；0 人到A队伍检测，要考虑两人
7、在B队的排队顺序，此时有33A6种方案；所以，甲乙丙三人不同的排队方案共有 24 种.故选：C 二、多选题 9下列结论正确的是（）A乘积1212nnaaabbb展开后共有 2n 项 B一个含有 5 个元素的集合有 32 个子集 C正十二边形对角线共有 54 条 D4 名工人各自在 3 天中选择 1 天休息，不同方法的种数是 43【答案】BC【分析】对于 A，利用多项式的乘法分析判断，对于 B，利用求子集个数的公式计算，对于 C，利用多边形对角线条数的公式计算，对于 D，由每名工人有 3 种休息方法进行判断【详解】对于 A，乘积1212nnaaabbb展开后共有2n项，所以 A 错误，对于 B，
8、一个含有 5 个元素的集合有5232个子集，所以 B 正确，对于 C，正十二边形对角线共有12(123)542条，所以 C 正确，对于 D，由题意可得每名工人有 3 种休息方法，所以 4 名工人共有43种休息方法，所以D 错误，故选：BC 10下列命题是真命题的有（）AA，B，M，N是空间四点，若,BA BM BN不能构成空间的一个基底，那么 A，B，M，N 共面 B直线 l的方向向量为1,1,2a，直线 m的方向向量为12,1,2b，则 l与 m 垂直 C直线 l的方向向量为0,1,1a，平面 的法向量为1,1,1n ，则 l 第 5 页 共 17 页 D 平面经过三点(1,0,1),(0,
9、1,0),(1,2,0),(1,)ABCnu t是平面 的法向量，则1ut 【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断 4 个选项即可.【详解】对于 A，若,BA BM BN不能构成空间的一个基底，则,BA BM BN共面，可得A，B，M，N 共面，A 正确；对于 B，2 1 10a b ，故ab，可得 l与 m 垂直，B 正确；对于 C，0 1 10a n ，故an，可得 l在 内或/l，C 错误；对于 D，(1,1,1)AB ，易知nAB，故10ut ，故1ut，D 正确.故选：ABD.11下列命题中，正确的是（）A若事件 A 与事件 B互斥，则事件 A 与事件
10、B独立 B已知随机变量 X的方差为 V x，则23VX=4V X C已知随机变量 X服从二项分布16,3B，则 E（X）=2 D已知随机变量 X服从正态分布21,B，若30.8P X，则110.3PX 【答案】BCD【分析】对 A：由互斥事件与独立事件的定义即可判断；对 B：由方差的性质即可判断；对 C：由二项分布的期望公式即可判断；对 D：利用正态分布的对称性即可判断.【详解】解：对 A：由互斥事件与独立事件的定义，设事件 A、B都是概率不为 0 的事件，若事件 A与事件 B 是互斥事件，则0P AB，而若事件 A 与事件 B 是相互独立事件，则 0P ABP A P B，故选项 A 错误；
11、对 B：由方差的性质可知，随机变量X的方差为 V X，则23VX=224V XV X，故选项 B 正确；对 C：由随机变量 X服从二项分布16,3B，则 1623E X ，故选项 C 正确；对 D：由随机变量 X服从正态分布21,B，30.8P X，则1113310.80.50.3PXPXP XP X，故选项 D 正确.故选：BCD.12如图，在菱形 ABCD中，AB=2，BAD=60，将 ABD沿对角线 BD翻折到 PBD位置，连接 PC，在翻折过程中，下列说法正确的是（）第 6 页 共 17 页 A任取三棱锥 P-BCD 中的三条棱，它们共面的概率为 0.2 B存在某个位置，使得 PC与
12、BD所成角为 60 CPC 与平面 BCD 所成角为 45时，三棱锥 P-BCD的体积最大 D当二面角 P-BD-C大小为 90时，点 D 到面 PBC的距离最大【答案】AC【分析】对于 A：利用古典概型的概率公式直接求概率，即可判断；对于 B：连结 AC交 BD于 E.证明出BD 面 PCE，得到BD PC.即可判断；对于 C：证明出ECP45时三棱锥 P-BCD的高为EP最大，从而三棱锥 P-BCD 的体积最大；对于 D：求出二面角 P-BD-C 大小为 90时，点 D 到面 PBC 的距离12155d.求出特殊位置当2PC 时，点 D到面 PBC的距离所以22 63d.判断出12dd.即
13、可否定结论.【详解】对于 A：任取三棱锥 P-BCD 中的三条棱，有366 5 4203 2 1C 种，其中共面一共有 4 种，故概率为40.220.故 A 正确；对于 B：连结 AC交 BD于 E.因为 ABCD为菱形，所以ACBD,即CEBD,PEBD.又CEPEE,所以BD 面 PCE，所以BD PC.故 B 错误；对于 C：因为BD 面 PCE，所以点 P在底面的射影落在直线 AC 上，即ECP为 PC与平面 BCD所成角，即ECP45.第 7 页 共 17 页 因为CEPE，所以45ECPEPC，所以90CEP，即EPEC.又EPBD，BDECE,所以EP 面 BCD.此时三棱锥 P
14、-BCD 的高为EP最大.所以1133P BCDBCDBCDShSEPV.所以 PC 与平面 BCD 所成角为 45时，三棱锥 P-BCD的体积最大.故 C 正确；对于 D：因为BD 面 PCE，所以CEP即为二面角 P-BD-C 的平面角，即90CEP.此时设点 D到面 PBC 的距离为1d.因为90CEP，2sin603CEPE，所以22336PCCEPE.所以222116615422222PBCSPCCBPC.由等体积法可得：P BCDD PBCVV，即1111152333232d，解得：12155d.当2PC 时，三棱锥 P-BCD的各边长均为 2，为一个正四面体.此时记点 D 到面
15、PBC的距离为2d，则2d为正四面体的高.如图示：过 C 作CFPB于 F,则3sin60232CFBC.过 D 作DG 面 PBC于 G,则 G为 PBC的中心，所以22 333CGCF.第 8 页 共 17 页 所以222222 32 6233dDGCDCG.因为122 152 6223 155 61351500531515dd，所以12dd.故 D 错误.故选：AC.【点睛】（1）立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中的几何关系的证明，用判定定理；立体几何中的计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算
16、 三、填空题 1362xx的展开式中常数项是_（用数字作答）.【答案】240【分析】根据二项式定理，可知62xx的展开式通项为163622rrrrTxC，令3602r，求出4r，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为62xx的展开式通项为366216622rrrrrrrxxxTCC，令3602r，则4r，所以62xx的展开式中常数项是446622240rrCC.故答案为：240.14已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 3，112AMMC，点 N为 B1B的中点，则|MN _.【答案】212【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点D为坐标原点，以
17、DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3ACBB，第 9 页 共 17 页 因为112AMMC，点N为1B B的中点，所以111,1,13AMAC，所以(2,1,1)M，3(3,3,)2N，11,2,2MN 故2221211222MN 故答案为：212.15长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约 80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过 40 分钟，这些人的近视率约为 90%，现从玩手机不超过 40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为_.【答案】31400.775【分析】利用条
18、件求出每天玩手机不超过 40 分钟的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计【详解】解：设该校共有a名同学，则约有80%0.8aa名学生近视，20%0.2aa名学生每天玩手机超过 40 分钟且玩手机超过 40 分钟的学生中有0.290%0.18aa名学生近视 所以有0.8a名学生每天玩手机不超过 40 分钟且其中有0.80.180.62aaa名学生近视 所以从每天玩手机不超过 40 分钟的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为0.62310.840aa 故答案为：3140 16某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：元件D正常工作；元件 C 正常工作或部件 A，
19、B同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(100，225)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过 100 小时的概率为_ 第 10 页 共 17 页 【答案】516【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布 N(100，225)可知每个元件使用寿命超过 100 小时的概率均为12，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过 100 小时的概率.【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(100，225)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用 100 小时以上的概率均为12，设 A 元件能用 100 小时以上为事件 A
20、，B元件能用 100 小时以上为事件 B，C元件能用100 小时以上为事件 C，D元件能用 100 小时以上为事件 D，则该部件的使用寿命超过 100 小时的概率为：P DP C P A P BP C P A P BP C P A P BP C P ABP C P A P B 1111155522222816 故答案为：516 四、解答题 17已知n为偶数，2012(1)nnnxaa xa xa x.(1)当10n 时，求8a的值；(2)证明：10242nnaaaa.【答案】(1)845a (2)证明见解析【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令1x 和1
21、x，然后将得到的式子相加可得答案【详解】(1)当10n 时，8222291010()45TCxCxx，故845a (2)当1x 时，012(1 1)nnaaaa 第 11 页 共 17 页 即0122nnaaaa 当1x 时，012(1 1)nnaaaa 即0120naaaa.由相加得：02422nnaaaa 即有10242nnaaaa.18如图，四棱锥 P-ABCD的底面是矩形，PD底面 ABCD，PD=DC=3，2BMMC，且 PBAM (1)求 AD的长；(2)求二面角 P-AM-D 的正弦值.【答案】(1)3 3；(2)2 1313【分析】(1)以,DA DC DP为一组基底，建立空间
22、直角坐标系，设3BCa，求出各点坐标，根据0PB AM求出 a的值，从而确定 AD 的长度；(2)求出平面 PAM 和平面 DAM的法向量，利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值【详解】(1)PD 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以,DA DC DP为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 设3BCa，则3,3,0,0,0,3,2,3,0,3,0,0,BaPMaAa 则3,3,3,3,0PBaAMa，PBAM，则2390PB AMa，解得3a，故33 3ADa；第 12 页 共 17 页(2)3,3,0,3 3,0,3AMAP ，设平面PAM的法向量为111,mx y z，则
23、11113303 330m AMxym APxz ，取13x，可得3,1,3m，PD平面 AMD，可设平面AMD的法向量为0,0,1n，33 13cos,1313 1m nm nm n 因此，二面角PAMD的正弦值为23 132 1311313 19高二某班级举办知识竞赛，从 A，B两种题库中抽取 3 道题目（从 A题库中抽取 2道，从 B 题库中抽取 1 道）回答.小明同学对抽取的 A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的 B题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的 3 道题目回答正确的个数为 X.(1)求 X=2 时的概率；(2)求 X 的分布列及数学期望 E（X
24、）.【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X=2 表示可能答得对 A题库 2 题，也可能 A题库 1 题，B题库 1 题，直接求概率；（2）X的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X=2 不表示可能答得对 A题库 2 题，也可能 A题库 1 题，B题库 1 题，所以 11211152222322312P X.第 13 页 共 17 页(2)X的可能取值为0,1,2,3.所以 1111022312P X；1111121122232233P X；112132236P X.X的分布列为：X 0 1 2 3 P 112 13 512 16
25、所以数学期望为：1151501231231263E X 20如图，底面为正方形的平行六面体1111ABCDABC D的各个棱的长度均为12,60CDD，平面11DCC D 平面,ABCD M N分别是11,BC AD的中点.(1)证明：AN 平面1C DM；(2)求点 C到面1C DM的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2.2【分析】（1）利用向量的线性运算判断出1/ANMC，利用线面平行的判定定理证明/AN平面1C DM；（2）以,DA DC DP为一组正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz，用向量法求点C到面1C DM的距离.【详解】(1)由题1111112ANAAANCCBCCCMCMC
26、 则1/ANMC又AN 平面1C DM，所以/AN平面1C DM.(2)在平面11CDD C内，过点D作DPDC，第 14 页 共 17 页 由平面11DCC D 平面ABCD可知：DP 平面ABCD，又ABCD为正方形.现以,DA DC DP为一组正交基底，建立如图所示的空间直 角坐标系Dxyz，则 10,0,0,1,2,0,0,3,3DMC 设,mx y z为平面1C DM的法向量，则100m DMm DC,所以20,330.xyyz 不妨取1y ,则2,1,3m.又0,2,0C，所以0,2,0DC 则0202m DC 则点C到面1C DM的距离为：22.28m DChm 21某工厂对一批
27、零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取 10 件逐一进行检测.当检测到有 2 件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为 0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测 4 次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为 100 元，合格零件的售价为 180 元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以 20 元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为 30 元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为 0.8.记 X为生产一件零件获得的利润，求 X的分布列和数学期望.
28、第 15 页 共 17 页 小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.【答案】(1)0.0243(2)分布列见解析，73.8（元）；不同意小明的看法，因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【分析】（1）根据题意，由第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格求解；（2）易得X可取 80，50，110，求得相应的概率，列出分布列，再求期望；由两个期望比较下结论.【详解】(1)解：若此批零件检测末通过，恰好检测 4 次，则第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格，故恰好检测 4 次的概率1230.1(10.1)0.10.0243PC.(2)由题
29、意可得，合格产品利润为 80 元，不合格产品修复合格后利润为 50 元，不合格产品修复后不合格的利润为110元，则X可取 80，50，110，故800.9P X，500.1 0.80.08,P X 1100.1 0.20.02,P X 故X的分布列为：X 80 50 110 P 0.9 0.08 0.02 故 80 0.950 0.08 110 0.0273.8E X（元）.对于不合格零件，直接按照废品处理，则每个零件获得利润的数学期望为：800.9800.164（元）又6473.8 故不同意小明的看法，因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大 22空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构
30、成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 60，我们将这种坐标系称为“斜 60坐标系”.我们类比空间直角坐第 16 页 共 17 页 标系，定义“空间斜 60坐标系”下向量的斜 60坐标：,i j k分别为“斜 60坐标系”下三条数轴（x 轴y 轴z 轴）正方向的单位向量，若向量nxiyjzk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜 60坐标为x，y，z，记作,nx y z.(1)若1,2,3a，1,1,2b ，求ab的斜 60坐标；(2)在平行六面体11ABCDABC D中，AB=AD=2，AA
31、1=3，1160BADBAADAA ，如图，以1,AB AD AA为基底建立“空间斜 60坐标系”.若1BEEB，求向量1ED的斜60坐标；若2,0AMt，且1AMAC，求AM.【答案】(1)0,3,5(2)32,2,2；2【分析】（1）根据所给定义可得23aijk，2bijk ，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设,i j k分别为与1,AB AD AA同方向的单位向量，则12,2,3ABi ADj AAk，根据空间向量线性运算法则得到1112EDABADAA，即可得解；依题意1223ACijk、2AMitj且10AM AC根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出t，再根据2(2
32、2)AMij及向量数量积的运算律计算可得；【详解】(1)解：由1,2,3a，1,1,2b ，知23aijk，2bijk ，所以(23)(2)abijkijk 35jk，所以0,3,5ab；(2)解：设,i j k分别为与1,AB AD AA同方向的单位向量，第 17 页 共 17 页 则12,2,3ABi ADj AAk，11EDADAE 1112ADAAABAA 112ABADAA 3222ijk 32,2,2 由题11223ACABADAAijk，因为2,0AMt，所以2AMitj，由1AMAC知122320AM ACijkitj 224242630itjt ijk itkj 1342423022ttt 2t 则22222AMijij 22448ijij 4442