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1、2021-2022学年高二下学期期中质量检测数学试卷本试卷共6 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结
2、束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .己知直线/经过点仅一3),且与直线2 -y一5 =()垂直，则直线/的方程为()A.x +2 y +4 =0 B.x +2 y-4 -0 C,x 2 y-8 0 D,x-2 y +8 =0【答案】A【解析】【分析】由垂直得直线斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即得.【详解】直线2 x-y-5 =0的斜率为2,直线/与之垂直，则方=一;，又/过点P(2,-3),所以直线方程为y +3 =g(x 2),即x +2 y +4 =0.故选：A.2 .若随机变量X
3、 则数学期望E (X)=()31A.6 B.3 C.-D.g22【答案】B【解析】【分析】由二项分布的数学期望即可得出答案.【详解】随机变量X 则数学期望E（x）=6 x g =3.故选：B.3 .已知函数.力=/一2/,则曲线y =/（x）在点（2,2）处的切线方程为（）A.2 x-y-4-0 B.2 x +y-4 =0 C.4 x-y-8 =0 D.4 x+y -8 =0【答案】C【解析】【分析】求出了（2）、/（2）的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因 为/（力=/一2炉，贝I j/（x）=3 X 2 4 x,所以，/（2）=0,/=4,因此，曲线y =/（x）在点（2,2）
4、处的切线方程为y=4（%-2）,即4 x-y 8 =0.故选：C.4 .已知等差数列。“前项和为5“,%+%（）=佝+4，则S 5=（）A.4 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 8 0【答案】B【解析】【分析】先由等差数列的性质求出必=4,再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可.【详解】由题意知：为+4 0=。8+。9=4+4,则，=4,则5 5 =4*1 5 =1 5。8=6 0.故选：B.5 .若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人,则不同的安排方法共有（）A.1 8 种 B.2 4 种 C.3 6 种 D.7 2 种【答案】C【
5、解析】【分析】先选后排可得答案.【详解】将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有C：制=3 6种.故选：C.6.若m是1和4的等比中项，则曲线C：/+L=l的离心率为（）mA.也 或G B.B或 加 C.也 D.62 2 2【答案】A【解析】【分析】求出加的值，利用椭圆、双曲线的性质求离心率.【详解】相 是1和4的等比中项,所以川=4 n z=2，2 2当机=2时，曲线C：f+）_ =1化为犬+2 1 =1是焦点在y轴上的椭圆，离心率为：m 2当桃=-2时，曲线c：Y+2L=i化为/一 匕=1是焦点在x轴上的双曲线，离心率为：m
6、 2e=J 1 +乂 =J l +2 =/5 故选：A.7 .已知直线/：x,w y+4?-3=0 点尸在圆一+/=1上，则点p到直线/的距离的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线/：一 畋+4 m一3=0 （m Q R）即为（X 3）+（4 y）加=0,所以直线过定点。（3,4）,所以点P到直线/的距离的最大值为口。+r =V 32+42+1 =6,故选：D8 .一个袋子中装有大小完全相同的3个红球和2个白球.若每次均从袋中随机摸出1个球，记录其颜色后放回袋中，同时再在袋中放入2个与摸出
7、的球颜色、大小相同的球，则第二次摸出白球的概率为（）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合分类与分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率4=|*,=卷；若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率14 2综上，第二次摸出白球的概率P=+6=x =m.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数/(x)的导函数为了(X),y=/(x)的部分图象如图所示，则()A.函数/(力 在(0,4)上单调递增 B.函数“X)在 上 单 调 递 减C.函
8、数/(x)在x=3处取得极小值 D.函数/(x)在x=()处取得极大值【答案】AB【解析】【分析】由导函数的正负可得函数/(X)的单调性，再逐项判断可得答案.【详解】有y=/(x)的图象可得当xe(-0.5,0)时，r(x)0,函 数 单 调 递 增；所以函数/(x)在(0,4)上单调递增，故A正确；函数/(x)在 卜 上 单 调 递 减，故B正确；函数/(x)在尤=3处无极值，故 C错误；函数/(x)在 x =()处取得极小值，故 D错误.故选：A B.1 0.在平面直角坐标系x Oy中，已知抛物线C:/=4A-的焦点为F,直线/的倾斜角为6 0。且经过点F.若/与 C相交于4(不),3(,
9、必)两点，则()A.xtx2-2 B.)1%=一 4C.|A B|=：D.A A O B 的 面 积 为 空3 3【答案】B C【解析】【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线/的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、B,根据焦点弦公式判断C,再求出原点到直线/的距离，即可求出三角形的面积；【详解】解：抛物线C：V=4x 的焦点坐标为尸(1,0),所以直线/：y=6(x 1),则，消去y 得3X2-1 0X+3 =0，所以玉+X,=W,Xtx2=1,/=4 x 3所以|/1 8|=尤|+0 =号+2 =*，故 A错误，C正确；yty2=A/3(X1-1)X7 3(
10、X2-1)=3 XIX2-(x,+x2)+l =3 1-y+l j =-4,故 B 正确；|-x/3|6 r-又。到直线/：8_ 6 =0的距离d=2,=冷，所以S =生 母，故妙)+(-1)-2 3D错误；故选：B C1 1.若(1 +X)+(1 +X)+(1 +X)+(1 +X)1 0=。()+ClX+，则()A.%)=1 B,a2=1 2 0C 4+a1+氏+。0 =2 -2 D.4+2 q +3 劣+1 l ei。二1 1 x 2 1 0 1【答案】A C D【解析】【分析】利用赋值法判断A、C,两边求导再利用赋值法判断B、D；【详解】解：(1 +x)+(1 +x)+(1 +幻？+(1
11、 +无)”)=。()+q x +%厂 4 +4()公 ，令=0则o=lO,故 A正确，令 x=l 则%+4+。2+0 =2 +2 2 +2 3+2 1 =二|_)=2 2,故 C 正确；对两边求导可得：1 +2(1 +x)+3(1 +1 0(1 +x)9 =q+2/x+1 O qox ，X 1 导q+2 a2+.+1 0 0 =1 +2 x2，+3 x2 +.+1 0 x2,，则 2(4 +2 2 +1 0 q()=1X2+2X2+3 x2，+.+1 0 x 2 ),两式相减得 q+2 出+-+1 0 即)+2?+.+2 9)=1 0 x2 i0 一 -*=9 x2,0+l1 2所以 4+26
12、+34+1UI0=2 -2 +9X2,+1 =11X20-1,故 D 正确：对两边求导可得：2+3X2(1+X)+.+10X9X(1+X)8=2 a,+3 x2 a3x.+1 0 x9 a1 0 x8,令x=0,可得2 +3 x2 +4 x3+1 0 x9 =2 2，解得外=1 6 5,故 B 错误.故选：A C D1 2.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，A 8=l,A 4=2,D,E分别是AC的中点，则()A.C D A C,B.B E 平面 AC。c.AC与 CQ所成角的余弦值为也 D.A。与平面BBCC所成角的余弦值为亚4 4【答案】B C D【解析】【分析】以E为坐标原点，建立如图所
13、示的空间直角坐标系，对选项ACD一判断；对选项B,连接4 c与AG交于点加，连接M D,易知MD EB，则由线面平行的判定定理可知BE平面A。，即可判断B.【详解】以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),A ,0,0 j,cU 1,0,0 jB 0,0,Bx 0,2,D,A(g,0,2)，G(-g10,2),对于A,C0=，亭,1,AC-(-1,0,2),所以CO-A=-3 +2工0,所以8与AC】不垂直,所以A错误；对于B,连接4 C与4G交于点间，连接M D,易知MD EB，所以M D u面4。，面C D,所以2E平面A。，所以B正确;、对于C,CD,AG=(1,0,
14、0),所以,4G=，使TI2 JSA C1,所以cos(Ch4C)=-/皿|阿0_ V 1 也,4 G与c o所成角的余弦值为对于D,走 2，T，-1,设 =(%,丁;)_1 _面 8耳。，CB(1-,-,0 ,CC,=(0,0,2),1 5斤6,故c正确;47、2441 +1 =6,圆=5+彳/。，令.6，y=_ l,所以=(6,7,0)，n-CC,=2z=04。与平面BBCC所成角为e,sin6=cos(，4。，n-A,DRMV 64，所以cos6=m,4。与平面8BCC所 成 角 的 余 弦 值 为 强，故D正确.44故 选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.
15、若 随 机 变 量 J NQ,。?），P（4）=0.8 6,则 2）=.7【答 案】0.14#【解 析】【分 析】直接由正态分布的对称性求解概率即可.【详 解】由题意知：尸（4 4）=0.86=尸（。2 2）,则-2）=1-0.86=0.14.故答案为：0.14.14.己知某商品的广告费用x（单 位：万 元）与 销 售 额），（单位：万 元）有如下表所示的统计数据:X12345y5096142185227若根据表中数据，求 得y关 于x的线性回归方程为y=g x+5,则 当 投 入6万元广告费用时，销售额的估计值为 万元.【答 案】275【解 析】【分 析】先计算样本中心点（工亍），将其代入回
16、归方程，可得坂的值，再 代 入x=6,即可求得答案.【详 解】%=1+2+3+4+55=3,y=50+96+142+185+2275=1 4 0,所以样本中心点为：（3,140）,将其代入回归方程5=gx+5中，有140=36+5,解 得：8=4 5,所以线性回归方程为y=4 5 x+5,当x =6 时，y=4 5 x 6+5 =2 75.故答案为：2 75.1 5 .写出一个同时具有下列性质的函数 x)=./(加+)=/(m)/()；r(x)/(x).【答案】e-*(答案不唯一)【解析】【分析】本题属于开放性问题，只需符合题意即可，根据/(加+)=/(机)/()，故构造指数型函数，再求出函数
17、的导函数，即可得解；【详解】解:依题意令/(工)=6-*,则/(m+n)=e4f f l+,)=em-n,f(in)=eT /()=e-n,所以=/(“+),故满足；又 f(x)=X,则 f(x)=-e-v =(：M+5 ,，z 1 x 2/M+5设 ，)=5力，刖/M-4c 黑5 (2 根+5)!(m+l)!(m+6)!(m+l)(m+6)/(m +1)Cl%机!(m+5)!(2机+7)!(2m+6)(2机+7)f(m(/n+l)(/n+6)令 J I、1可得4-g J 1,/(m +1)(2m+6)(2/n+7)化简可得 4m2+28m+24 4m2+26m+42 所以例 9,meN*，所
18、以/(10)/。1)一 /(加).一令f(m)/W +l)1可得加/(8)X-/(9=44-1-0-x-1-5-=1,/(10)24x25所以机=9或m=10,即=23或=25时，质子位于5对应点处的概率最大.故答案为：2：23或25.16四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 4 满足 q=3,an+=2an-2.(1)求 4 的通项公式；(2)求%的前项和S”.【答案】(1)an=2n-+2.,(2)S=T+2n-i.【解析】【分析】(1)利用递推公式进行配凑，构造新数列，再求解出新数列的通项公式，进而求 4 ；(2)由(1)写出前
19、 项和S”的表达式，运用分组转化求和即可.【小 问1详解】d 2/+|=2-2).-.+1-2 =2(-2)即；谭匕 =2an乙 数列 4 -2是以首相为1,公比为2的等比数歹U,:.a-2 =2n-:.an=2n-+2【小问2详解】由（1）知 a“=2 T+2Sn=q +生+。3+an=（2 +2）+（2 +2）+（22+2）+（2,=（2 +2 +22+2 T）+2 lx（l-2n）=-L+2 n1-2=2+2 n-l1 8.己知的展开式中，第 2 J（1）求的值；（2）求展开式中含工的项.X【答案】（1）7（2）2 835【解析】【分析】（1）根据二项式系数的比值列热（2）先求出展开式的
20、通项，然后求解所.【小问1 详解】因为二项式0 五+，）的展开式中第2C-1 艘 J所 以 苍=Q，即 仆-1）3，解得 2 x 1【小问2详解】因为展开式通项（+1 =C 3 G）7 （4当 三 =一1 时，解得r =3,所以展开式中含l项的系数为C 4 =2 8X1 9.如图，四棱锥P ABC D 中，P A 1A E =2E D，P A =A B =，B C =2,-+2）项与第3 项的二项式系数1:3.:求解即可；求项的系数可得答案.项、第 3 项二项式系数分别为C：、C：,=7.r l-3x=C；37-rx?，35.平面 A B C。，ABA.AD,B C A D,点 E 在棱 A。
21、上，A Z =3.(1)求证：C E 平面P A D：(2)求二面角B PC E的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)巫5【解析】【分析】(1)证明出四边形43CE为平行四边形，可推导出CE_LAD，由线面垂直的性质可得出C E L P A,再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；(2)以点A为坐标原点，A B、A D，AP所在直线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角3-。-石 的正弦值.【小 问1详解】2证明：因为A=2ED，AO=3,B C=2,所以，A E =-A D =2=BC,3又因为BC A D,即3C A E,所以，四边形A
22、BCE为平行四边形，CE/AB,因为 A B JL4),则 CE_LAD,因为2,平面ABC。，C E u平面ABCQ,则CELB4,PA=平面PAD.【小问2详解】解：因为尸AJ_平面ABC。，ABA.AD,以点A为坐标原点，A B、A。、/位所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则 3(1,0,0)、C(1,2,0),七(0,2,0)、P(0,0,I),设平面P8C的法向量为加=(x”y,z j,B C =(0,2,0),5 P =(-1,0,1),则m-BC=2 y =0m-BP=-%+Z 0,取=1,可得”=(1,0,1),设平面P C E的法向量为=(w，%，Z
23、2)，E C =(l,0,0)，P =(O,2,1),则 n EC=2=0n-EP=-2y2+z2=0取%=1，可得=(0,1,2),m-n _ 2 _ V l O I-、后丽=丁 所 以 疝(九=4-c o s 2=可 因此，二面角8P C E的 正 弦 值 为 史.52 0.为培养学生的创新精神和实践能力，某中学计划在高一年级开设人工智能课程.为了解学生对人工智能的兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了 1 00人进行调查，其中部分数据如下表.有兴趣没兴趣合计男生1 0女生30合计2 5(1)根据所给数据完成上述表格，并判断是否有90%的把握认为对人工智能有兴趣与性别有关；(2)从参加调查的
24、2 5个对人工智能没兴趣的同学中随机抽取2人，记2人中男生的人数为X,求X的分布列和数学期望（X）.nad-be)2(a +b)(c+d)(+c)(b+d)n=a+b+c+d.P(/M)0.1 000.05 00.02 50.01 00.001ko2.7063.8 4 15.02 46.6351 0.8 2 8【答案】（1）表格见解析，有 90%把握认为对人工智能有兴趣与性别有关;4（2）分布列见解析，数学期望彳【解析】【分析】（1）先完善表格，再 计 算/与 2.706比较即可判断；（2）直接计算X为 0,1,2 的概率，列出分布列，计算期望即可.【小 问 1 详解】表格如下：有兴趣没兴趣合
25、计男生451 055女生301 545合计75251 00Z2=l0 x（45）15 10 x30）x 3.030 2.706,故有9 0%的把握认为对人工智能有兴趣与性别有关;55x45x75x25【小问2 详解】25个对人工智能没兴趣的同学中男生有1 0人，女生有1 5人，则 X的取值为0,1,2,C2 7 C1 C1 1 C2 3P(X=0)=若=万，P(X =l)=-=5，P(x=2)=君=而，则 X的分布列如下:。25 4 2。25 U7则数学期望E（X）=0 x X012P720232045+1X1+2XA2 2021.已知椭圆C:0+2 =1（。0）的左顶点为。，离心率为5.若过
26、点尸（1,0）的直线/与C相交于A,8两点，且当直线/垂直于x轴时，|A 3|=20.（1）求C的方程；（2）若直线QA,Q 3的斜率存在且分别为匕，k2,求证：尢&2为定值.2 2工+匕=1【答案】（1）9 9 -4（2）见解析【解析】【分析】（1）当直线/垂直于X轴时，|43|=2行.，所以点（1,0）在椭圆上，即/+*=1又 离 心 率 为,即e=走，再结合/=0 2+。2,解出a涉 即可得到椭圆C的方程2 a 2（2）先设出A,8两点坐标以及直线/的方程，联立直线/和椭圆方程，利用韦达定理表示出%+%,又 也，然后表示出勺，白，计算后#2，得到关于关于左的一个表达式即可得到题目所证，再
27、验证不存在的情况即可【小问1详解】由题意，椭圆的离心率e=且,a 21 2当直线/垂直于X轴时，|A 3|=2&.,所以点（1,夜）在椭圆上，即r+r=l，a b-在 椭 圆 中=+。2,3联立（或 解 得：a=3,b=-22 2工+21 =1故椭圆方程为：9 9 一4【小问2详解】如图所示;设A(玉，y),5(*2，%)，当直线/斜率存在时，设直线/的斜率 为 左，则直线/方程为：y=kx-ky-k x-k2 2.,0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求导后，分别在2 0和4 0；当x e l,+8)时，利用导数可求得(x)在 1,+8)上单调递增，根据(x)/
28、(1)0可得结论.【小 问1详解】由题意知：力定义域为(0,+8),/(二 一 点 一/二 一 手；当。之()时，/(X)O恒成立，/(X)在(0,+8)上单调递减；当40时，令r(x)=0,解得：x=-a;.,.当 x e(O,_ q)时，当 x e(-a,+o o)时，/,(x)0；/(X)在(0,-。)上单调递增，在(-。,物)上单调递减；综上所述：当a 2()时，/(X)在(o,+。)上单调递减；当40,e -1 0 s i n x 0,/z(x)0；当xe l,+o o)时，令?(x)=(x),则x)=e*-工-s i n x,1.1，/、41,s i n x e*N e,ev-s i n x N e-2 0,即 加(x)0,x x：.m x),即(x)在 1,+o o)上单调递增，/?,(x)/?,(l)=-l +e+c o s l 0,.,./z(x)在 1,+0 0)上单调递增，.,./?(x)N-4+e+s i n l 0 ；综上所述：/z(x)0,即4(x)+g(x)0.【点睛】关键点点睛：本题考查含参函数单调性的讨论、利用导数证明不等式；本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令(x)=V(x)+g(x),利用导数可求得(x)单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.