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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年广东省广州市真光中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合013Axx，0,1,2,4B，则AB（）A 1,2 B1,2,4 C0,1,2 D2,4【答案】A【分析】解不等式得到集合A，然后求交集即可.【详解】由题意得集合14Axx，所以 1,2AB.故选：A.2若,ab cd，则下列不等式一定成立的是（）A22ab B22acbc Cacbd Dacbd【答案】C【分析】利用举反例法，结合不等式性质，可得 A、B、D 的正误，利用作差法，可得 C 的正误.【详解】对于 A，当0ab时，22ab，故 A 错误；对于 B，当0c时，22a
2、cbc，故 B 错误；对于 C，acbdabcd ，由,ab cd，则0abcd ，故 C 正确；对于 D，当0,0abcd时，,ab cd，则acbd，故 D 错误.故选：C.3如果12sin13，02，那么cos（）A1213 B513 C1213 D513【答案】D【分析】求出cos，再利用诱导公式得解.【详解】解：因为12sin13，02，所以2125cos1()1313，所以5coscos13 .故选：D 第 2 页 共 16 页 4已知命题:Rpx，220 xxa.若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A1a B1a C1a D1a 【答案】C【分析】求得命题为真时参数a的取值范围
3、，再求其补集即可.【详解】若命题p为真，则440a，解得1a ，则当命题p为假命题时，1a，故a的取值范围是1a.故选：C.5要得到函数sin 23yx的图象，只需要将函数sin 2yx的图象（）A向左平移6个单位 B向右平移6个单位 C向左平移3个单位 D向右平移3个单位【答案】B【分析】根据函数图象变换直接求解.【详解】因为sin 2=sin 236yxx,所以要得到函数sin 23yx的图象，只需要将函数sin 2yx的图象向右平移6个单位,故选:B.6已知甲乙两个城市相距 120 千米，小王开汽车以 100 千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留 1 小时，再以 80 千米/
4、时匀速返回甲城市汽车从甲城市出发时，时间 x（小时）记为 0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离 y（千米）表示成时间 x（小时）的函数为（）A100,01.280,1.2xxyx x B100,01.212080,1.2xxyx x C100,01.2120,1.22.2120 80,2.23.7xxyxxx 第 3 页 共 16 页 D100,01.2120,1.22.2296 80,2.23.7xxyxxx【答案】D【分析】结合题干分析求解分段函数解析式即可【详解】当12001.2100 x时，100yx，当1.22.2x时，120y，当1202.22
5、.23.780 x时，120802.229680yxx，综上：100,01.2120,1.22.2296 80,2.23.7xxyxxx 故选：D 7已知232loglog1aabbcck k，则下列关系正确的是（）Aabc Bacb Cbac Dcba【答案】A【分析】将已知条件转化为：232,log,log1aakbbkcck k ，分别作出函数232,log,logxyyx yx和yxk 的图象，利用函数图象即可求解.【详解】由题意知：232loglog1aabbcck k，可得：232,log,log1aakbbkcck k ，分别作出函数232,log,logxyyx yx和yxk
6、的图象，如图所示：结合图象，可得abc，故选：A.第 4 页 共 16 页 8定义在R上的奇函数 fx，当0 x 时，12log(1),0,113,1,xxf xxx，则关于x的函数 (01)F xf xaa的所有零点之和为（）A21a B12a C21a D1 2a【答案】B【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出()f x的图象，将问题转化为 fx与直线ya的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.【详解】由题设，画出0,)上()f x的大致图象，又 fx为奇函数，可得()f x的图象如下：F x的零点，即为方程 0f xa的根，即 fx图像与直线ya的交点.由图
7、象知：fx与ya有 5 个交点：若从左到右交点横坐标分别为12344,x xx xx，1、12,x x关于3x 对称，126xx；2、30 x 且满足方程 333f xaf xafxa 即132log1xa，解得：31 2ax ；3、45,xx关于3x 轴对称，则456xx；1234512 axxxxx 故选：B 二、多选题 9下列说法正确的是（）A“21a”是“1a”的的必要不充分条件 B“,a b都是偶数”是“ab是偶数”的充分不必要条件 C设a，bR，则“2a 且2b”是“224ab”的必要不充分条件 第 5 页 共 16 页 D设,a b cR，则“222abcabacbc”是“abc
8、”的充要条件【答案】BD【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项分析即得.【详解】对于 A 中，由21a，解得11a，所以“21a”是“1a”的充分不必要条件，所以A 不正确；对于 B 中，若,a b都是偶数，可得ab是偶数，反之：比如1,3ab，此时ab是偶数，但,a b不是偶数，所以“,a b都是偶数”是“ab是偶数”的充分不必要条件，所以 B 正确；对于 C 中，由2a 且2b，可得224ab，由224ab，不能得出2a 且2b，所以“2a 且2b”是“224ab”的充分不必要条件，所以 C 不正确；对于 D 中，由222abcabbcac，可得222()()()0abbcca，解得ab
9、c，故“222abcabbcac”是“abc”的充要条件，所以 D 正确.故选：BD.10下列各式中，值为3的是（）A2252 coscos1212 B1tan151tan15 Ccos153sin15 D16sin10cos20 cos30 cos40【答案】ABD【分析】对于 A，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于 B，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案；对于 C，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于 D，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.【详解】对于 A，2251 cos1 cos55662 coscos2coscos1212226
10、6 33322，故 A 正确；对于 B，1tan15tan45tan15tan 4515tan6031tan151tan45 tan15，故 B 正确；对于 C，13cos153sin152cos15sin1522 2 sin30 cos15cos30 sin152sin 30152sin152sin 4530 第 6 页 共 16 页 2321622 sin45 cos30cos45 sin30222222，故 C 错误；对于 D，16sin10 cos 20 cos30 cos 40 116sin30sin10cos30 cos402 8sin30 cos30 cos 408sin10 c
11、os30 cos 40 318cos408sin40sin20cos4042 2 3cos404sin 40 cos404sin 20 cos4012 3cos402sin804sin60sin202 2 3cos402sin8032sin 202 3cos404sin50 cos303 2 3 cos40sin5032 3 cos 40cos 4033，故 D 正确；故选：ABD.11已知ABC，则下列命题中，真命题的是（）A若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形 B若sincosAB，则ABC是直角三角形 C若coscoscos0ABC，则ABC是钝角三角形 D若coscoscos1
12、ABBCCA，则ABC是等边三角形【答案】CD【分析】直接利用诱导公式和关系式的变换及函数的性质的应用判定ABCD的结果【详解】解：对于选项:sin2sin2AAB，利用诱导公式，整理得22AB或22AB，所以AB或2AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于选项:sincosBAB，整理得sinsin()2AB或2AB，故2AB，或2AB，故B错误；对于选项:coscoscos0CABC，必有一个负值，假若为A，则cos0A，所以2A，故ABC为钝角三角形，故C正确 对于选项D：由于|cos|1x，所以cos()cos()cos()1ABBCCA，第 7 页 共 16 页 故0A
13、BBCCA，整理得A B C，所以ABC为等边三角形 故D正确 故选：CD 12已知函数232()log1axbxcf xx，以下说法正确的有（）A若()yf x的定义域是(1,3)，则0a B若()yf x的定义域是 R，则0a C若()yf x在 R 上的值域是0,2，则10ac D()yf x的值域不可能是 R【答案】CD【分析】对 AB，根据对数函数的定义域，结合二次不等式解集与系数的关系判断即可；对 C，根据对数函数的值域，结合二次不等式判别式法求值域的逆用求解即可；对 D，根据()yf x的值域为 R则221axbxcx的值域包含0,，结合二次函数的性质求解即可.【详解】对 A，2
14、32()log1axbxcf xx的定义域是2201axbxcx，即20axbxc，若()yf x的定义域是(1,3)，则2yaxbxc开口向下，a2，综上，实数 m 的取值范围为3,2,2 18设函数()log(3)log(3)(0aaf xxx a且1a）（1）若(1)3f，求a的值及()f x的定义域（2）判断()f x的奇偶性，并给出证明；（3）求()f x在1,2上的值域【答案】（1）2a；定义域为()3,3；（2）()f x为偶函数；证明见解析；（3）具体见解析【分析】（1）由对数函数的定义，可求出定义域，代入1x，可求出结果.（2）由偶函数的定义，即可证明.（3）分别讨论1a 和
15、01a，由对数函数的单调性即可求出值域.【详解】（1）因为2()log(3)log(3)log9aaaf xxxx，由题意得(1)log 83af，故2a 由3030 xx，可得33x，故函数()f x的定义域为()3,3（2）()f x为偶函数证明如下：函数()f x的定义域为()3,3 2()log9()afxxf x，所以函数()f x为偶函数（3）因为12x，所以2598x 当1a 时，()f x的值域为log 5,log 8aa；当01a时，()f x的值域为log 8,log 5aa 19已知函数 22sincos2 3sin3xxf xx.(1)求函数 f x的最小正周期及其单调
16、递增区间；(2)当,6 6x，时，0af x恒成立，求 a的最大值.【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为5,1212kk，Zk(2)最大值为 0 第 12 页 共 16 页 【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简 f x为=2sin 23f xx，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据x的范围可求220,33x，进而可求 f x的值域，故可求a的范围.【详解】（1）22sincos2 3sin3sin23cos22sin 23f xxxxxxx 故函数 f x的最小正周期2T2.由2-22 232kxk得5Z1212kxkk.函数 f x的单调
17、递增区间为5,1212kk，Zk.（2）,6 6x，220,33x，sin 20,13x，2sin 20,23f xx.由 0af x恒成立，得 minaf x，即0a.故 a的最大值为 0.20自 2020 年 1 月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戌”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松2022 年 8 月，奥密克戎 BA513 变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变
18、异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间 T进行一次记录，用 x 表示经过单位时间的个数，用 y 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：x T 1 2 3 4 5 6 y（万个）10 50 250 若该变异毒株的数量 y（单位：万个）与经过*x xN个单位时间 T 的关系有两个函数模型20yAxB A与0,1xykaka可供选择(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个（参考数据：52.236,62.449，第 13 页 共 16 页 lg20.301,lg60.778）【答案】(1)函数0,1xykaka更合适，
19、解析式为 25xy (2)14 【分析】（1）将2x，10y 和4x，50y 分别代入两种模型求解解析式，再根据6x 的值，即可判断；（2）设至少需要x个单位时间，则 25100000 x，再结合对数函数的公式，即可求解【详解】（1）若选20ypxq p，将2x，10y 和4x，50y 代入可得，4101650pqpq，解得103 103pq，故2101033yx，将6x 代入2101033yx，250y，不符合题意，若选0,1xykaka，将2x，10y 和4x，50y 代入可得，241050kaka，解得25ka，故 25xy，将6x 代入 25xy 可得250y，符合题意，综上所述，选择
20、函数0,1xykaka更合适，解析式为 25xy.（2）设至少需要x个单位时间，则 25100000 x，即 550000 x，两边同时取对数可得，lg5lg54x，则442213.4411lg51 lg222x，*xN，x的最小值为 14，故至少经过 14 个单位时间该病毒的数量不少于十亿个 21如图，已知OPQ是半径为 1，圆心角为4的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记POC，第 14 页 共 16 页 （1）用角表示AB，BC的长度；（2）当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】（1）cossinAB，sinBC；（2）当8 时，矩形有最大
21、面积，最大面积为2122.【解析】（1）先把矩形的各个边长用角 及表示出来，进而表示出矩形的面积；（2）再利用角 的范围，结合正弦，余弦的二倍角公式，辅助角公式化简，再由正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可【详解】（1）由题意知：在Rt OBC中，cosOB，sinBC.在Rt OAD中，sinOADABC，所以cossinABOBOA.（2）设矩形的面积为 S，则 2cossinsincossinsinSAB BC11 cos2sin222 11sin2cos22221sin 2242.由04，得32444，所以当242，即8 时，2122Smax.因此，当8 时，矩形有最大面积，为21
22、22Smax.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角函数模型，将三角函数模型用所学的恒等式变换公式进行化简，由三角函数的性质求得最值 22已知()f x为R上的奇函数，()g x为R上的偶函数，且()()2exf xg x，其中e2.71828（1）求函数()f x和()g x的解析式；（2）若不等式23(1)0f xfax在(0,)恒成立，求实数a的取值范围；（3）若10,1x，2,)xm，使 12xmf xe成立，求实数m的取值范围【答案】（1）()eexxg x；()eexxf x；（2）4a；（3）1e,ln2e 1 第 15
23、 页 共 16 页【分析】（1）将x替换为x，得2xfxgxe，与已知条件联立方程，求函数的解析式；（2）利用函数的奇偶性不等式转化为23(1)f xf ax在(0,)上恒成立，利用单调性转化为231xax在(0,)上恒成立，参变分离后4axx在(0,)上恒成立，即转化为求函数的最值；（3）首先设函数|()ex mh x，根据条件转化为minmin()()f xh x，转化为求两个函数的最小值，即得结论.【详解】（1）由题意知()()2exf xg x，令x替换 x得2xfxgxe，即()()2exf xg x 于是2()2e2exxg x，解得()eexxg x；2()2e2exxf x，解
24、得()eexxf x （2）由已知23(1)0f xfax在(0,)上恒成立 因为()f x为R上的奇函数，所以23(1)f xf ax在(0,)上恒成立 又因为()eexxf x为R上的增函数 所以231xax在(0,)上恒成立 即4axx在(0,)上恒成立 所以min4axx 因为4424xxxx，当且仅当4xx，即2x 时取等号 所以4a （3）设|()ex mh x，10,1x，2,)xm，使 12xmf xe成立，所以函数 h x的值域包含于 f x的值域，()eexxf x，函数单调递增，所以函数的值域是,mmee，()f x在,)m 上的最小值为min()f x，()h x在0,
25、1上的最小值为min()h x，由题意，只需minmin()()f xh x，因为()eexxf x为R上的增函数，所以min()eemmf x 第 16 页 共 16 页 当0m 时，因为()h x在(,)m单调递增，在(,)m 单调递减，所以当0,1x时，min()min(0),(1)h xhh 于是1(0)eee(1)eeemmmmmmhh 由|(0)eeemmmh得e2emm，即2e2m，解得1ln22m 考虑到1ln212m，故 111mmmmheeee，即2eee 1m，解得1eln2e 1m 因为e2e 1，所以1e0ln2e 1m 当0m 时，()h x在0,1单调递减，所以1
26、min()(1)emh xh又1e0m，ee0mm，所以对任意0m，恒有1min(1)eee()mmmhf x恒成立 综上，实数m的取值范围为1e,ln2e 1【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数,yf xxa b，,yg xxc d（1）若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg x成立，故 2maxminf xg x；（2）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2maxmaxf xg x；（3）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2minminf xg x；（4）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x，则 f x的值域是 g x值域的子集